ілияс жансүгіров

ГЕОМЕТРИЯ
ДИДАКТИКАЛЫҚ МАТЕРИАЛДАР
Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстануматематика бағытындағы
11-сыныпқа арналған
Қазақстан Республикасының Бiлiм және ғылым министрлiгi
ұсынған

Алматы «Атамұра» 2020

1 – 5241

ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21
 Г 31

Авторлары: Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков,
Р.Н Жұмабаев, С.С. Маделханов


Г 31 Геометрия. Дидактикалық материалдар: Жалпы
білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныпқа арналған /Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н. Жұмабаев, С.С. Маделханов. — Алматы: Атамұра, 2020. — 76 бет.


ISBN 978-601-331-768-7

ISBN 978-601-331-768-7

ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21

© Шыныбеков Ә.Н.,
Шыныбеков Д.Ә.,
Жұмабаев Р.Н.,
Маделханов С.С., 2020
© «Атамұра», 2020

АЛҒЫ СӨЗ
Дидактикалық материалдар оқушылардың білім
деңгейін қадағалап, оларға талдау жасау және осы талдау нәтижесінде жіберілген кемшіліктерді түзетіп, оқыту
үрдісі мен әдістемесіне тиісті өзгерістер енгізіп отыруға
көмектеседі. Осы жинақта әрбір өзекті тақырыптар
жиынтығы бойынша қалыптастырушы бағалау (ҚБ),
практикалық тапсырмалар (ПТ), бөлім бойынша жиынтық бағалау (БЖБ), тоқсан бойынша жиынтық бағалау
(ТЖБ) және олардың дескрипторлары берілген. Бұл
тапсырмалардың негізгі мақсаты — оқушылардың пайымдау қабілеттерін дамытып қана қоймай, білім беру
үрдісінде оқушылардың білім, білік деңгейіне мониторинг жасап отыру. Тапсырмалар оқушылар арасында
дедуктивті ойлау қабілеттілігіне бейімділік танытқандарын анықтауға және әрі қарай дамытуға, оқушылардың
білім деңгейін жоғарылатуға айтарлықтай мотивация
береді. Мұндай тапсырмалар ойлау жүйесін дұрыс қалыптастыруға ықпал етеді.

3

Қалыптастырушы бағалау (ҚБ). Бұл жұмыстар —
өзекті тақырыптар жиынтығы. Оны 10–15 минутта
өткізілетін етіп тест тапсырмасы түрінде немесе оқушының жеке нұсқасы бойынша беріледі. Оқушының жеке
нұсқасы оқу жылының басында көрсетілген үлгі бойынша а, b, c, және d әріптеріне сәйкес цифрлар көмегімен
беріледі:
Нұсқа
№

а

1

b c

d

Нұсқа
№

а

b

c

d

2 5 6 3 13

6

3

4

2

4 5 8 7 14

8

7

3

6 3 4 5 15

7

6

4

8 7 2 9 16

2

5

2 3 4 5 17

6

5 6 7 4 18

7
8

Нұсқа
а
№

b

c

d

5 25

3 7 8

4

6

5 26

3 5 4

8

3

4 27

9 7 6

4

9

8

3 28

6 7 2

5

8

5

4

3 29

2 8 9

3

6

5

2

7 30

7 8 4

5

3 4 5 6 19

4

7

8

3 31

5 7 6

8

9 8 3 6 20

5

2

6

7 32

3 6 4

7

9

2 7 8 3 21

3

8

6

5 33

9 2 8

7

10

4 9 6 7 22

7

5

4

6 34

5 8 4

3

11

5 8 6 3 23

3

9

7

2 35

4 7 5

6

12

7 4 3 8 24

9

4

8

5 36

6 3 8

9

Мысалы, мынадай тапсырма берілсін. Қыры b-ға тең
дұрыс тетраэдрдің толық бетін табу керек. Бұл 10нұсқаға сәйкес былай жазылады: Қыры d-ға тең дұрыс
тетраэдрдің толық бетін табу керек және т.с.с.
10-сынып материалдарын қайталау нәтижесі бойынша ҚБ-1 тапсырмасын ұсынамыз. Бұл жұмыс оқу
жылының басында оқушылардың білім, білік, дағдыларының деңгейін анықтап, деңгейлік топтарға іріктеуге
көмектеседі.
Қайталау бөлімі
ҚБ-1
(Жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c, және d
әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. Ұзындығы a-ға тең DH кесіндісі ABC жазықтығына
4

