Геометриялық есептердің күрделілігін анықтау технологиясы

Садықов Нұрғали Халдарбекұлы–ОҚО, Шымкент қаласы, №100 «Жұлдыз» ЖОМ «Математика және информатика» пәнінің жоғары санатты мұғалімі. Ы.Алтынсарин төсбелгісінің иегері.

Жетекшісі: Әмірбеков Алданазар Әмірбекұлы – педагогика ғылымдарының кандидаты, доцент. Оңтүстік Қазақстан Мемлекеттік Педагогика Институты

Геометриялық есептердің күрделілігін анықтау технологиясы

Қазіргі мектепте, «математиканы оқыту-есепті шығаруды үйрету» деген жағдай қалыптасқан. Осыған байланысты оқушы, өз бетінше есеп шығаруға, сұрақтарға жауап беруге, оқулық материалдарын меңгеруге, яғни нәтиже алуға үйретіледі. Егер оқушының алған нәтижесі, оқулық соңындағы жауаппен бірдей болса, онда есеп дұрыс шешілген, ал мұғалім өз еңбегін дұрыс ұйымдастырған деп есептеледі.

Математиканы оқыту жөніндегі мұндай пікірдің, оқыту процесін формальді түрде жүргізуге алып келетіні түсінікті. Өйткені, оқушының алған түпкі нәтижесі, материалдық меңгерілу процесінің қалай жүріп жатқаны жөнінде толық мәлімет бермейді де, осыған байланысты, мұғалім, оның еңбегінің сапасын анықтауға негіз болатын, танымдық қызметтің өзін талдауға, бағалауға және қажет болса жөнге салуға келгенде дәрменсіз.

Оқу жоспары бойынша, математиканың оқытуға айтарлықтай уақыт бөлінуіне қарамастан, білімінің, негізінен, формальді болып, естен тез шығып кетуінің басты себебі осы болса керек.

Бұл тығырықтан шығудың жолы оқушыға есепті түсініп, саналы түрде шығаруды үйрету екендігі дау туғызбас. Яғни оқушы есепті талдай білуі, есептің күрделілігі мен қиындығы ұғымдарының ара-қатынасын толық ажырата білуі, сондай-ақ есеп шығару әдісін негіздей білуі тиіс.

Қазіргі педагогтік еңбектер, бұл мәселенің мыңдаған жылдарға созылып келе жатқанына қарамастан әлі де толық шешімін таба алмай келе жатқанын көрсетіп отыр. Біз де осы мәселені тереңірек сөз етпекпіз.

Есепті, танымдық қызмет тұрғысынан қарағанда, оқушы бойында белгілі бір оқу қабілетінің бары немесе жоғын білу қажеттілігіне байланысты, қалыпты жағдайдағы ахуалдың белгісіз енгізілуі арқылы қоздырылу нәтижесі деп түсінген дұрыс. Есептің шешілуі, яғни енгізілген белгісізді анықтау арқылы, қоздырылған ахуалдың қайтадан қалыпты жағдайға келтіру процесі барысында ізделініп отырған оқу қабілетінің оқушы бойында бары жоғы белгілі болады.

Көріп отырғанымыздай, есептің компоненттері-ахуал, іс-әрекет және нәтиже. Нәтиже ізделініп отырған оқу қабілетінің әсерінен түрленіп, әр-түрлі бейнеге ие болады да, ахуал мен оны қоздырған іс-әрекет жөнінде толық мәлімет бермейді. Бұл өз кезегінде, есептің қиындығы мен күрделілігі ұғымдарын өзара шатастыруға алып келеді.

Оқушының есепті түсініп, саналы түрде шеше алуы үшін, оның бұл ұғымдарды тек ажыратып қана қоймай, сонымен бірге оларды пайдалана білуі тиіс.

Өйткені ол өзінің есепті шешуге таңдап алған әдісін, есептің қиын немесе оңай, күрделі немесе қарапайым екендігіне байланысты анықталады. Әрине бұл үшін қиындық пен күрделілік ұғымдарының сандық мөлшері қажет.

