ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСИЗЛИКЛЕРДИҢ ДƏЛИЙЛЛЕНИЎИ

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСИЗЛИКЛЕРДИҢ ДƏЛИЙЛЛЕНИЎИ
С.А.Эрисбаев
НМПИ ассистент - оқытыўшысы
Н.Қ.Реймбаева
ХБМХМТ ҳəм ШБ қараслы №15-санлы мектеп оқытыўшысы
Таянч сўзлар: юза, учбурчак, тўртбурчак, синус, тенгсизлик,
диагональ, периметр, радиус.
Ключевые слова: площадь, треугольник, четырехугольник, синус,
неравенства, диагональ, периметр, радиус.
Key Words: the area, triangle, quadangle, sinus, inequality, diagonal,
perimetre, radius.
Айырым математикалық мəселелерди еки усылда шешип, бирдей
аңлатпаны алыўға болады. Мейли биз, мəселен, қандайда бир фигураның
майданын еки усыл менен табайық. Егер бул усыллардың биреўинде майдан
қандайда бир  мүйештиң синусы арқалы табылса, онда sin   1 қатнасынан
пайдаланып алынған теңликтен бирнеше қызықлы теңсизликлерди келтирип
шығарыўымыз мүмкин. Сол себепли бул мақалада бундай усыллар бирнеше
мысаллар жəрдеминде үйрениледи. Үйренилетуғын мəселелерди жоқары
оқыў орынларына кириўши абитурентлер пайдаланыўлары мүмкин.
Төменде келтирилетуғын мəселелерди үйрениўде майданды табыў
ҳаққындағы үш формуладан пайдаланамыз. Олардың бириншиси бизге 8
класс геометриясынан белгили болған үшмүйешликтиң майданы оның
еки(қалеген) тəрепи ҳəм олар арасындағы мүйештиң синусына көбеймесиниң
ярымына теңлиги:
S

1
ab sin  .
2

(1)

Екиншиси, дөңес төртмүйешликтиң майданы оның диaгоналлары ҳəм
олар арасындағы мүйештиң синусына көбеймесиниң ярымына теңлиги:
1
S  l 1l2 sin  .
2

(2)

Ушыншиси, шеңберге сыртлай сызылған көпмүйешликтиң майданы
оның периметириниң шеңбер радиусына көбеймесиниң ярымына теңлиги:
S

1
Pr
2

(3)

Мысал 1. Үшмүйешликтиң қалеген еки тəрепиниң көбеймеси
үшмүйешлик периметри менен оған ишлей сызылған шеңбер радиусының
көбеймесинен үлкен ямаса тең екенлигин дəлийллең: ab  P r .
Шешилиўи. Бул теңсизликтиң дəлийллениўи (1) ҳəм (3) аңлатпаларды
салыстырыўда sin   1 теңсизлигин қолланыўдан тура келип шығады.
Ескертиў. Егер үшмүйешликтиң a ҳəм b тəреплери арасындағы
мүйеш туўры мүйеш болмаса, онда
ab  P r
(4)

болады.
Бул (4) теңсизлигинен қəлеген үшмүйешлик ушын ab  bc  ca  3P r
теңсизлиги келип шығады.
Мысал 2. Үшмүйешликке сыртлай сызылған шеңбердиң радиусы R ,
үшмүйешлик периметри P ҳəм оған ишлей сызылған шеңбердиң радиусы r
қəлеген сүйир ҳəм доғал мүйешли үшмүйешлик үшын:
а) R 

3
Pr ,
3

(5)

2
Pr
2

(6)

ал туўрымүйешли үшмүйешлик ушын:
б) R 

тенсизликлер орынлы екенлигин дəлийллең.
Шешилиўи. а) Үшмүйешликке сыртлай сызылған шеңбердиң O
орайын үшмүйешликтиң ушлары менен тутастырамыз. Сүйир мүйешли
үшмүйешлик ушын (1-сүўрет)
S ABC  S AOB  S BOC  SCOA
(7)
теңлиги орынлы.
(1) ҳəм (3) формулалардан
(8)
P r  R 2  sin   sin   sin  
теңлиги келип шығады. Синустың улыўма қəсийетинен sin   sin   sin   3 ,
теңсизлиги орынлы. Буннан       3600 болса, онда
sin   sin   sin   3 .
(9)
Доғал мүйешли үшмүйешлик ушын (2-сүўрет)

1-сүўрет

2-сүўрет
S ABC   S AOB  SCOB   S AOC

ямаса

P r  R 2  sin   sin   sin      .

(10)
sin   1,sin   1,sin      1
ҳəм
    180
болғанлықтан
sin   sin   sin      3 . Бул теңсизликтен ҳəм (10) теңликтен (5) келип
шығады.
б) Үшмүйешликке сыртлай сызылған шеңбердиң O орайын
үшмүйешликтиң туўры мүйешли C ушы менен тутастырамыз. ABC туўры


мүйешли үшмүйешлик ушын (8), (10) теңликлериниң аналогы төмендегише
болады:
  sin COB
 .
P r  R 2 sin AOC





Pr
 2 , бул дəлийллеў керек болған (6) теңсизлик болып табылады.
R2
Мысал 3. Төртмүйешликтиң периметри P , оған сыртлай сызылған
шеңбердиң радиусы r ҳəм оның l1 , l2 диагоналлары

Буннан

Pr 

l12  l22
2

теңсизлигин қанаатлантыратуғынын дəлийллең.
Шешилиўи. (2) ҳəм (3) формулалардан P r  l1l2 sin  (*) теңлиги келип
шығады.  l1  l2   0 теңсизлигинен l1l2 
2

l12  l22
2

болады. Буннан ҳəм (*)

теңлигинен биз излеген теңсизлик келип шығады.
Егер төртмүйешликтиң диагоналлары перпендикуляр болса, онда
sin   1 , P r  l1l2 . Егер l1  l2 (квадрат ушын) болса, онда
P r  l2 

l12  l22
2

болады.
Əдебиятлар:
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1. - М.: Просвещение, 1986.
2. Артин Э. Геометрическая алгебра. - М.: Наука, 1969.
Мақолада
математик
масалаларда
теңсизликларнинг исботи келтирилган.

учрайдиган

РЕЗЮМЕ
геометрик

РЕЗЮМЕ
В статье предоставлена доказательство геометрических неравенств в
математических задачах.
SUMMARY
In article it is given the proof of geometrical inequalities in mathematical
problems.