перпендикуляр және ABC үшбұрышы төбелерінен бірдей
қашықтықта орналасқан. ABC — теңқабырғалы үшбұрыш
және оның қабырғасы b-ға тең. K, P және Q нүктелері —
сәйкесінше AB, AC және BC қабырғаларының орталары.
Табу керек:
1) AD және BC түзулері қалай орналасқан?
2) ABC және BCD жазықтықтарының арасындағы
екіжақты бұрыш қандай түзулердің арасындағы бұрышпен өлшенеді?
3) CK мен DK-ның мәндерін табыңдар.
4) ABC және BCD үшбұрыштарының аудандарын табыңдар.
 
    

5) DA = m, DB = n, DC = k деп алып, AQ векторын

  
m, n, k векторлары арқылы өрнектеңдер.
2. A(b; –c; a), B(0; –a; c), C(d; 0; d) нүктелері берілген.
 
1) BA + CA векторының координаталарын;
 
2) AB ⋅ AC скаляр көбейтіндісін табыңдар;
3) AB түзуінің канондық теңдеуін жазыңдар.
Бағалау критерийі
Сызбасын
дұрыс салған және
AD және
BC түзулері қалай
орналасқанын
анықтаған
Кеңістікте перпендикуляр
түзулердің
(кесінділердің)
қасиеттерін біледі
және қолданады.
Үшбұрыш ауданын
таба біледі

Тапсырма

Дескриптор
Оқушылар
H нүктесінің
көрсеткен

орнын

дәл

1. 1)

AD және BC түзулері айқас
орналасқанын анықтаған

1. 2)

CK⊥AB
таған

болатынын

анық-

DK⊥AB
таған

болатынын

анық-

ABC және BCD жазықтықтары арасындағы бұрыш
∠CKD бұрышының шамасымен өлшенетінін көрсеткен
1. 3)

CK-ны анықтау үшін Пифагор теоремасын қолданған

5

DK-ны анықтау үшін
Пифагор теоремасын
2 рет қолданған

ABC үшбұрышының биіктігін анықтайды

Үшбұрыштың ауданын таба біледі

BCD үшбұрышының
1. 4)

биіктігін анықтайды

ABC үшбұрышының ауданын табады
BCD үшбұрышының ауданын табады


  
m, n, k векторларының

Кеңістіктегі векторлар ұғымын біледі
және оларға амалдар қолданады

компланар емес екенін
көрсетеді
1. 5)

Векторларды қосудың
үшбұрыш (көпбұрыш) және
параллолеграмм ережелерін
біледі


  

AQ векторын m, n, k

векторлары арқылы өрнектейді
Кеңістікте координаталары белгілі
векторларға амалдар қолданады

2. 1)

Вектордың координатасы
ұғымын біледі және амалдар
қолданады

 
BA + CA векторының коор-

динаталарын анықтайды
Кеңістікте координаталары белгілі
векторлардың скаляр көбейтіндісін
таба біледі

2. 2)

Кеңістікте координаталары белгілі векторлардың скаляр көбейтіндісінің
формуласын жазады

 
AB ⋅ AC

скаляр
көбейтіндісін табады
Кеңістікте түзудің
канондық теңдеуін
жаза біледі

6

2. 3)

Кеңістікте түзудің
канондық теңдеуінің формуласын жазады
AB түзуінің канондық теңдеуін жазады

