қ АЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Ғылыми жоба

Тақырыбы: «Қолданыстағы Пифагор теоремасы»

Бағыты: «Жаратылыстану ғылымдары»

Секциясы: Математика

Орындаған :

Жетекшісі:

Жұмыстың орындалу уақыты:

2018 жыл

МАЗМҰНЫ

АННОТАЦИЯ ....................................................................................................		3
КІРІСПЕ .............................................................................................................		4
НЕГІЗГІ БӨЛІМ ...............................................................................................		7
	I тарау. Пифагор өмірі сыр шертеді .......................................................	7
	II тарау. Теореманың тарихы ................................................................	11
	IІІ тарау. Пифагор теоремасын дәлелдеу ..............................................	15
	IV тарау. Қолданыстағы Пифагор теоремасы .......................................	20
ҚОРЫТЫНДЫ ..................................................................................................		25
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ .............................................		27

Аннотация

Математика пәніде «Қолданыстағы Пифагор теоремасы» тақырыбы ерекше орын алады. Қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерінен үзінділерді оқушыларға таныстыру, олардың шығарылу жолдарымен таныстыру оқушылардың логикалық білімі мен дағдысын қалыптастыруға көмек береді.

Тақырыптың өзектілігі: Бүгінде жаһандану заманында жас ұрпаққа әлемдік стандартқа сәйкес білім беру мәселесі республикамызда ғылыми-педагогикалық тұрғыда ізденіспен әлемдік жинақталған тәжірибеге, отандық қол жеткен табыстарды саралай отырып, ұлттық ерекшеліктерді ескере, оқыту мен тәрбелеуді жаңаша ұйымдастыру көкейкесті мәселе болып отыр. Осыған орай ғылыми техникалық прогрессия дамыған уақытта компьютер көмегімен есепті шешу технологиясының ерекшеліктері туралы сөз қозғамақпыз. Келешектің кез келген маманы компьютерді өз жұмысында тиімді пайдаланғысы келсе, онда ол өз саласы бойынша алға қойылатын проблемаларды тұжырымдай алуы тиіс.

Біз «Қолданыстағы Пифагор теоремасы» тақырыбын математика пәнінде қолданудың жолдары мен мазмұны туралы ой бөлісеміз. Қазіргі таңда, әдеттегідей, оқушылар үшін мектептегі оқулықтар мен басқа да оқу құралдарындағы күрделілігі жоғары деңгейдегі есептер арасында елеулі орын алып отырған тарихи есептерді шығару біршама қиындықтар тудырады.

Біз қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерін, олардың шешу жолдарын анықтаймыз. Қазақ халқының ауызша тараған математикалық есептері ауыз әдебиетінде де, математикада да жинақталып, бір жүйеге түсірілмеген. Бұл әлі астары ашылып, түбегейлі зерттелмеген сала. Бұл ұсынылып отырған еңбек осы бағытта жасалған алғашқы қадам деуге болады. Мұнда байырға есептерді үш топқа бөліа қарастырған. Атап айтсақ, «Алтын қазына», «Ертегілер елінде» және «Теңдеу құрып шығаруға арналған есептер». Берілген жұмыста әр бөлімге сипаттама беріліп, есептер жүйесінің шешу жолдары көрсетілген.

Бұл жұмыста білім алушы қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептеріне және олардың шешу жолдарына тоқталған. Оқушы зерттеу жұмысын жаза отырып өзінің қолданыстағы Пифагор теоремасының шығу тарихына аса қызығушылықпен қарайтынын, замана талқысынан өтіп, өңі өзгерген де сөлі қалған, атадан балаға мұраға қалған, жүрек қылының пернесі - ауызекі тараған математикалық есептерді жинап, оларға сипаттама берген. Бұл берілген жұмысты математикадан қосымша сабақтарда оқушылардың пәнге деген қызығушылықтарын арттыра отырып, логикалық ойлау қабілеттерін кеңінен дамытуға қолдануға болады деген ұсыныс жасаймын.

Жобаның мақсаты: Қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерін анықтау және оларды стандартты емес әдістермен шешу жолдарымен оқушыларды таныстыр, оларды сабақта пайдалану тәсілдерінің педагогика-психологиялық теориялық негіздемесін жасап, практикады жүзеге асыруға дағдылану.

Жобаның міндеттері:

• Қолданыстағы Пифагор теоремасының есептерінің математика курсында алатын орнын анықтау.

• Тақырыпқа сәйкес есептерді іріктеу және оларды стандартты емес шешу әдістерін қарастыру.

• Қосымша мағлұмат қарастыру.

Жобаның нәтижесі:

Әрбір есепті шығару кезінде қандай да бір нәтижеге шығу керек. Есепті шешу барысында нәтижеге жету үшін:

• Біріншіден қолданыстағы Пифагор теоремасының есептерінің шығу тарихын зерттей келе, оның қажеттілігін үйрену қажет;

• Екіншіден, қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерді стандартты емес әдістермен шешу жолдарының әдістерін үйрену қажет. Ол үшін оқушының логикалық ойлау қабілетінің жоғары болуын талап ету шарт.

• Үшіншіден, осы логикалық ойлау арқылы оқушының қазақтың байырға қара есептерінің небір күрделі, жеңіл түрлерін зерделеп шығару керек.

Жобаның болжамы:

Осы зерттеп жатқан жоба екі оқу жылын жоспарланғандықтан, жұмысты әрі қарай жалғастыру, іздену, дамыту.

Жобаның кезеңдері:

-өзім көптен қызығып жүрген қолданыстағы Пифагор теоремасының есептерінің түрін оқушыларға насихаттаймын;

-мәліметтерді жинақтап, қолданыстағы Пифагор теоремасы есептерінің түрлерінің шешу жолдарын үйренемін, әрі оқушыларға үйретемін;

- жинаған жұмысты талдаймын;

- әр түрлі әдіс-тәсілдерді пайдалану арқылы оқушыларға есептердің шешу жолдарын үйретемін;

-хабарланған талаптар бойынша жоба жұмысын жинақтап, қортындылаймын.

Эпиграф:

“Математика ақыл-ой гимнастикасы” – деп Гаусс айтқандай, өсіп келе жатқан ұрпағымыз өз халқының математиктерін танып-біліп, сонымен қатар жоғары дәрежелі теңдеулердің есептерімен де таныс болуы қажет. Осы есептер арқылы озық ойлы, ұшқыр болып өсуі қазіргі кездегі кезек күттірмейтін мәселе.

Кіріспе

Қазіргі заманғы жаңа жоғарғы технологиялар және ақпараттық технологиялар ғасырында экономиканың, білімнің және ғылымның, тіпті бүтіндей қоғамның математикасыз тиімді дамуы мүмкін емес.