Есептің күрделілігі, субьектке байланыссыз обьективті характеристика болып табылады да, есептің ішкі құрылымын көрсететін элементтердің санын байланыстырады, байланыс түрлерін анықтайды.

Есептің құрылымындағы элементтер мәндес түрлендіруге бөлініп, изоморвты болса, онда олардың арасындағы байланыс тума байланыс деп аталады. Ал, мәндес түрлендірулер нәтижесіндегі есептің элементтері арысындағы байланыс тура байланыс деп аталады. Яғни байланыстың екі түрі бар: тура және тума байланыс.

Есептің күрделілігі мына формуламен анықталады: S=m+n+L

Мұндағы, m-байланысқа қатысатын элементтердің саны, n-тура байланыстың саны, L-есептің құрылымындағы байланыс түрлерінің саны. L тек қана 3(үш) мән қабылдайды: L=0; 1; 2;

L=0 болады, егер есептің құрылымы бір ғана элементтен тұрғанда орындалады, яғни тура және тума байланыстар болмаған жағдайда.

L=1 болады, егер есептің құрылымы бірнеше элементтен тұрғанда орындалады, яғни тек бір тура немесе тек бір тума байланыстар болған жағдайда.

L=2 болады, егер есептің кұрылымы бірнеше элементтен тұрғанда орындалады, яғни тура және тума байланыстар болған жағдайда.

Құрылымын білгеннен кейін оның күрделілігін орындалу дәрежесіне байланысты білуге болады. Есептің күрделілігін әрбір қадамы арқылы оның қиындық дәрежесінің өсуі бойынша орналастыруға болады.

1-есеп: Үшбұрышты тік призманың табандарының қабырғалары 4см, 5см, 7см. Бүйір қыры табанының үлкен биіктігіне тең. Призманың көлемін табыңдар.

Есепті шешу үшін мынадай талдау құрылымын жазуға болады:

1). V=S*H=S*AA^I 2). (AE)²=(AC)²-(CE)² 3). EC=BC-BE

4). (AE)²=(AB)²-(BE)² 5). AE=AA^I=H 6). S= BC*AE

1. Шешімді іздеу графының 1-қадамында V төбесінде негізгі қатынас a*b=c орындалады. Сондықтан графтың 1-ші қадамын дөңгелекпен белгілеп көрсетеміз. Ол мынадай теңдіктен шығады. V=S*H; мұндағы S-призманың табанының ауданы, H-призманың биіктігі.

2. Шешімді іздеу графының 2-қадамында 2 нүкте орналасады: S және AA^I S төбесінде негізгі қатынас орындалады. Ол мынаған тең: S= BC*AE Ал AA^I төбесінде негізгі қатынас орындалмайды. Ол есептің шығарылу талдауында берілген. Сондықтан 2-қадамдағы S төбесін дөңгелекпен белгілейміз, ал AA^I төбесін белгілемейміз.

3. Шешімді іздеу графының 3-қадамында 4 нүкте берілген: AE; BC; AE Бұлардың ешқайсысында да негізгі қатынас орындалмайды. Олар есептің шығарылу талдауынан көрініп тұр. Сондықтан бұл төбелерді дөңгелекпен белгілемейміз.

4. Шешімді іздеу графының 4-қадамында 2 нүкте орналасады: EC және AC Мұнда да негізгі қатынас орындалмайды. Олар есепті шығару талдауында көрсетілген. Сондықтан бұл төбелерді де дөңгелектеп белгілемейміз.

5. Шешімді іздеу графының 5-қадамында 2 нүкте орналасқан: BC және BE төбелері. Олар есептің шарты бойынша берілгендер сондықтан бұл төбелер дөңгелекпен белгіленбейді.

Міне бұл есептің шешімді іздеу графының сызбасы 5 қадам етіп сызылады. Сызбаға көз жүгіртсек тек 1 және 2-қадамда ғана a*b=c қатынасы орындалатын V және S төбелері орналасқан. Бұл төбелер тура байланысып тұрғандығын көрсетеді. Енді есептің күрделілігін анықтауға келсек мұнда байланысқа қатысып отырған элементтер саны m=2, ал тура байланыс саны да n=2, ал байланыс түрлерінің саны тек тура байланыс қана орындалғандықтан L=1. Сонымен есептің күрделілігі: S=2+2+1=5 болады.

