Ғылыми жұмыс

Түркістан облысы

Келес ауданы

№ 29 жалпы орта мектебі

Секциясы: Математика

Жобаның тақырыбы: Арифметикалық прогрессия

Авторы: 10 сынып оқушысы

Омонбеков Нұрбол Рахматуллаұлы

Жетекшісі: математика пәні мұғалімі:

РахманбердиеваТинигай Оналбековна

2020 – 2021 оқу жылы.

Келес ауданы № 29 жалпы орта мектебінің

10 сынып оқушысы Омонбеков Нұрболдың

«Арифметикалық прогрессия»

туралы ғылыми жобасына

пікір

10 сынып оқушысы Омонбеков Нұрболдың «Арифметикалық прогрессия» туралы жобада арифметиканың сырын жан-жақты зерттеген. Мектепте үйренгені, қосымша тапсырмаларды орындау, жеке жұмыс жасау барысында орындаған есептері туралы көп ақпараттар мен мәліметтер жинастыра отырып, өз сыныптастарына түсіндіре білген. Ол мектепте мұғалімімен бірлесе отырып, арифметикалық прогрессия туралы олардың есептеу құпиялығын, шапшаң есептеу түрін, жан - жақты қолданған. Олимпиадаға ұстазымен бірге жеке дайындалған.

Бұл жұмыста оқушының көп ізденгенін көруге болады. Жинаған ақпараттары мен жасаған зерттеу жұмыстарына қарап, оқушыларға логикалық ойлау қабілеті мен шапшаң есептеу түрін сондай-ақ барлық сыныптастарына пайдасы барын көруге болады. Болашақта өз білімімізді шыңдап, биік жетістіктерге жетуді ойласақ арифметикалық прогрессия сырын есептеу тиімділігін ұстазымыздың айтқанын дұрыс түсіне білсек, болашақта мамандық таңдауға пайдасы көп екеніне көз жеткіземіз, деп сыныптастарына үндеу тастаған.

Болашақта өз мамандығын таңдап, математика пәні мұғалімі немесе инженер боламын деген арманының орындалуына, жол аша білген. Оқушы өте ізденімпаз. Бастаған жұмысын аяғына дейін толық орындайды.

Пікір жазған: математика пәні мұғалімі Рахманбердиева Т.О.

«Түркістан облысы Келес ауданы

№ 29 жалпы орта мектебінің» КММ

10 сынып оқушысы Омонбеков Нұрболдың

«Арифметикалық прогрессия»

тақырыбына жазған

ПІКІР

«Арифметикалық прогрессия» тақырыбында оқушы тереңнен зерттеу жұмысын жүргізген.

Бұл жұмысты орындау барысында оқушы өзі сандардың көптеген қасиеттерін қарастыра отыра арифметикалық прогрессия тақырыбын таңдады. Осы тақырып бойынша «Арифметикалық прогрессияға» көптеген мысалдар келтірді және есептерді дәлелдей білді. Сонымен қатар көптеген мысалдар мен дәлелдерді пайдаланып есептеді. Оқушының зерттеу жұмысында оқушы ізденімпаз, бастаған ісін аяғына дейін толық орындай білетін, алғыр, зерек, шығармашыл оқушы. Болашақта өз мамандығын таңдап, математика пәні мұғалімі немесе инженер болуға өз арманына жол аша білді.

Пікір жазған: математика пәні мұғалімі Рахманбердиева Т.О.

Аннотация

Бұл ғылыми жобада оқушы «Арифметикалық прогрессия» сырын анықтау- бұл сандардың Арифметикалық қасиеттерін пайдаланып есептеу және қасиеттері бойынша дәлелдеп көрсету болып табылады. Шапшаң есептеудің құпиясын, сандардың сырлы қасиеттерін есептеу керек екендігін дәлелдеп жаза білген.

Мазмұны

І.Кіріспе

ІІ. Негізгі бөлім

ІІ.1.Ертедегі арифметика туралы аңыздар

ІІ.2.Арифметикалың тізбек

ІІІ.Жұмыстың зерттеу бөлімі

ІІІ.1. Арифметикалық прогрессияның анықтамасы

ІІІ.2.Геометриялық прогрессия

ІІІ.3.Арифметикалық прогрессияның маңызы

Геометриялық есептерді шешуде қолданылады.