Елбасы Н.Ә.Назарбаевтың соңғы жылдардағы Қазақстан халқына арнаған Жолдауларында, 2012 жылдың аяғында ұсынған «Қазақстан – 2050» Стратегиялық бағдарламасында жаратылыстану ғылымдарының, оның ішінде, әсіресе, математика ғылымының дамуына, жастарға математикалық білім беру мәселелеріне баса назар аударылып келеді. Бұл тұрғыда: «Біз білім беруді жаңғыртуды одан әрі жалғастыруға тиіспіз. ... Сапалы білім беру Қазақстанның индустрияландырылуының және инновациялық дамуының негізіне айналуы тиіс» деп ерекше атап көрсеткені де белгілі. Сапалы білім және ғылым математиканың қатысуымен ғана іске асырылатын болады.

Сондықтан, Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігінің 2011 жылдың 11-12 мамырында республика математика мұғалімдері съезін өткізуі өте құптарлық, өз уақытындағы іс-шара болды деп атап айта аламыз. Өйткені, математикалық білімді мазмұнды жаңарту және оны сапалық жаңа деңгейге көтеру, қазіргі қоғам дамуы талабына сай ету, бүгінгі күннің заңдыда және өзекті мәселесі, жалпы Қазақстанда халықаралық стандарттарға сай сапалы білім беру мәселесін оң шешудің бір тиімді жолы деп есептейміз.

Математика пәнін оқыту жағдайын жуық арада жаңа сапалық деңгейге көтере және шығара алсақ, онда қоғамдағы, білімдегі, ғылымдағы, техникадағы, мәдениеттегі, тәрбиедегі және экономикадағы көп мәселелер өз шешімін оң табатындығы сөзсіз. Мысалы, жаңа қоғамның және республиканың индустриялдық-инновациялық дамуы кезеңіндегі математика білімінің, ғылымының дамуы және оны оқыту сапасының жақсаруы – дайындығы жоғары сапалы, халықаралық талаптар деңгейіндегі инженер және технолог мамандар және республикада кәсіби деңгейі жоғары, сауатты экономистер, қаржыгерлер және менеджерлер дайындауға, халықтың жалпы интеллектуальдік деңгейінің өсуіне тиімді мүмкіндіктер беретін болады.

Ел Президентінің тапсырмасы бойынша Бас қала Астанада және республика облыстары орталықтарында жаңадан ашылып жатқан және жуық арада ашылатын Назарбаев зияткерлік мектептерінің көбісінің жаратылыстану ғылымдары бағытында болып отырғандығы ел келешегінің жарқын болатындығының белгісі деп ойлаймыз. Бұл мектептер дарынды, талантты оқушыларды үздік ЖОО – лар үшін дайындаудың негізгі арқауына айналғалы отыр. Өйткені, кез келген ғылым бағыты және өндіріс саласы математикалық аппаратты ғылыми-зерттеудің негізгі құралдарының біріне айналдыратын болса ғана ол ғылым мазмұнды жаңа жетістіктерге, белестерге жететін және арықарата жоғары деңгейде дами алатын болады.

Сондықтан барлық деңгейдегі білім саласы басшылары жалпы білім және тәрбие берудегі математика пәнінің рөлін, орнын дұрыс түсіне отырып, оны оқытудың сапасын жақсартуға баса назар аударулары қажет деп есептейміз. Ана тілін оқытудан кейінгі басты назар математикаға аударылуы тиіс, сонда ғана жалпы білім деңгейін жаңа сатыға көтере алатын боламыз.

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Жан-жақты білімді, салауатты, тәрбиелі, мәдениеті жоғары өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған басты мақсаттардың бірі. Бұл мақсатты іске асыру және оған жету әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің жеке тарауларының әр жеке тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке өзіндік тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің жалпы оқыту және тәрбие жүйесіндегі алатын орны, салмағы зор және ерекше, оны барлық жұрт түсінуі тиіс деп ойлаймыз.

Сол себепті, мектептік математика курсындағы ең бір негізгі орталық/басты ұғым, түсінік – «Қолданыстағы Пифагор теоремасы» ұғымдары екендігін келешек математика пәні мұғалімі жақсы түсінуі тиіс. Теңдеу және теңсіздік ұғымдарын жеткілікті деңгейде саналы түсінген оқушы ғана келешекте жалпы математика курсын және оның қолданбалық принциптерін, мүмкіндіктерін және бағыттарын терең түсінуге мүмкіндік алады, білімін және біліктілігін өз бетінше тиімді түрде тереңдете және дамыта алатын болады, шығармашылық тұрғыда жұмыс істеуге бейімделеді.

Келешекте ғылыми-зерттеу жұмыстарымен айналыса алудың фундаменті, іргесі теңдеу және теңсіздік тақырыптарын оқып-үйрену барысында қаланады, сол тақырыптарға арналған есептерді саналы түсініп шығара алудан басталады. Сондықтан оқушы ең алдымен, бастапқыда қарапайым стандартты типтік теңдеулерді және теңсіздіктерді шығарудың жолдарын және тәсілдерін жақсылап түсініп және меңгеріп алудан бастауы қажет болады. Ал енді, ол үшін оқушы өз кезегінде типтік теңдеулерді және теңсіздіктерді саналы түсініп шығара алуы алдында сандар теориясының негізін, жиын ұғымын, модуль (абсолют шама) анықтамасын және негізгі элементар функциялардың анықтамаларын, қасиеттерін, графиктерін, сан өсінде әртүрлі шамаларды және интервалдарды өрнектеуді, элементар типтік теңдеулерді шығарудың негізгі тәсілдерін жақсылап саналы түсініп және меңгеріп алғаны жөн. Сол үшін пән мұғалімі математиканы оқытуда осы кезеңдерді дұрыстап тиімді ұйымдастыра білуі керек болады. Міне, осы келтірген тұжырымдаулар және фактілер диплом жұмысы тақырыбының өзектілігін көрсетеді және дәлелдейді деп ойлаймын.

Соған байланысты, жоғарыда атап өткендей, қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерді стандартты емес әдістермен шешу тақырыптарының жалпы математикалық білімдегі орнын, рөлін және маңыздылығын ескере отырып, осы тақырыпты тиімді оқытуға бағытталған кейбір өзекті мәселелерді дипломдық жұмысыма арқау етіп отырмын.

Негізгі бөлім

I тарау.

Пифагор өмірі сыр шертеді

Еліміздің тәуелсіздігі бүгінгі күні қоғамымыздағы интеллектуалдық еңбек үлесінің өсуі нәтижесінде өмірге ертең араласатын жеткіншектердің білім деңгейіне, әр адамның қабілеті мен шығармашылық әлеуетінің дамуына, оның кәсіптік икемділігіне қойылатын талаптар да күннен күнге арта түсуде. Елбасы Н.А. Назарбаев Еуразия ұлттық университетінде оқыған лекциясында: «Білімді, сауатты адамдар – бұл ХХІ ғасырда адамзат дамуының негізгі қозғаушы күші» - деп атаған.

