Ғылыми жұмыс: Квадрат теңдеулер

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Тақырыбы: « Квадрат теңдеулер »

Дайындаған: Қалмұрза Назерке Ғаниқызы

Жетекшісі: Сатыбалдиев Азамат Смаилович

Жоспар

Кіріспе

Әдебиеттер

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .3

1. Квадрат теңдеудің шығу тарихы. ...... .. . ... ... ... .. .. . ... ... ... ..... ... ... ... 4

2. Квадрат теңдеудің түрлері мен қасиеттері...... ... ... ... ... ... .. .. ... ... ... 5

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7

МАЗМҰНЫ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 8

ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9

Кіріспе

Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы сипатталады,мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі.Квадрат теңдеулерді,оның түбірлерінің формуласы бойынша есептеу тақырыбымен 8-сынып алгебра курсында таныстым.Негізінен,квадрат теңдеулерді шешудің басқа да әдіс-тәсілдері бар.Осы әдіс-тәсілдерді талдау арқылы бұл тақырып туралы тереңінен ұғынуға болады.Есепті шешу үшін есептің шарты баяндалған математикалық тілді модель-өрнекті құру үшін белгісізді x, y, z деп белгілеп,шартта баяндалған барлық жағдайды еске алып өрнек теңдеу құрамыз.Ары қарай осы өрнектен белгісізді табу теңдеуді шешу болып табылады.Вавилондықтар (б.з.д. екі мыңыншы жылдар шамасында) толымсыз квадрат теңдеулерді және толық квадрат теңдеулердің дербес түрлерін шеше білген. Вавилондықтардың квадрат теңдеуін шешу жолы қазір біз қолданып жүрген формулаға сәйкес келеді.Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бірнеше рет қайтадан ашылған.Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетіліп,дамыған кезде,квадрат теңдеулерді алгебралық жолмен шешкен.Сондай-ақ тригонометриялық,көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді,физикада және техникада,геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеу келтіріледі. Ежелгі гректер мына y² +6y -16=0 теңдеуін шешкендігіне тоқталып өтелік. Шешуі:y²+6y=16 немесе y²+6y+9=16+9. y²+6y+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда сол квадраттың өзін береді,ал y²+6y-16+9-9=0 бастапқы теңдеуде сол теңдеу болып табылады.Бұл мысалдан алатынымыз y+3=5 y1=2 y2=-8 болады.Ұсынылған жобаның басты мақсаты квадрат теңдеулердің түбірлерін табудың формулаларын қолдануда квадрат теңдеулер арқылы көптеген мазмұнды есептерді шығаруға болатындығын көрсету.Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін квадрат теңдеулерді шешуде және Виет теоремасын қолданып шешудің өзіндік тәсілдерін оқушыларға түсінікті қолдану қасиеттері атап көрсетілген.

1-бөлім.Квадрат теңдеудің шығу тарихы

Анықтама:ax² +bx+c=0 түрінде берілген теңдеу квадрат теңдеу депаталады.Мұндағы a, b ,c – нақты сандар және a 0,ал x-айнымалы. Теңдеудегі а-бірінші коэффицент,b-екінші коэффицент,с-бос мүше. Іс жүзінде кездесетін көптеген есептерді шешу,мысалы,4x²-9x+2=0, 7x² –x +4=0,3x² +4x +7=0 сияқты теңдеулердің түбірлерін анықтауға келіп тіреледі.Бұл теңдеулердің әрқайсысының сол жақ бөліктері х-ке тәуелді 2-ші дәрежелі көпмүшелер,ал оң жақ бөліктері нөлге тең.Мұндай теңдеулер квадрат теңдеулер деп аталады.Сызықтық және квадрат теңдеулерді шешудің кейбір алгебралық әдістері 4000 жыл бұрын Ежелгі Вавилонда пайда болған.Ежелгі Греция математиктері квадрат теңдеулерді геометриялық әдіс-тәсілмен шеше білген;мысалы: Евклид-кесіндіні орта және шеткі қатынастарға бөлу арқылы шешкен.Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте ашқан (жуық шамамен 598ж.) Ортаазия ғалымы ал-Хорезми (IXғ) өзінің «Кибаталь-джебр валь-мукабала» трактатында бұл формуланы екі мүшенің толық квадратын геометриялық интерпретация арқылы айырып алу жолымен шеше білген. Ертедегі Диофанттың есебі

Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар аударады.Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп есептеп,бүтіндей қарастырмайды.Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.Алдыңғы есепке келейік.Бұл проблеманың шешуі мынадай есеппен түсіндіреді.Берілген сан 13 болсын,ол 2 мен 3-тің квадраттарының қосындысына тең.Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы x+2 болсын,ал екінші квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем,яғни 2х-3.Сонда бірінші квадраттың ауданы (x+2)²=x²+4x+4 екіншісінікі (2x-3)²=4x²-12x+9.Екеуінің ауданын қоссақ (x²+4x+4)+(4x²-12x+9)=5x²-8x+13.Есептің шарты бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:

5х²-8х+13=13 5x²-8x=0 x(5x-8)=0 x=0; 5x-8=0 5x=8 x=1.6

Cонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2=+2=,екіншісінікі 2x-3=2-3=-3Бұл сандардың қосындысы + = =13 болады,яғни есепті қанағаттандырады.