Өнеркәсіп пен биологиядағы прогрессиялар.
Прогрессияның банктердегі есептеулерде қолданылуы

Қиял ғажайып есебіндегі прогрессия.

ІҮ. Қорытынды

Ү. Қолданған әдебиеттер тізімі

Тақырыбы: «Арифметикалық прогрессия»

Мақсаты: Сандардың арифметикалық прогрессия қасиеттерін меңгере отырып, сандар сырын анықтау арқылы арифметикалық прогрессия тез есептеуде, мәтін есептерді шығаруда, дәлелдеуде орынды, жүйелі қолдана білуге қол жеткізу.

Міндеттері.

1.Сандардың арифметикалық прогрессия белгілерін оқып үйрену және есептеуде қолдана білу;

2. Арифметикалық прогрессиян анықтауды қолданып күрделі және олимпиадалық есептер шығарудың тиімді жолдарын үйрену;

3.Санның бөлінгіштігін дәлелдеуге есептер шығару: а) көбейткіштерге жіктеу арқылы дәлелдеу; ә) қалдықпен бөлуді қолдану арқылы дәлелдеу.

Өзектілігі. Арифметикалық прогрессия белгілері тез есептеуге мүмкіндік беретін болғандықтан, тақырыпты оқып үйрену өмірде уақыт үнемдеуді ұтымды пайдалануға көмектеседі және күрделі немесе олимпиадалық есептерді шығаруда көмектеседі.

Гипотеза. Арифметикалық прогрессия белгілерін пайдаланып есептеулер жүргізсе және дәлелдеуде қолданса, онда математиканың басқа да салаларын меңгеру әлдеқайда жеңіл болар еді.

Зерттеу әдістері : • Осы тақырып бойынша зерттеулер жүргізу және талдау;

• есептер арқлы дәлелдеп көрсету; • Арифметикалық прогрессияны пайдаланып күрделі есептерді жинап талдау.

Күтілетін нәтиже:

• Арифметикалық прогрессия белгілерін біледі;

• Арифметикалық прогрессия белгілері бойынша кез келген санның мүшесін дәлелдеп көрсетеді;

• N мүшесін табуда табуда арифметикалық прогрессия бойынша есептеп көрсетеді.

І.Кіріспе

Жалпы прогрессия термині латын тілінен алынған, (progression, алға жүру дегенді білдіреді) және рим авторы Боэци (VI ғ) енгізген.

Бұл терминмен алғашында әр түрлі заңдылықтар бойынша бір бағытта жалғаса беретін, әр түрлі тізбектерді атайтын болған. Қазір прогрессия термині алғашқы мағынасында қолданылмайды. Ең маңызды екі прогрессия арифметикалық және геометриялық прогрессия өз атын сақтап қалды. Арифметикалық және геометриялық атаулары ежелгі гректер оқып үйренген үзіліссіз пропорциялар теориясынан ауысты. Прогрессияларға байланысты алғашқы мәліметтер, бізге Ежелгі Грецияның құжаттарынан жетті.

Ежелгі Египетте б.э.д Vғасырда гректер прогрессиялар және олардың қосындылары жайлы білді:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Прогрессияға қатысты кейбір формулалар қытайлық және үнділік ғалымдарға да аян болды. (V ғ.)

Кез- келген шектеулі геометриялық прогрессияны қосудың жалпы ережесі , 1484 жылы жарыққа шыққан Н. Шюктің «Сандар туралы ғылым » еңбегінде кездеседі. Германияда жас ғалым Карл Гаусс (1777-1855) әп – сәтте 1 ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысын, бала күнінде есептеп шығарды

1+2+3+4+…+98+99+100  = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50 =5050.

Кез кеген шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу формуласын  17-ғасырдың бірінші жартысында бірнеше математиктер ұсынды, олардың ішінде франсуз математигі Пьер Фермада бар еді.