Қазіргі заманғы білім берудің перспективалық міндеті – ол сындарлы ойлай білетін және ақпараттар ағынында бағдар ала білуге қабілетті адамдарды даярлау. Орта білім белсенді, білімді және табыстарға бағдарланған тұлғаларды тәрбиелеуге жауап береді.

Оқушылар «ешқашан бастауды тоқтатпа, ешқашан тоқтауды бастама» деген ақиқаттан адаспауы тиіс.

Математикалық ұғымдар, аксиомалар мен анықтамалар және қорытындылар (теоремалар және салдарлар) нақтылы өмірде бар болатын әртүрлі заттардың, онда болып жатқан құбылыстар мен өтіп жатқан процестердің өздеріне тән жалпы қасиеттерінің біздің санамызда бейнеленуі болып табылады. Академик А.Н. Колмогоров: «Математик әрқашан реалды құбылыстардың әртүрлі модельдерімен жұмыс жасайды. Оны, математик ретінде, қабылданған модель аясында қорытындылар орынды ма деген сұрақ ғана ойландырады. Егер де ол реалдылық пен оның математикалық моделінің арасындағы диалектикалық байланысты түсіндіру міндетінен бас тартса, бұл әсте жақсы емес» - деп көрсеткен болатын.

«Айтушылардың сөзіне қарағанда ғылымның бұл саласын жоғары тұрғыдан зерттеп, қиқы-шойқы жерлерін түзеп, шалағай ережелерді ширатып, ақыл парасатына жүгіндіріп,үлкен ғылымға айналдырушы Пифагор болған».

Пифагор - арифметика, геометрия, астрономия, музыка ғылымдарына елеулі үлес қосқан ғалым. Оның арифметикадағы табыстары өте көп.

Алайда Пифагордың есімін есімізге сала беретін, оны тарихта қалдырған ғылым геометрия болып табылады. Квадраттың диагоналы мен қабырғасы өлшемдес болмайтындығын, соған байланысты иррационал сандардың болатындығын алғаш рет Аггинанор ұлы Пифагор (580-500) тағайындаған. Пифагордың ең басты еңбегі - Пифагор теоремасы.

Самостық Пифагор (еж.-грек. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570—490 жж. б.з.д) — ежелгі грек философы және математигі. «Философия» (пәлсапа) сөзін алғаш рет қолданған Антика дәуірінің атақты философы және математигі Пифагор болған.

Пифагоршылардың күннің шығуын күтіп алуы, суретті Fyodor Bronnikov сызған (1827–1902)

Ұлы ғалым Пифагор б.з.д. 570 жылы Самос аралында туған. Пифагордың әкесі Мнесарх зергер болған. Пифагордың анасының аты белгісіз. Көптеген жазбалар бойынша туған бала өте әдемі болған және өсе келе өзінің ерекше қабілетімен көзге түскен.

Жас Пифагордың ұстаздарынан Гермодамант пен Ферекид Сиросскийді атауға болады(алайда Пифагордың алғашқы ұстаздары Гермодамант пен Ферекид екені нақты емес). Жас Пифагор күні бойы Гермодаманттың жанында жүріп, Гомердің жақсы әуендерді тыңдап өскен.

Гомердің әуендерін Пифагор жадында мәңгі сақтады. Пифагорды ойшыл деп мойындағаннан кейін жас талант әр күнін оқушылардың арасында Гомердің әуенімен бастаған. Ферекид Италия мектебінің негізін қалаған философ болған. Осылай, Гермодамант Пифагорды музыкаға, Ферекид ғылымға үйреткен. Ферекид Пифагорға табиғат сенің алғашқы да басты ұстазың деген. Жас Пифагорға өз қиялын іске асыру үшін Самостар болды, сондықтан ол Милетке сапар шегіп, онда басқа ғалым – Фалесті кездестірді. Фалес оған білім алу үшін Египетке бар деп кеңес берді. Пифагор оның кеңесін жөн көрді.

Пифагор б.з.д. 548 жылы үй – жай және тамақ табылатын Навкратис жеріне келді. Фараонның түсіндірме хатына қарамастан білгірлер Пифагорға өз құпияларын ашуға асықпай, оған қиын сынақтар қойды. Пифагор білімге деген құштарлығының арқасында сынақтардан оңай өтті. Ол кездегі Египет геометриясы жаратылыстану бағытындағы ғылым болғандықтан египеттік білгірлер оған көп нәрсені үйрете алмады. Білгірлер берген білімді меңгерген Пифагор өз Отанына Элладаға қашып кетті. Біраз жол жүрген Пифагорды үйіне қарай бет алып бара жатқан Вавилон билеушісі Камбиз тұтқынға алады.

ІІІ ғ. Пифагор бедерленген монета

Пифагордың Вавилондағы өмірі аса қиын болған жоқ. Вавилон математикасы Египеттікіне қарағанда аса дамыған болатын және Пифагордың үйренетіні де көп еді. Бірақ б.з.д. 530 жылдары Кир Орта Азиядағы тайпаларға қарсы жорыққа шығады. Қаладағы бұл жағдайды пайдаланып Пифагор Отанына қашып кетеді. Бұл кезде Самос аралығындағы билік Поликрат патшаның қолында еді. әрине Пифагор жартылай құл ретінде өмір сүруді ұнатпады,сондықтан ол Самостың жанындағы үңгірге кетіп қалады. Бірнеше айдан соң Пифагор Кротонға көшіп келеді. Кротонда Пифагор өздерін пифагорлықтар деп атаған адамдардан діни одақ құрады. Ол әрі діни бірлестік,саяси клуб және ғылыми одақ болған. Пифагордың кейбір әдеттері үлгі алуға лайықты.

... 20 жыл өтті. Одақтың атағы бар әлемге тарады. Бір күні Пифагорға бай,бірақ жексұрын Килон одаққа бірігу үшін келеді. Пифагор Килонның бетін қайтарады. Килон Пифагордың үйінің өртенгенін пайдаланып,оған қарсы шығады. өрт кезінде пифагорлықтар өз өмірлерін қиып,ұстаздарын құтқарып алады. Қатты қайғырған Пифагор өз - өзіне қол жұмсайды.

Пифагор музыканы үйретуде, «Афина мектебі», Рафаэль сызған.

Пифагордың философиялық идеялары Орфей дінінің ықпалына ұшыраған, қою мистикалық сипатқа ие. Ол грек философиясында санға айырықша назар аудару дәстүрін қалыптастырды, бүкіл ғарышты, зат атаулыны сан арқылы тануға, тіпті санның бойынан киелі мағыналар оқуға тырысты.^[1]

Бұл туралы ежелгі грек ойшылы Аристотель былай деп жазды:

"Пифагоршылдар тұңыш рет математикалық біліммен айналысушылар болды. Олар математикалық қағидалар барлық заттың ортақ қағидасы деп танып, ең жоғары ғылым ретінде барынша тереңдеуге тырысты." («Метафизика 1–5»

Пифагор математика арқылы музыкалық ырғақты зерттеп, содан күні бүгінге дейін кең қолданылатын "гармония" ұғымын туғызды. Бүкіл ғарыш, бүкіл адам болмысы, адамның ішкі жан әлемі түгелдей гаромниялық үндестікке, ғажайып үйлесімге ие. Дүниенің нағыз қуанышы сол үндестікті оқу, үйлесімділікті сезіну. Ол тіпті аспандағы жұлдыздар гармониялы нүктелерге орналасқан, олардың қозғалысынан туған тоғыспалы үн "ғарыш күйі" болып ойналады деп есептеді.