І Бөлім
ҚБ-2
(1-бөлім, п.1.1., жұмыс оқушының жеке
нұсқасындағы а, b, c және d әріптерінің мәндері
бойынша орындалады)
1. a + 2 жағы және a + b төбелері бар көпжақтың
қыры нешеу?
2. Кубтың диагоналі a + b. Оның 1) қырын;
2) толық бетінің ауданын табыңдар.
3. Кірпіштің өлшемдері
(120×250×65) мм.
1) Кірпіштің толық бетінің ауданын
табыңдар. 2) Үйдің сыртын ½ кірпішпен бір қатар қалап, қаптап
шығу қажет. Екі кірпіштің ортасына
жағылатын цементтің қалыңдығы
1 см деп алып, өлшемі d × 3 м болатын қабырғаны қаптап шығу үшін
неше кірпіш жұмсалатынын табыңдар.

Бағалау критерийі
Эйлер
формуласын
жазады
және
оны
қолданады
Кубтың
қыры
мен
диагоналі арасындағы
тәуелділікті анықтайды, көпжақтардың толық бетінің аудандарын анықтау алгоритмін біледі және оларды қолданады

Тапсырма

1.

2. 1)

25

0

65

120

Дескриптор
Оқушылар
Эйлер формуласын
жазады
Көпжақтың қырларының санын анықтайды
Кубтың қыры мен
диагоналі арасындағы
тәуелділікті анықтайды
Кубтың қырын анықтайды

2. 2)

көпжақтардың толық
бетінің аудандарын
анықтау алгоритмін
біледі

7

Кубтың толық бетінің
ауданын табады
Тік параллелепипедтің
толық бетінің ауданын
табу алгоритмін біледі
және оны қолданады

3. 1)

Көпжақтар
ұғымын
практикалық есептерді
шешкенде
қолдана
біледі

Кірпіштің 3 түрлі
жақтарының аудандарын табады
Кірпіштің толық бетінің ауданын табады
Бір кірпіштің қандай
аумақты қамтитынын
анықтайды

3. 2)

Екі кірпіш арасына
жағылатын цементтің
қалыңдығын ескереді
Көрсетілген қабырғаны
қаптап шығуға
жұмсалатын кірпіштің
санын анықтайды

ҚБ-3
(1-бөлім, п.1.2., жұмыс оқушының жеке
нұсқасындағы а, b, c және d әріптерінің мәндері
бойынша орындалады)
1. ABCA1B1C1 үшбұрышты тік призмасында AB = AC= b,
AA1 = d және cos(∠BAC) = 0, c. 1) BCC1B1 бүйір жағының
диагоналін; 2) Sб; 3) Sтб табыңдар.
2. Тікбұрышты параллелепипедтің өлшемдері a, b, c.
Оның 1) диагоналін; 2) диагональдық қиманың ауданын;
3) Sбб; 4) Sтбтабыңдар.

Бағалау критерийі
Косинустар теоремасын және Пифагор теоремасын қолданады

8

Тапсырма

1. 1)

Дескриптор
Оқушылар
Косинустар теоремасын
қолданып, BC қырын
табады

Пифагор теоремасын
қолданып, BC1 диагоналін табады
Призманың
бүйір
беті мен толық бетінің ауданын анықтау
алгоритмін біледі

Пифагор теоремасының кеңістіктік баламасын біледі және
қолданады

1.

Бұрыштың косинусының мәні бойынша
оның синусының мәнін
анықтайды

1. 2)

Sбб-ін табады

1. 3)

Sтб-ін табады
Пифагор теоремасының
кеңістіктік баламасының
формуласын жазады

2. 1)
Тікбұрышты параллелепипедтің диагоналін
табады

Тікбұрышты параллелепипедтің
бүйір
беті мен толық бетінің ауданын табу алгоритмін біледі және
оны қолданады

Тікбұрышты параллелепипедтің табан
диагоналін табады
2. 2)

Тікбұрышты параллелепипедтің диагональдық қимасының
ауданын табады

2. 3)

Sбб-ін табады

2. 4)