Жекелеген арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдарын тіпті ежелгівавилиондық және гректік төрт мыңжылдық және одан да көп жыл бұрынғы  жазбалардан кездестіруге болады. Ежелгі грецияда б.э.д бес жүзжыл бұрын мынадай қосындылар белгілі болды:

1+2+3+…+n=  n(n+1);

1+3+5+…+(2n-1)=n²;

2+4+6+…+2n=n(n+1).

Б.э.д екінші мыңжылдыққа қатысты, Вавилиондық кестелерде,сол сияқты египеттік папирустарда , арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдары кездеседі. Бізге ежелден жеткен прогрессияның есептері адамдардың күнделікті тіршілігімен тығыз байланысты: тағамдарды бөлісу, енші бөлу т.с.с.

Ертеде есепшілер көбіне тастардың көмегімен санады, оларды  дұрыс фигуралар түрінде жинай білді.

ІІ. Негізгі бөлім

ІІ.1.Ертедегі арифметика туралы аңыздар

Ертедегі Индияның  патшасы Шерам, шахматты ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны өзіне шақырып, осындай тамаша ойынды ойлап тапқаның үшін не сыйлайын деп сұрапты.

Сонда өнертапқыш,  патшадан шахмат тақтасының бірінші клеткасына

1 дән, екіншісіне – 2 дән, үшіншісіне  – 4, төртіншісіне – 8 және т.с.с.., яғни әр клеткаға, алдыңғыдағыдан екі есе артық дән салуын сұрапты.

Алғашында патша осыншалық аз сұранысқа таң қалады да, тезірек Сетаның өтінішін орындауды бұйырады. Алайда патша сарайындағы «қор» бұл өтінішті орындауға қауқарсыз болып шығады.

Шын мәнінде бұл өтінішті орындау үшін, мына қосындыға тең дән керек еді 1 + 2 + 2² +.. + 2⁶³, ал бұл қосынды 18446744073709551615 ке тең. Егер1 пуд дән  40000 дәннен тұратынын ескерсек, өтініш орындалу үшін  230 584 300 921 369 пуд дән керек . Егер жылына   1 000 000 000 пуд дән жиналады деп ұйғарсақ,  өткізу керек (бір де бір дән шығын болмаған жағдайда). Шахматты ойлап тапқаны үшін өнертапқыш, S₆₄=2⁶⁴-1=18446744073704551615  дән алар еді.

Барлық дән: 18 квинтиллион 446 квадриллион 744 триллион73 миллиард (биллион) 709 миллион 551мың 615 Бұл санның стандарт түрі:    

S ₆₄ = 2⁶⁴ – 1 = 1,84 · 10¹⁹

ІІ.2.Арифметиканың тізбек

Арифметикалық прогрессия ұғымын тереңірек ашып көрсету.

Арифметикалық прогрессия , 1-реттік арифметикалық қатар — әрбір келесі саны (2-саннан бастап) алдыңғысына бір тұрақты d санын қосқанда шығатын сандар тізбегі. {\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }d саны арифметикалық прогрессияның айырмасы деп аталады. {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }

Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d\quad \forall n\geq 1}формуласымен өрнектеледі. Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің тағы бір қасиеті мынадай: Егер d>0 болса, онда арифметикалық прогрессия өспелі, егер d<0 болса, онда кемімелі болады. Арифметикалық прогрессияның ең қарапайым мысалына натурал сандар тізбегі жатады. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің саны шектелген не шектелмеген болуы мүмкін. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n}формуласы арқылы есептеледі.

Жұп оң сандарды өсу ретімен теріп жазайық. Ондай бірінші сан 2, екіншісі 4, үшіншісі 6, төртіншісі 8, т.с.с.

Сонда

2; 4; 6; 8; …

тізбегі шығады.

  Бұл тізбекте бесіншісі орында 10, оныншы орында 20, жүзінші орында 200 саны тұратыны айқын. Жалпы алғанда кез келген n натурал саны үшін оған сәйкес болатын жұп оң санды көрсетуге болады, он 2n – ге тең.

  Тағы да бір тізбек қарастырайық. Алымы 1 – ге тең дұрыс бөлшектерді кему ретімен теріп жазайық:

1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; …

Кез келген натурал сан үшін біз оған сәйкес болатын бөлшекті көрсете аламыз; ол бөлшек 1/n + 1 – ге тең. Сөйтіп, алтыншы орында – 1/7 бөлшегі, отызыншы орында – 1/31 бөлшегі, мыңыншы орында – 1/1001 бөлшегі тұруы тиіс.