Ғарышты түсіндіруде, Пифагор Милет мектебінің дәстүрін өзінің Сан туралы идеяларымен ұштастырды. Ол көптеген шекті әлемдер өмір сүреді, жер шары шар пішінде, бірақ жер ғаламның орталығы емес деп есептеді. Оның бұл идеяларын қазіргі танылған шындықтарға негізінен жат келмейді деп бағалауға болады.

Пифагордың сан туралы зерттеулері кейінгі идеализмнің, жалпылық туралы теориялардың қалыптасуына ықпал етті. Ол танымды идеяда танылатын және сезімде танылатын деп екіге ажыратты. Идеяда танылатыны кемел, мәңгілік, мәнді даналық. Ал, сезімде танылатыны уақыттық, шекті, кемелсіз білімдер. Бұл пікірді кейін Платон ары қарай дамытып өзінің негізгі философиялық идеясы етіп жүйеледі.^[3]

Оның «Алтын нақылдар» деген жинағында мынадай пікірлер де айтылған: "Құдайлардан да ежелгі нәрселер бар, ол үміт пен үрей"; "Құдайлар адамды жаратқанына өкінді ме? Жоқ, қайта адам Құдайларды жаратқанына өкінді;" "Аз сөйле, одан да аз жаз"...

І І тарау

Теореманың тарихы

Пифагор сандары — натурал сандар үштігі, бұл сандар үшбұрыш қабырғаларының ұзындығына пропорционал (немесе тең) болса, онда үшбұрыш тікбұрышты болып табылады. Бұл үшін Пифагордың кері теоремасы бойынша ол сандардың х²+у²=z² түріндегі диофант теңдеуін қанағаттандыруы жеткілікті (мыс., х=3, у=4, z=5). Өзара жай Пифагор сандарының кез-келген үштігі мына формулалар арқылы анықталады: х = m²- n², у=2mn, z=m²+n², мұндағы m және n - бүтін сандар (m > n > 0).

Пифагор теогремасы - тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы байланысты тұжырымдайтын геометрия теоремасы. Пифагор теогремасы Пифагорға дейін де белгілі болған, бірақ оны жалпы түрде дәлелдеген Пифагор. Алғашында теорема тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттеріне салынған квадраттар аудандарының қатынасын тұжырымдаған: гипотенузаға тұрғызылған квадрат ауданы катеттерге тұрғызылған квадраттар аудандарының қосындысына тең. Пифагор теогремасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттері квадраттарының қосындысына тең. Пифагор теогремасына төмендегідей кері теорема да дұрыс: егер үшбұрыштың бір қабырғасы ұзындығының квадраты қалған екі қабырғасы ұзындықтарының квадратына тең болса, онда ол үшбұрыш тік бұрышты болады.

Теоременың тарихы ежелгі Қытайдан бастау алады. Ондағы негізгі назар аудартатын математикалық кітап Чу – пей. Бұл шығармада қабырғалары 3,4,5 – ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады.

Кантор (ұлы неміс математика тарихын зерттеуші) бұл кітапта үнді Бхаскар геометриясындағы сызбанұсқаға ұқсас сурет бар, деп есептеген.

Бұл теңдік египтіктерге б .з.д. 2300 жылы Аменемхета I патшаның кезінде белгілі болған (Берлин музейіндегі 6619 - жазбалар бойынша).

Кантордың ойынша гарпедонаптар немесе «арқан тартушылар» тік бұрышты қабырғалары 3,4,5 – ке тең тікбұрышты үшбұрыштар арқылы тұрғызған. Олардың құрылу әдісін оңай көрсетуге болады. Ұзындығы 12 метрге тең арқанды алып,бір ұшынан 3 метр,екінші ұшынан 4 метр арақашықтықты өлшеп белгілейміз. Тік бұрыш 3 – ке және 4 – ке тең қабырғалар арасында болады. Қабырғалардың ұштарының арақашықтығы 5 – ке тең болады.

Бұл Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық теорема. Гректің ұлы математигі , әрі философы Пифагор Самосский осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне, Египетке және Вавилонға көп саяхат жасаған.Оңтүстік Италияның грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми және саяси өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор практикада қолдана білген.

Бірақ, бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті жер учаскелерін, құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін де қолданған. Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-астрономиялық «Чжоу-би» шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор теоремасы да бар. Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған.

Көпбұрыштардың аудандарының қасиеттерін пайдалана отырып, біз тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттерінің арасындағы тамаша қатысты тағайындаймыз. Біз дәлелдейтін теорема Пифагор теоремасы деп аталып, геометриядағы негізгі теоремаға жатады.

Теорема. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең. Бұл сөйлем Пифагор теоремасының арифметикалық тұжырымдамасы деп аталады.

Арифметикалық тұжырымдама бойынша гипотенузаны сипаттайтын санның квадраты катеттерді сипаттайтын сандардың квадраттарының қосындысына тең болады.

Ал бұрынғы оқулықтарда теореманың толық тұжырымдамасы мынандай: Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадраттың ауданы катеттеріне салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең болады.

Гипотенузаға салынған квадратты төменгі жағына, катеттерге салынған квадраттарды жоғарғы жағына келтіріп, теореманың чертёжін салсаңыз, кілең түзу кесінділерден құралған фигура пайда болады. Бұл фигура «есек көпірі» деп аталып кеткен: латын ша – «понс азинорум», французша - «лес понт аукс анез» (немісше - «ди эселбрюкке», орысша - «мост ослов»).

Кейбіреулер оны шалбардың суреті сияқты деп есептеген. Орта ғасырлардағы мектептерде Пифагор теоремас ын жыл бойы жаттайтын болған. Сонда жаттай - жаттай жалыққан шәкірттер былай деп әндетіп те қояды екен:

Пифагордың шалбары,

Соңымыздан қалмады.

Ышқыры кең, ауы тік,

Бір балағы тар-дағы.

Осы бұрынғы оқулықтардағы теореманы негізге ала отырып, мен Пифагор теоремасын дәлелдеуді тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасын 3 – тен басталатын натурал сан, алкатеттерін нақты сандар жиынында қарастырдым. Яғни

с ˆ Ν, а ˆ R , в ˆ R .

IІІ тарау.