Sтб-ын табады

ҚБ тапсырмаларының орнына төмендегі тапсырмаларды араластырып алуға немесе оларды жеке не топтық
жұмыстар ретінде қолдануға болады.
Тапсырма. Суретте көрсетілген 1) жазба қандай
призманың жазбасы болатынын атаңдар; 2) оның 3D
бейнесін салыңдар; 3) Sбб; 4) Sтб-ын табыңдар.
Илюстрация үлгісі:

9

b)

а)

K

L

9

A

3

G

D E

I

18
B

с)

J
1
D
A

C

F H

J

M

N

d)

E

G

3

E

A

K 4 L
2
I
D

10

5

F
H

C

B
G

J

90°
B C
I

F

e)

H

f)

4 cм

90

4 cм
4 cм

4 cм
60

10

M

N

ҚБ-4
(1-бөлім, п.1.4., жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы
а, b, c және d әріптерінің мәндері бойынша
орындалады)
1. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бүйір қыры a + b,
табан қабырғасы c. Пирамиданың 1) апофемасын; 2) Sб.б;
3) Sтб-ын табыңдар.
2. ABCDA1B1C1D1 дұрыс төртбұрышты қиық пирамидасының табан қабырғалары a және a+c, биіктігі d.
Оның 1) бүйір қырын; 2) диагональдық қимасының ауданын; 3) Sб.б; 4) Sтб-ін табыңдар.
Бағалау критерийі
Дұрыс үшбұрышты
пирамиданың элементтері, Sбб бүйір
беті мен Sт.б толық
беті ауданын анықтау

Дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың элементтері,
Sбб бүйір беті мен
Sт.б толық беті ауданын анықтау

Тапсырма

1. 1)

Дескриптор
Оқушылар
Теңбүйірлі үшбұрыштың
қасиеттерін біледі,
қолданады
Бүйір жағының биіктігін, яғни пирамиданың
апофемасын анықтайды

1. 2)

Sбб-ін табады

1. 3)

Sт.б-нын табады

2.

Дұрыс төртбұрышты
қиық пирамиданы кескіндей біледі және оның
жоғарғы төбесінен табанына түсірілген биіктіктің
табанын көрсетеді

2. 1)

қиық пирамиданың бүйір
қырын табады

2. 2)

қиық пирамиданың диагональдық қимасын
дұрыс бейнелейді және
оның ауданын табады

2. 3)

Sбб-ін табады

2. 4)

Sтб-ын табады
11

ҚБ тапсырмаларының орнына төмендегі тапсырмаларды араластырып алуға немесе оларды жеке не топтық
жұмыстар ретінде қолдануға болады.
Тапсырма. Суретте көрсетілген 1) жазба қандай
көпжақтың жазбасы болатынын атаңдар; 2) оның 3D
бейнесін салыңдар; 3) Sбб; 4) Sтб табыңдар. иллюстрация
үлгісі:
b)

а)

G

7
A

3

E

4

6

B
F

90°
C

D
H
с)

d)

E

G

h=3cм
6cм

5a
A

D

B
4a

2cм

F
C
H

12

е)

f)

M

L
3cм

B

N

A

F I
4х 3х

6х

O

E

D
K

G

60°
60°
60°

90° 1cм

H

J
ТЖБ-1 (1 тоқсан)
«Көпжақтар» бөлімі бойынша
1 тоқсан жиынтық бағалау

Тақырып

Призма және оның элементтері, призма
түрлері.
Пpизманың жазбасы, бүйір және толық
бетінің аудандары.
Пирамида және оның элементтері. Дұрыс
пирамида. Қиық пирамида.