Тізбекті құрайтын сандар реті бойынша тізбектің бірінші, екінші, үшінші, төртінші, т.с.с. мүшелері деп аталады. Тізбектің мүшелерін әдетте мүшенің реттік нөмірін көрсететін бар әріптермен белгілейді. Мысалы, а , а , а , а , т.с.с. Жалпы тізбектің n нөмірлі мүшесін немесе тізбектің n – ші мүшесі деленді а n деп белгілейді. Тізбектің өзін былай белгілейміз (а ).

Тізбектің мүшелер саны шектеулі болуы мүмкін екенін ескертеміз. Мұндай жағдайда оны шектеулі тізбек деп атайды. Шектеулі тізбекке екі таңбалы сандар тізбегі мысал бола алады:

10; 11; 12; 13; … ; 98; 99.

Тізбекті беру үшін, оның кез келген нөмірлі мүшесін табуға мүмкіндік туғызатын тәсілді көрсету керек.

Тізбекті көбінесе тізбектің n – ші мүшесінің формуласы арқылы береді. Мысалы, жұп оң сандардың тізбегін а = 2n, алымы 1 – ге тең дұрыс бөлшектер тізбегін Вn = 1/ 1 + n формуласымен беруге болады. Басқа мысалдар келтірейік.

1.Мысал. Тізбек у = n – 3n формуласымен nберілген болсын n – нің орнына 1, 2, 3, 4, 5 … натурал сандарын қойып, мынаны шығарып аламыз:

у = – 2; у = – 2; у = 0; у = 4; у = 10; …

Қарастырып отырған тізбек былай басталады:

2; – 2; 0; 4; 10; …

2 – мысал. Тізбек Х = (- 1) · 10 формуласымен берілген болсын. Осы тізбектің тақ нөмірлі барлық мүшелері – 10 – ға, ал жұп нөмірлі мүшелері 10 – ға тең:

 х = – 10, х = 10, х = – 10, х = 10.

Мына тізбекті аламыз

10; 10; – 10; 10; – 10; …

– мысал.

(С ) = 5 формуласымен барлықмүшесі 5 – ке тең тізбек былай жазылады:

 5; 5; 5; 5; …

Тізбектің берілуінің тағы бір тәсілін қарастырайық.

– мысал. ( а ) тізбегінің бірінші мүшесі 3 – ке тең, ал әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің квадратына тең болсын, яғни

 а = 3,а = а

а = а формуласының көмегімен тізбектің белгілі бірінші мүшесі бойынша екінші мүшесін, сонан соң екінші мүшесі бойынша үшіншісін, үшінші мүшесі бойынша төртіншісін, т.с.с. есептеп шығаруға болады. Сонда 3; 9; 81; 65; 61; … тізбегін шығарып аламыз.

Тізбектің қандай да бір мүшесінен бастап, кез келген мүшесін алдыңғы мүшелері арқылы өрнектейтін формуланы рекурренттік формула деп атайды.

ІІІ.Жұмыстың зерттеу бөлімі

ІІІ.1. Арифметикалық прогрессияның анықтамасы

Арифметикалық прогрессияның анықтамасы.

Арифметикалық прогрессияның n – ші мүшесінің формуласы.

– ке бөлгенде 1 қалдық қалатын натурал сандар тізбегін қарастырайық.

1; 5; 9; 10; 13; 17; 21; …

Екіншісінен бастап оның әрбір мүшесі өзінің тікелей алдындағы көршілес мүшеге 4 санын қосқаннан шығады. Бұл тізбек арифметикалық прогрессияға  мысал болады.

Басқаша айтқанда, егер кез келген натурал n үшін.

а = а+ d

(мұндағы d – қандай да бір сан) шарты орындалса, онда ( а ) тізбегі арифметикалық прогрессия болады.

Арифметикалық прогрессияның анықтамасынан екіншісінен бастап кез келген мүшесі мен оның алдындағы мүшенің айырымы d – ға тең, яғни кез келген натурал n үшін