Пифагор теоремасын дәлелдеу

Теореманың қарапайым дәлелдеуі

Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған квадраттардың қосындысымен тең шамалы. Теореманың қарапайым дәлелдеуі тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында қарастырылады. Теореманың өзі де осыдан басталған.

Теореманың дұрыстығына көз жеткізу үшін тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар мозаикасына қарау жеткілікті. Мысалы, ΔABC үшін : АС гипотенузасына салынған квадрат 4 үшбұрыштан құралған, ал катеттерге салынған квадраттардың әрқайсысы екі үшбұрыштан тұрады. Теорема дәлелденді.

Теореманы алгебралық әдіспен дәлелдеу

Т - катеттері а, b және гипотенузасы с болатын тікбұрышты үшбұрыш болсын. с2=а2+b2 екенін дәлелдеу керек.

Қабырғалары а+b -ға тең Q квадратын саламыз. Q квадратының қабырғаларынан А, В, С, D нүктелерін, пайда болған АВ, ВС, CD, DA кесінділері катеттері а және b –ға тең Т1, Т2, Т3, Т4 тікбұрышты үшбұрыштар құратындай етіп саламыз. ABCD тіктөртбұрышын Р деп белгілейміз. Енді Р қабырғалары с-ға тең квадрат екенін көрсетуіміз қажет.

Барлық Т1, Т2, Т3, Т4 тік бұрышты үшбұрыштары Т тік бұрышты үшбұрышына тең (екі катеті бойынша). Сондықтан олардың гипотенузалары Т тікбұрышты үшбұрышының гипотенузасына, яғни с кесіндісіне тең. Енді бұл төртбұрыштың бұрыштары тік екенін дәлелдейміз.

және - Т үшбұрышының сүйір бұрыштары. Онда + = 90° екендігі белгілі. Р төртбұрышының А төбесіндегі бұрышы , бұрыштарымен қоса жазыңқы бұрышты құрайды. Сондықтан + + =180°. + = 90° болғандықтан =90°. Р төртбұрышының басқа бұрыштарының да тік екендігі дәл осылай дәлелденеді. Осыдан, Р төртбұрышы қабырғасы с болатын квадрат екендігі шығады.

Қабырғасы а+b –ға тең Q квадраты қабырғасы с-ға тең Р квадраты мен Т үшбұрышына тең төрт үшбұрыштан тұрады. Сондықтан олардың аудандары үшін S(Q)=S(P)+4S(T)орындалады.

S(Q)=(a+b)2;

S(P)=c2 және

S(T)=½a*b өрнектерін S(Q)=S(P)+4S(T) теңдігіне қою арқылы (a + b)2 = c2 + 4*½a*b теңдігін аламыз. (

(a+b)2=a2+b2+2*a*b болғандықтан (a+b)2=c 2+4*½a*b теңдігін мына түрде жазуға болады: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.

a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b теңдігінен с2=а2+b2 тең екендігі шығады.

Фигуралардың тең шамалылығын пайдала отырып дәлелдеу

Берілген тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттерге салынған квадраттар құрастырылған фигуралардан тұратынын дәлелдеуді қарастыруға болады. 2 суретте екі тең квадраттар бейнеленген. Әрбір квадраттың қабырғаларының ұзындығы а + b-ға тең. Квадраттардың әрбіреуі квадраттар мен тікбұрышты үшбұрыштардан тұратын бөліктерге бөлінген.Егер квадрат ауданынан катеттері а және b-ға тең тік бұрышты үшбұрыштың 4 еселенген ауданын алып тастасақ, онда тең шамалы аудандар қалады, яғни c2 = a2 + b2 . Бұл дәлелдеуді ұсынған ежелгі үндістер дәлелдеуді жазбаған, тек сызбаны «қара!» деген сөзбен түсіндірген.

Аддитивті дәлелдеулер

Бұл дәлелдеулер катеттерге салынған квадраттар жіктелген фигуралардан гипотенузаға салынған квадратты құрастыруға болатынына негізделген.

• Энштейн дәлелдеуі: гипотенузаға салынған квадратты 8 үшбұрыштарға бөлуге негізделген.

Бұл жерде: ABC –тікбұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш. C MN; CK MN; PO||MN; EF||MN.

• Пифагор теоремасын Евклидтің «Бастамалар» шығармасының ортағасырлық бағдадтық комментаторы ан-Найризия ұсынған бөлулер көмегімен дәлелдеу келтірілген. Бұл жағдайда гипотенузаға салынған квадрат 3 үшбұрышқа және 2 төртбұрышқа бөлінген.Мұнда: ABC – тікбұрышы C болатын үшбұрыш; DE = BF.

ан-Найризияның дәлелдеуінің негізінде квараттарды қос-қостан тең болатын фигураларға бөлуге де болады ( 5-сурет, бұл жерде ABC – C бұрышы тік болатын тікбұрышты үшбұрыш.).

• Квадраттарды тең бөліктерге жіктеу әдісі арқылы тағы бір дәлелдеу «қалқаншалы дөңгелек» деп аталады және 6-суретте көрсетілген. Мұнда: ABC– тікбұрышы C болатын тікбұрышты үшбұрыш; O – үлкен катетке салынған квадраттың центрі, О нүктесі арқылы өтетін пунктирлі түзулер гипотенузаға перпендикуляр немесе параллель.

Қосымша салулар арқылы дәлелдеу.

Бұл әдістің негізі тең шамалы фигуралар пайда болу үшін катеттерге салынған квадраттарға және гипотенузаға салынған квадратқа тең фигуралар салынады.

• қарапайым Пифагор фигурасы, яғни қабырғаларына квадрат салынған АВС тікбұрышты үшбұрышы бейнеленген. Бұл фигура алдыңғы тікбұрышты үшбұрышқа тең 1 және 2 үшбұрыштарымен толықтырылады.

Пифагор теоремасының дұрыстығы AEDFPB және ACBNMQ алтыбұрыштарының тең шамалы екендігінен шығады. Мұнда C EP, EP түзуі AEDFPB алтыбұрышын екі тең шамалы төртбұрыштарға, CM түзуі ACBNMQ алтыбұрышын екі тең шамалы төртбұрыштарға бөледі, А центрімен жазықтықты 90° бұрсақ АЕРВ төртбұрышы АСМQ төртбұрышына беттеседі.

• Пифагор фигурасы қабырғалары катеттерге салынған квадраттар қабырғаларына параллель тіктөртбұрышқа толықтырылады.Бұл тіктөртбұрыш үшбұрыштар мен тіктөртбұрыштарға бөленеді. Пайда болған тіктөртбұрыштан 1,2,3,4,5,6,7,8,9 көпбұрыштарын алып тастаймыз, сонда гипотенузаға салынған квадрат қалады. Енді осы тіктөртбұрыштан 5,6,7 және штрихталған тіктөртбұрыштарды алып тастасақ, катеттерге салынған квадрат пайда болады. Енді бірінші жағдайда алып тасталған фигуралар мен екінші жағдайда алып тасталған фигуралар тең шамалы екендігін дәлелдейміз.