Оқыту мақсаты

11.1.3 — призманың анықтамасын, оның
элементтерін, призма түрлерін білу; оларды жазықтықта кескіндей алу;
11.3.1 — призманың бүйір және толық бетінің аудандары формулаларын қорытып
шығару және оларды есептер шығарғанда
қолдану;
11.1.4 — пирамиданың анықтамасын, оның
элементтерін, пирамида түрлерін білу;
оларды жазықтықта кескіндей алу;
11.2.4 — пирамида төбесінің табан жазықтығына проекциясының орналасуын анықтау;
11.3.3 — көпжақтардың элементтерін табуға есептер шығару;

Ойлау
дағдыларының
деңгейлері

Қолдану

Орындау уақыты

35 минут

Барлығы

19 балл

13

1. Үйдің шатыры төртбұрышты пирамида тәрізді
салынған. Оның табаны — өлшемі (9×10) м болатын тіктөртбұрыш, биіктігі 3,5 м және биіктіктің табаны тіктөртбұрыш диагональдарының қиылысу нүктесімен беттеседі. Үйдің шатырын түгел жауып шығу үшін (1×2) м
өлшемді шиферлердің нешеуі жұмсалады? Мұнда шиферлердің бір-бірімен айқасуына және қалдық қиындыға
оның 15% ауданы жұмсалады деп алыңдар. (Жауабы:
Sбб ≅ 112 м2, оған 15% аудан қосылады. Сонымен, 129 м2
аумақты ауданы 2 м2 шиферлермен жауып шығу үшін
64,5 ≅ 65 дана шифер қажет).
2. MABCD төртM
бұрышты пирамидасының табаны ромб,
оның диагональдары d1 және d2. MD
қыры табан жазықC
тығына перпендикуD
ϕ
ляр, BCM жағымен
E
O
табан жазықтығы арасындағы бұрыш ϕ.
A
B
Пирамиданың 1) ең
кіші бүйір қырын; 2) (MAC) қимасының ауданын;
3) Sбб; 4) Sтб -ын табыңдар.
Жауабы: 1) DM =

2) SMAC =

14

d1d2
4 d12 + d22

2d1d2tqϕ
d12 + d22

;

(16tg ϕ + 1) d
2

3) Sбб =

1 + 2 sin ϕ
d1d2 ;
2 cos ϕ

4) Sтб =

1 + 2 sin ϕ + cos ϕ
d1d2 .
2 cos ϕ

2
2

+ d12 ;

3. Кірпіштің өлшемдері
25
0
(120×250×65) мм. Екі кірпіштің ортасына жағылатын цементтің қалыңдығы 1 см деп
алып, өлшемі (9 × 3) м бола65
тын қабырғаны 1) 1 кірпіш;
2) 1,5 кірпіш; 3) 2,5 кірпіш
120
қалыңдықпен қалап шығу
үшін неше кірпіш жұмсалатынын табыңдар. Мұнда 1
кірпіш қалыңдық кірпіштің ұзындығына тең. (Жауабы: 1)
3392 кірпіш, мұнда 1 кірпіштің кіші жағымен 0,00796 м2
аумақты қамтитынымыз ескерілген; 2) 5088 кірпіш;
3) 8480 кірпіш.)
Қосымша есеп
1) Төртбұрышты қиық пирамиданың көрсетілген
А төбесі мен ВС қыры арқылы өтетін қимасын; 2) тік
параллелепипедтің көрсетілген А, В, және С нүктелері
арқылы өтетін қимасын; 3) қиық пирамиданың жазбасын салыңдар. есептің жауаптары суретте көрсетілген.
A

•A

•

•
B
B

•
C

C

Шешуі:
• A

A
•
B•

B
C

•
C

15

ТЖБ-1 (1-тоқсан)

Бағалау
критерийі

Дескриптор
ТапсырОқушылар
ма

Шатыр
пирамидасының
бүйір бетінің ауданын анықтау
1.

MABCD төртбұрышты пирамидасының элементтерін анықтау

2.