2-бөлім.Квадрат теңдеудің түрлері мен қасиеттері.

Квадрат теңдеудің сол жақ бөлігін,яғни ax²+bx+c көпмүшесін квадрат үшмүше деп атайды.Егер x=u саны квадрат теңдеудің сол жақ бөлігін нөлге айналдырса,онда u саны квадрат теңдеудің түбірі деп аталады.Мысалы,x=2 саны 2x²+3x-14=0 теңдеуінің түбірі болады,себебі 2 2²+3 2-14 8+6-14 14-14 0.Ал х=5 саны үшін 2 ²+3 5-14=50+15-14=51 0 теңсіздігі орындалатындықтан,х=5 саны 2x²+3x-14=0 квадрат теңдеуінің түбірі бола алмайды.

Сонымен,1)ax²+bx+c=0 (a 0) –квадрат теңдеудің жалпы түрі; 2)x²+px+q=0 – келтірілген квадрат теңдеу.Егер теңдеудегі b 0 және с 0 болса,онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталады.Мысалы:x²-2x-1=0; 3x²-8x+5=0; 2.1x²+102.3x +0.8=0 толық квадрат теңдеулер.b немесе c,немесе b мен c-нің екеуі де нөлге тең болатын дербес жағдайлардағы квадрат теңдеу толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.Толымсыз квадрат теңдеулердің түрлері:

1)ax²+bx=0 (мұндағы с=0);

2)ax²+c=0 (мұндағы b=0);

3)ax²=0 (мұндағы b=0;c=0).

Егер толық квадрат теңдеудегі 1-ші коэффицент 1-ге тең болса,онда ол келтірілген квадрат теңдеу деп аталады.x²+px+q=0 мұндағы p және q –кез-келген нақты сандар.

3-бөлім.Қорытынды бөлім.

Қазіргі қоғамда квадрат айнымалысы бар теңдеулермен әрекеттерді орындау қабілеті қызметтің көптеген саласында пайда болуы мүмкін және ғылыми-техникалық дайындық практикасында кеңінен қолданылады.Мұны теңіз және өзен кемелерінің,ұшақтар мен зымырандардың конструкциясында дәлелденеді.Осындай есептеулердің көмегімен ғарыш объектілерін қоса алғанда,әртүрлі денелердің қозғалыс траекториялары анықталады.Квадрат теңдеулерді шешуге арналған мысалдар тек экономикалық болжауда,ғимараттарды жобалау мен салуда ғана емес,сонымен қатар ең қарапайым күнделікті жағдайда да қолданылады.Іс жүзінде квадрат теңдеулерді шешкенде бірден олардың формуласын есептеуге болатын түбірлік формуланы қолдануға болады.Мен квадрат теңдеулерді,теңсіздіктерді шешкенде,тригонометриялық және иррационал теңдеулерді шешкенде де қолданылатынын білдім.Квадрат теңдеулер физика және геометрия пәндеріндегі кейбір есептерді шешуде бірден бір қолайлы тәсіл болып табылады.Квадрат теңдеудің шешу тәсілдері мен түрлері оқушылардың тақырыпты тереңінен үйренуіне жол ашады.Әрбір оқушы үшін квадрат теңдеуді басқа пәндердегі есептерді шешуде қолдана білуі,математиканың ғылымдар патшасы ретінде біле жүргеніміз абзал деп ойлаймын.Сондықтан да кез келген есептердің шешу жолдарын ғана біліп қоя салмай,оларды терең меңгеріп,ой санамыздың дамуына ықпал жасауымыз керек.

Қолданылған әдебиеттер тізімі :

1) «Атамұра» 2018,8-сынып алгебра Шыныбеков Ә.Н.

2) «Атамұра» 2012,8-сынып алгебра Шыныбеков Ә.Н.

3)https://bilim-all.kz

4)https://45minut.biz

5)https://kerchtt.ru

6)https://ustaz.kz

7)https://stud.kz

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .3

1. Квадрат теңдеудің шығу тарихы. ...... .. . ... ... ... .. .. . ... ... ... ..... ... ... ... 4

2. Квадрат теңдеудің түрлері мен қасиеттері...... ... ... ... ... ... .. .. ... ... ... 5

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7

МАЗМҰНЫ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 8

ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9