• Нассириддин (1594 ж. ) дәлелдеуі көрсетілген. Мұнда: PCL – түзу;

KLOA = ACPF = ACED = a2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; бұдан c2 = a2 + b2.

• Гофман (1821 ж.) дәлелдеуі. Мұнда : ABC -тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш; BF кесіндісі CB кесіндісіне перпендикуляр және тең, BE кесіндісі AB кесіндісіне перпендикуляр және тең, AD кесіндісі AC -ға перпендикуляр және тең; F, C, D нүктелері бір түзудің бойында жатады; ADFB және ACBE төртбұрыштары теңшамалы, өйткені ABF=ECB; ADF және ACE үшбұрыштары тең шамалы; енді екі тең шамалы төртбұрыштан да екеуіне ортақ АВС үшбұрышын алып тастаймыз, сонда мына теңдікті аламыз:

Алгебралық әдіспен дәлелдеу.

• Ұлы үнді математигі Бхаскаридің дәлелдеуі.

• ABC – тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш, CM AB, b1 – гипотенузаға түсірілген b катетінің проекциясы, a1 – гипотенузаға түсірілген а катетінің проекциясы, h – үшбұрыштың гипотенузаға түсірілген биіктігі.

ABC үшбұрышы мен ACM үшбұрышының ұқсастығынан

b2 = cb1; (1)

ABC , BCM үшбұрыштарының ұқсастығынан

a2 = ca1. (2) шығады. (1) және (2) теңдіктерін мүшелеп қоссақ, a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2 теңдігін аламыз.

• Мёльманн дәлелдеуі -1 әдісі.

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы -ға немесе -ға тең, мұнда p – үшбұрыштың жарты периметрі, r – үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы Осыдан:

c2=a2+b2. теңдігі шығады.

Мёльманн дәлелдеуі-2 әдісі Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы :S=½*a*b немесе S=½(p*r) тең (кез-келген үшбұрыш үшін);

p - үшбұрыштың жарты периметрі ; r – Іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r = ½*(a + b - c) – кез-келген үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы.

½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);

a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);

a + b=x;

a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2)

a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2)

a2 + b2 - c2 = 0, сондықтан

a2 + b2 = c2

Гарфилд дәлелдеуі.

Үш тікбұрышты үшбұрыш трапеция құрап тұр.Сондықтан бұл фигураның ауданын тікбұрышты трапецияның ауданы бойынша немесе үш тікбұрышты үшбұрыштың аудандарының қосындысы бойынша табуға болады. Екеуін теңестіре келе, c2=a2+b2 екендігі шығады.

Бұрыштың косинусын пайдалана отырып дәлелдеу.

ΔАВС – С бұрышы тік болатын берілген тіктөртбұрыш.С тікбұрышының төбесінен СD биіктігін жүргіземіз.

Косинустар теоремасының анықтамасы бойынша (Тікбұрышты үшбұрышың сүйір бұрышының косинусы деп іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасын айтамыз.) соsА=AD/AC=AC/AB. Бұдан AB*AD=AC2. Осыған ұқсас соsВ=BD/BC=BC/AB. Бұдан шығатыны AB*BD=ВС2. Шыққан теңдіктерден AD+DB=AB екенін ескере отырып, АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2 теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді.

Евклид дәлелдеуі

Берілгені:ΔАВС – тікбұрышты үшбұрыш, AJ - гипотенузаға түсірілген биіктік, BCED – гипотенузаға салынған квадрат, ABFH және ACKJ - катеттерге салынған квадраттар.

Дәлелдеу керек: Гипотенузаның квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.(Пифагор теоремасы).

Дәлелдеуі:

1. BJLD тіктөртбұрышы ABFH квадратына тең шамалы екендігін дәлелдеу керек. ΔABD=ΔBFS (екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы бойынша BF=AB; BC=BD; Бұрыш FBS=бұрышABD). SΔABC=½SBJLD, өйткені ΔABC үшбұрышы мен BJLD тіктөртбұрышында BD ортақ табан және LD ортақ биіктік. Осыған ұқсас SΔFBS=½SABFH (BF-ортақ табан, AB – ортақ биіктік). Осыдан SΔABD= SΔFBS екендігін ескере отырып, SBJLD=SABFH теңдігін аламыз. ΔBCK және ΔACEүшбұрыштарының теңдігін пайдала отырып, SJCEL=SACKG екендігі дәлелденеді. Бұдан SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.

Дәлелдеулердің бірнеше түрлерін қарастыра келе, мына суреттер бойынша қосымша салулар арқылы дәлелдеулер келтірілген. Мұнда пунктирлі сызықтар қосымша салуларды көрсетеді.

Сонымен ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4,5 болатын үшбұрышты 2000 жыл бұрын тік бұрыш салуға пайдалана білген. Яғни Пифагор теоремасына кері теореманы қолданған. Енді үшбұрыштар теңдігінің белгілеріне негізделген дәлелдеуді келтірейік. Сонымен ABC үшбұрышының қабырғалары( 24-сурет) c2 = a2 + b2. (3) қатынасымен байланысты. Осы үшбұрыштың тікбұрышты үшбұрыш екенін дәлелдейміз. Катеттері берілген үшбұрыштың a және b катеттеріне тең болатын екі катеті бойынша A1B1C1 үшбұрышын саламыз (25- сурет). Салынған үшбұрыштың гипотенузасы c1 тең болсын. Салынған үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш болғандықтан Пифагор теоремасы бойынша c12 = a2 + b2. (4) (3) және (4) теңдіктерін салыстыра отырып , c12 = c2, немесе c1 = c екендігін аламыз. Осыдан берілген және салынған үшбұрыштар үш қабырғалары сәйкесінше теңболғандықтан үшбұрыштардың теңдігі шығады. Пифагор теоремасының дәлелдемелерін көптеп келтіруге болады.

1-Тәсіл.

Бірінші, гипотенуза 3 см болсын. Сонда Пифагор теоремасының формуласы бойынша 3? = a? + b? болады. 3 см – ге тең гипотенуза бойынша, катеттердің өлшемдерін жуықтап есептеу тәсілімен a = 2 см , b = √5 см деп аламын. Пифагор теоремасы бойынша формула

немесе 9=4+5 натурал сандарына түрленеді.Бұл теңдіктің оң жағын қоса отырып, (4+5) квадраттардың аудандары 3 см – лік гипотенузаға салынған квадраттың ауданына тең шамалы екенін көреміз, яғни 9 см? = 9 см?

2-Тәсіл.

^{Гипотенуза 5см-ге тең болса, аналитикалық теңдеу :} берілген үшбұрыш бойынша: 5?= а?+b? жуықтап есептеу тәсілі бойынша 5² = √9 + √16 = 3? + 4?, квадраттарды есептесек 25 = 9+16. Квадраттың ауданы см? түрінде берілгенде, тікбұрышты үшбұрыш гипотенузада 5 см-ге тең, оның а = 3см; b = 4см-ге тең катеттерінде құрылған.