2. 1)

Бүйір жағының биіктігін,
яғни пирамида апофемасын
анықтайды

1

Sбб-ны табады

1

Sбб-ның 15%-ын табады және
оны Sбб-ға қосады

1

Табылған қосындыны 2 м2-қа
бөліп, қажетті шиферлер санын
анықтайды

1

Ромбының биіктігі DE-ні табады

1

DM ең кіші бүйір қыры болатынын негіздейді

1

MCD тікбұрышты үшбұрышынан DM-ді табады

1

MAB және MBC үшбұрыштарының теңдігі мен MAD және MCD
2. 2) үшбұрыштарының теңдігін негіздейді
төртбұрышты
пирамиданың
элементтерін
анықтау

1

MBC үшбұрышының биіктігін
табады

1

MBC және MCD үшбұрыштарының аудандарын табады

1

Sбб-ін табады

1

Ромбының ауданын табады
2. 3) S -ін табады
тб

16

Балл

1
1

Практикалық
есептерді
шешеді

Екі кірпіштің ортасына жағылатын цементтің қалыңдығы
1 см екенін ескеріп, кірпіштің кіші жағымен қалағанда
0,00796 м2 аумақты қамтиты3. 1) нын анықтайды
Оны 27 м2 ауданды алдында
анықталған санға бөліп, кірпіш
санын анықтайды

1

1

Егер 3-есепті 1)-де көрсетілген
тәсілмен шешсе

1

3. 2) Егер 3-есепті 1)-де алынған
нәтижені 1,5-ке көбейтіп шешсе

1

Егер есепті 1)-де көрсетілген
тәсілмен шешсе

1

Егер 3-есептің 1)-де көрсетілген
тәсілмен шешсе

1

3. 3)

Барлық балл

19



Бұл бөлімде қосымша мына көрнекі тапсырмаларды
орындауға болады:
1. Суретте көрсетілген көпжақтың 60 қыры бар. Оның
табанында орналасқан көпбұрыштың неше төбесі бар?


2 – 5241

17

2. Барлық жақтары дұрыс бесбұрыш болатын көпжақты додекаэдр деп атайды. Оның 12 жағы бар.
Додекаэдрдің төбелері мен жақтарының санын табыңдар.

3. Табанында квадрат орналасқан тікбұрышты параллелепипедтің диагоналі 11 см, бүйір жағының диагоналі
9 см. Параллелепипедтің биіктігін табыңдар.
D
С
A
В
11 cм
?

С

D
A

9 cм
4. 42 қыры бар дұрыс призманың бір жағының ауданы 100 см2. 1) Sбб-ін; 2) табанындағы көпбұрыш түрін
табыңдар.
A42

A1

A2

A3
?

A42

18

A1

A2

A3

5. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінде AB = 7 м, BC = 4
және AA1 = 12 м. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің барлық қырларының қосындысын табыңдар.
D1
C1
A1
B1
12 м

C

4м

7м

D
A

B

6. Дұрыс төртбұрышты призманың табан қабырғасы 6 см, биіктігі 2 11 см. Табан қабырғасынан онымен қиылыспайтын диагоналіне дейінгі қашықтықты
табыңдар.

2 11 cм

R

?

S

6 cм

7. Барлық қырлары t-ға тең дұрыс үшбұрышты призма берілген. Айқас орналасқан АС және А1В түзулерінің
арақашықтығын табыңдар.
B1
C1
Ғ1
A1
t

O
B

C
F

A
8. Дұрыс төртбұрышты пирамидада 1) бүйір жағына сырттай сызылған шеңбердің радиусы 6 см,
19

бүйір қыры мен табан жазықтығы арасындағы бұрыш
60° деп алып, оның апофемасын табыңдар. 2) бүйір
қыры 4 см, табанындағы екіжақты бұрыш 45° деп алып, табанының ауданын табыңдар. 3) барлық қырлары
7 cм деп алып, оның биіктігін табыңдар.
E

B
F
A

C

G

D

9. Кубтың қыры 2 см. 1) бүйір жағының диагоналін; 2) кубтың диагоналін; 3) диагональдық қиманың ауданын; 4) Sтб-ті табыңдар.
D1
C1
A1
B1

2cм
D

C

A

B
10. Табанында қабырғасы 4 см болатын квадрат орналасқан тік параллелепипедтің биіктігі 2 см. 1) барлық
жақтарының диагональдарының қосындысын;
2) параллелепипедтің диагоналін; 3) Sтб-ті табыңдар.
4cм
D1
C1