Есепті шешу үшін 2-әдіс арқылы мынадай талдау құрылымын жазуға болады: 1). V=S*AA^I 2). S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c) 3). p 4). AE=√AB²-BE² 5). AE=√AC²-CE² 6). CE=BC-BE 7). BE 8). AE=AA^I

Есепті шешуде осы талдау құрылымын пайдалана отырып шешімді іздеу графының сызбасын саламыз. Ол 6 қадамнан тұрады. Қадамдар бойынша элементтердің орналасу талдауын жүргізсек 1; 2; 3 және 5- қадамдарда V; S; p және BE төбелерінде a*b=c қатынасы орындалып байланыстарға түседі. Мұнда байланысқа қатысып отырған элементтер саны m=4, ал тура байланыс саны n=3, ал байланыс түрлерінің саны L=2. Мұнда тура және тума байланыстар да бар. Сонымен есептің күрделілігі S=4+3+2=9

Геометриялық есептердің күрделілігін анықтауда жоғарыдағыдай 2 әдіс бойынша мына есептердің күрделіліктері анықталып дәлелденді.

2-есеп: Үшбұрышты дұрыс пирамиданың төбелері арасындағы бұрыш α-ға тең, ал бүйір жағына сырттай сызылған шеңбердің радиусы-R. Үшбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңдар.

3-есеп: Призманың табаны-бір қабырғасы 2см, ал басқа екі қабырғасы 3см-ден болатын үшбұрыш. Бүйір қыры 4см-ге тең және ол табан жазықтығымен 45⁰ градус бұрыш жасайды. Осы призмаға тең шамалы кубтың қырын табыңдар.

Геометриялық есептердің күрделілігін анықтауда геометриялық оқу жағдайында оқушының геометриялық есептерді талдау қабілеттерін дамытудың мүмкіндіктері айқындалды. Оқушының геометриялық есептердің күрделілігін анықтай білу дәрежесі жоғарылады. Оқушылардың геометриялық есептерді талдау қабілеттерін дамытудың көрсеткіштері, нобайы жасалынды. Оқушылардың геометриялық есептерді талдау қабілеттерін дамытудың есептер жүйесі құрастырылды. Геометриялық есептердің күрделіліктерін оқушы өзі анықтай білуге арналған әдіс-тәсілдердің алғашқы қадамы жасалды.

Оқушылардың есеп күрделілігін анықтау ебдейлігін дамытудың есептер жүйесі.

1. Алты бұрышты дұрыс призманың ең үлкен диогоналдық қимасының ауданы 4м² ал қарама-қарсы екі бүйір жағының ара-қашықтығы 2м-ге тең болады. Призманың көлемін табыңдар.

2. Үшбұрышты тік призманың табанының ауданы 4см² тең, ал бүйір жақтарының аудандары 9см²; 10см²; 17см² тең. Призманың көлемін табыңдар.

3. Егер төртбұрышты призманың биіктігі – һ, диогоналдары табан жазықтығына α және β бұрыштарымен көлбеген және табан диогоналдарының арасындағы бұрыш γ-ға тең болса, онда оның көлемі неге тең?

4. Үшбұрышты дұрыс призма табанының қабырғасы а-ға тең, ал бүйір беті табандарының қосындысына тең. Оның көлемін табыңдар. т.б.

Қолданылған әдебиеттер:

1. Лорьев Ж.Л. «Системы искуственного интелекта» Москва «Мир». 1991жыл.

2. Епишева Л.А., Крупич В.И. «Учить школьников учиться математике»

3. Қайдасов Ж., Гусев В., Қағазбаева Ә. «Геометрия» 11-сынып оқулығы. Алматы 2006жыл.

4. Әмірбеков А.Ә.«Есептің күрделілігі мен қиындығы»ИФМ журнал.1994жыл №2