25 = 9+16 теңдігінде үшбұрыштың катеттерінде орналасқан екі шаршының ауданын см? түрінде аламыз. Бұл гипотенузада орналасқан шаршының ауданына тең. Яғни 25 см? = 25см? екенін дәлелдедік.

3-Тәсіл.

Бұл суретте тікб ұрышты ∆ АВС гипотенузасы 6 см болатын үшбұрышқа с әйкес катеттерін жуы қтап есептейміз. Сонда катеттерге салынған квадраттардың аудандарының қосындысын гипотенузадағы квадраттың ауданына тең болуы керек. Аналитикалық теңдеу: мынадай түрге айналады,

Катеттердің квадраттарының ауданын қосу арқылы, үлкен квадраттың ауданын табамын, ол сөзсіз гипотенузада орналасқан квадраттың ауданына тең. 36 см? = 36см?екені дәлелденді.

IV тарау.

Қолданыстағы Пифагор теоремасы

Пифагор теоремасы қазіргі өмірде құрылыста, астрономияда, мобильді байланыста кеңінен қолданылады. Суретте осы теореманы пайдалана отырып, готикалық стильде салынған терезенің мысалы келтірілген.

Сол сияқты шатыр салуда, найзағай түсірмеуге арналған құрылғыны салу үшін де осы теоремаға сүйенеді. Яғни, Пифагор теоремасы бойынша

h²≥ a²+b², яғни h≥(a²+b²)1/2.

Осы сияқты өмірде Пифагор теоремасын қолданатындығына көптеген мысалдар келтіруге болады.

Табиғат пен адам санасы біртұтас принциппен байланысты бол ғандықтан, ежелгі ұлы ғалымдар яғни, Пифагор, Евклид, Архимед, Аристотельдердің дәлелдеген ғылым жетістіктері әлі күнге дейін адамзат баласына қызмет етіп келеді. Табиғаттың басты принциптерін түсіну арқылы бұл заңдардың табиғат пен адам санасының бір – бірімен ты ғыз байланыста болатынын білдім. «Байланыс» деген сөз философия категориясының құрамына кіріп, шексіз тығыз байланыста болады. Адам сан асының дамуы арқылы Пифагор теоремасы дәлелденді.

Пифагор теоремасы – геометрияның аса ма ңызды теоремаларының бірі. Көптеген теоремалар мен формулалар сол арқылы дәлелденеді. Олардың кейбіреулері:

1. Сүйір бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема.

2. Доғал бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема.

3. Үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған Герон формуласы.

4. Екі нүктенің ара қашықтығының формуласы.

5. Призма, параллелепипед,пирамида жөніндегі теоремалар.

Бұл тізімді әрі қарай жал ғастыра беруге болады. Пифагор теоремасы өмірде жиі қолданылады, оның кездеспейтін жері аз. Сондықтан оны математик қана емес, әрбір мәдениетті адам білуі қажет.

Осы ғалымдардың еңбектері өмірде жиі қолданылып, математика –

дәлелденген ғылым болып табылды.

Ертеден келе жатқан өте ыңғайлы және дәл тәсіл, жер өлшеушілермен перпендикуяр сызықтарды жүргізу үшін қолданылған тәсіл.

3:4:5 қатынасы бәріне белгілі Пифагор теоремасы.

Теорема бойынша:

3²+4²=5²

3,4,5 сандарынан басқа шексіз бүтін а, b,с

а²+ b²=с²

бар екені айқын.

Олар Пифагор сандары деп аталады . Пифагор теоремасы бойынша бұл сандар тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болып табылады. а және в қабырғалары катет, с гипотенуза деп аталады.

Егер а,b,с пифагор санының үштігі екені белгілі болса, онда ра, рb, рс болса.

Мұңдағы р – бүтін санды көбейткіш Пифагор сандары болып табылады Керісінше, егер Пифагор сандарның ортақ көбейткіштері бар болса , онда осы ортақ көбейткіштерді қысқартуға болады және тағы пифагор санының үштігін аламыз.

Сондықтан ең бірінші қарапайым пифагор саны үштігінің өзара байланыстылығын зерттеу керек, қалғаны оларды р бүтін санды көбейткіштерге көбейту деп шығады .

а,b,с үштігінде оның бір катеті жұп сан, ал 2–ші катеті тақ сан болатынын көрсетейік. Кері дәлелдеуді қолдансақ: егер 2 катеті де а және в жұп сан болса онда а²+b² саны да жұп болады, ал ол гипотенуза. Бұлай болуы мүмкін емес, себебі а, b, с сандарының ортақ көбейткіштері болады деген ұғымға қайшы келеді, үш сан жұп болса оның ортақ көбейткіштері 2-еу болады .

Олай болса, а, в катеттің бірі тақ сан болады деген қорытындыға келуге болады.

Егер 2 катет тақ сан, ал гипотенузасы жұп болады деп қарастырсақ. Бұлай болуы мүмкін емес. Шындығында егер катеттер 2х+1 және 2у+1 болса онда олардың квадратарының қосындысы мынаған тең:

4х²+4х+1+4у²+4у+1=4(х²+х+у²+у)+2

Яғни 4-ке тең бөлгенде 2 қалдық қалады. Кез келген жұп санның квадраты 4 санына қалдықсыз бөлінуі керек. Ендеше екі тақ санның квадратарының қосындысы жұп санының квадраты болуы мүмкін емес, басқаша бұл үш сан пифагор саны болмайды.

Сонымен а,в катеттерінің біреуі жұп, екіншісі тақ сан болады .с гипотенузасы тақ сан болады . Егер а катеті тақ , в катеті жұп болса деп алсақ.

а²+b²=с² теңдігінен

а²=с²-b² формуласы бойынша

а²=(с-b)(с+b)

(с+в) және (с–в) көбейткіштері өзара жай сан . Шындығында, осы сандар ортақ көбейткіштері бар болса, бірден өзгеше, онда осы көбейткіштер және қосындысы да ортақ көбейткішке бөлінер еді.

(с+b)+(с– b)=2с және айырмасы

(с+b) – (с– b)=2b ал көбейттіндісі

(с+b)(с– b)=2а тең болады .

2с,2в және а ортақ көбейткіштері бар болған болар еді.

Егер а жұп болса онда бұл көбейткіш 2-ден өзгеше, сондықтан осы ортақ көбейткіш а,в,с сандары үшін мүмкін емес. (с+в) және (с– в) сандары өзара жай сан деген ұғымға қарама-қайшы келеді.

Егер өзара жай санның көбейттіндісі дәл сан квадраты болса, онда олардың әрқайсысы санның квадратына тең.

Пифагор сандары үшін дәлелдеусіз мына қорытындыға келуге болады:

1) катеттің біреуі 3-ке еселі.

2) катеттің біреуі 4-ке еселі.

3) Пифагор сандарының біреуі 5-ке еселі.

Есеп 1. Материал тасымалдау үшін фабриканың екі үйінің арасынан көлбеу науа жасалған. Бұл екі үйдің ара қашыұтығы 10 м -ге тең,ал науаның екі басы жер бетінен 8 м және 4 м биіктікте.Науаның ұзындығын тап.(А.В.Погорелев. Геометрия оқулығынан)

Шешу: 

Есеп 2.Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 17 см,ал табаны 16 см. Үшбұрыштың табанына түсірілген биіктікті тапбыңдар.(А.В.Погорелевтің геометрия оқулығынан.)

Шешуі:

Есеп 3. Үшбұрыштың бүйір қабырғалары 30 см және 25 см,ал табанына түсірілген биіктігі 24 см.Үшбұрыштың биіктігін табыңдар.(А.В.Погорелевтің геометрия оқулығынан)

Шешуі:

Есеп 4. Тең бүйірлі трапецияның табандары 10 см-ге және 24 см-ге тең,бүйір қабырғасы 25 см.Трапецияның биіктігін табыңдар.(А.В.Погорелевтің геометрия оқулығынан)

Шешу:

 Есеп 5.Үшбұрыштың қабырғалары а,b,c. Үшбұрыштың с қабырғасына түсірілген биіктігін тап.

Шешуі:

Қорытынды

Мен жұмысымды қорытындылай жұмыста қойылған мақсатқа жеттім деп ойлаймын. Басты мақсат – қолданыстағы Пифагор теоремасының технологиясының ерекшелігі.

Мен ұсынып отырған жұмысымда қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерін шешуге дайындау технологияларының үлгілері келтірілген. Осы технологияларды толық меңгерген оқушы міндетті түрде кез келген есепті шеше алатын болады. Сонымен қатар, оқушылардың бұл бағыттағы дайындық деңгейін дамыта түсу мақсатында жаттығу жүргізуге арналып біраз әртүрлі өмірлік есептер ұсынылған. Мұндағы басты мақсатымыз оқушылардың бойындағы ойлану, іздену, талдаулар жүргізе білу қасиеттерін қалыптастыру және өз беттерінше шығармашылық тұрғыда жұмыс істеуге дағдыландыру.

Жоғарыда атап өткендей, мұндағы басты кеңес мыналар болады:

• бастапқы кезде әртүрлі қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есептерді шешуге дайындау технологиясын толығына аяғына дейін талдап шығу;

• әр кезеңнің және міндетін жете түсіну қажет болады.

Қазақ педагогикасының математикалық астарлары да түрліше. Олар біресе жұмбақ, біресе өлең, біресе қарасөз, біресе ертек, біресе ілмек, біресе дұзақ, біресе сиқырлы ой айту тағы басқа түрде кездеседі. Халық есептерінің өзімен туыстас, жалғас, көршілес елдердің салт-санасымен астарласып, үндесіп, қабысып жататындығы бар.

Барған жерін Балқан тау, 

О да біздің көрген тау, -демекші, қытайдың буы, орыстың ну-фуы, қазақтың түуі түп тамырлас.

Қолданыстағы Пифагор теоремасын математика курсында пәнаралық байланыс өте кең дамыған. Соның ішінде әдебиет пәнімен байланысты байқауға болады. Қандай есепті алсақ та, мақал немесе нақыл сөзбен түйінделген. Бұл түйіндеулерге зер салсақ, әрқайсысының тәрбиелік мәні зор. Тәрбие - сан қырлы. Ата-тегінің табысын айту, халқыңның дәстүрін сақтау, оны өз заманыңның қағидаларымен шендестіру тәрбиенің бір көзі.

Жұмысымды қорытындылай келе айтарым бүгінде жаһандану заманында жас ұрпаққа әлемдік стандартқа сәйкес білім беру мәселесі республикамызда ғылыми-педагогикалық тұрғыда ізденіспен әлемдік жинақталған тәжірибеге, отандық қол жеткен табыстарды саралай отырып, ұлттық ерекшеліктерді ескере, оқыту мен тәрбелеуді жаңаша ұйымдастыру көкейкесті мәселе болып отыр. Осыған орай ғылыми техникалық прогрессия дамыған уақытта қолданыстағы Пифагор теоремасына берілген есепті шешу технологиясының ерекшеліктері туралы сөз қозғадық. Келешектің кез келген маманы компьютерді өз жұмысында тиімді пайдаланғысы келсе, онда ол өз саласы бойынша алға қойылатын проблемаларды тұжырымдай алуы тиіс.

Жұмысымды қорытындылай келе, қандай да болмасын оқушы үшін қиындық тудырған кезде есептің нәтижесін көргенде, оның өзгеше бір сезімге бөленіп, бір марқайып қалуына ұмтылу қажеттілігін туғызуға мүмкіндік жасауға пән мұғалімі жұмысының өз нәтижесі болатындығын атап өткім келеді.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1. Балаян Э.Н. – «555 олимпиадных и занимательных задач по математике».

2. Петраков И.С. – «Математика для любознательных».

3. Республикалық ғылыми – әдістемелік журнал «Математика» №2 (2010).

4. Республикалық ғылыми – әдістемелік журнал «Математика» №2 (2012).

5. Рахымбердиев А. – «Оқушылардың математикаға қызықтыру». – Математика және физика журналы. - №2. – 2009.

6. Ким Е. – «Нестандартные уроки математики». 5-6 классы. Поурочные планы. Волгорад «Аст». 2005.

7. Бидосов Ә. Орта мектепте математиканы оқыту методикасы. – (1-басылым). - Алматы, «Мектеп» 1989.

8. Әбілқасымова А. Е. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі. – Алматы, «Білім», 2005.

9. Худайбергенова Н. Т. «Крест» таңдау әдісін теңдеулер мен теңсіздіктер шешуде қолдану.// «Математика» журналы №2, 2012, 38-39б.

10. Мустафаев А.П. Теңдеулер әліппесі, Қазақ университеті. Алматы. 2004.

11. Қаңлыбаев Қ. Теңсіздікке байланысты сан тізбектері.// «Математика» журналы №4, 2012, 14-18б.

12. Кәрібаева С. «Модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешу» тақырыбын оқыту әдістемесі.// «Математика-Физика» журналы №1, 2007, 16-18б.

13. Шөкімов С., Нәби Д. Көрсеткіштік және логарифифмдік күрделі теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу.// «Математика-Физика» журналы №1, 2012, 5-6б.

14. Ермаханова Г. Кейбір теңсіздіктерді теңдеулерді шешуге қолдану.// «Математика» журналы №1, 2011, 32-34б.

15. Мамырбеков Т. Модуль таңбасы бар теңдеулердің кейбір дербес жағдайларын шешу тәсілдері.// «Математика-Физика» журналы №4, 2012, 16-17б.