2cм

A1

B1
D

C

A
B
20



11. Тік призма — тікбұрышты үшбұрыш.
1) үлкен катеті арқылы өтетін жағының диагоналін;
2) Sтб-ін табыңдар.
С1
B1
3cм
A1
4cм

С

B

5cм
A
12. Табаны ромб болатын көлбеу призма берілген. Сурет бойынша АА1С1С қимасының ауданын табыңдар.
D1
6 3 cм
A1
Ғ
C1
О1
B1
14cм
A

30°

О

D
C

B



13. тік призманың табанында қабырғасы 10 см болатын
теңқабырғалы үшбұрыш орналасқан. Призманың биіктігі
5 см.
1) суретте көрсетілген тікбұрышты үшбұрыштың
ауданын;
2) Sтб-ті табыңдар.
C1

A1



5 cм

О1
B1
A

C 10 cм

О
B

14. Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың табан қабырғасы 1 см, пирамиданың биіктігі 3 см. Sтб-ін табыңдар.
21

H
3cм

1cм

О

15. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бүйір қыры
3 см. 1) тетраэдрдің биіктігін; 2) Sтб-ті табыңдар.
H

3cм
C
A

О
B

16. Пирамида табанындағы тіктөртбұрыштың қабырғалары 5 см және 15 см, оның бүйір қыры табанына 60° бұрышпен көлбеген. AHC қимасының ауданын
табыңдар.
H

D
5 cм
A

C
60°

О
15 cм

B

17. Пирамиданың А төбесінде тоғысатын үш қыры
өзара перпендикуляр. Пирамиданың табанындағы тіктөртбұрыштың қабырғалары 6 см және 9 см, пирамиданың биіктігі 8 см. AHC қимасының ауданын табыңдар.
22

H
8 cм

D

A
6 cм

C
B
18. Барлық қырлары 10 см болатын төртбұрышты
пирамиданың толық бетіның ауданын табыңдар.
H


10 cм
D

A
О

10 cм

C

B
19. Табандары квадрат болатын дұрыс қиық пирамида
берілген. 1) диагональдық қимасының ауданын; 2) Sтб
табанының ауданын табыңдар.
D1
A 9 cм
1

B1
60°
A
14 cм

C1

O1
D

C

О

B
20. Үшбұрышты дұрыс қиық пирамида берілген.
Жоғарғы табанының қабырғасы төменгі табан қабырғасының 1/3 бөлігіне тең. Көрсетілген қиманың ауданын
табыңдар.
A 2cм C1
1
16 3cм
B1
3

C

A
W

О
B

23

ІІ бөлім
ҚБ-5
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы
а, b, c және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. M1(1; 2; 3), M2(2; 1; 4), M3(3; 0; –2) нүктелерінің
қайсысы 1) x − 2 = y − 1 = z + 1 ;түзуінің бойында; 2) 2x +
−1
1
1
+ y – z – 1 = 0 жазықтығында жатады?
2. M1(1; a; –1), M2(b; –1; 1), M3(2; 0; c) нүктелері
арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңдар.
x + y − z − 5 = 0,
3. Түзу жалпы теңдеумен берілген: 
2x − y − 3z − 13 + 0.
Оның бағыттаушы векторын табыңдар.
Бағалау
критерийі
Түзуде
(жазықтықта)
жататын
нүктелерді
анықтай алады

Тапсырма

1. 1)

1. 2)

Дескриптор
Оқушылар
Нүктенің координаталарын түзудің
теңдеуіне қойып тексереді
Нәтижесінен қорытынды жасайды
Нүктенің координаталарын жазықтықтың теңдеуіне қойып тексереді
Нәтижесінен қорытынды жасайды

Үш нүкте арқылы өтетін
жазықтықтың
нормаль векторын анықтап,
сәйкес жазықтықтың
теңдеуін жаза
біледі



M1 M2 және M1 M3 векторларының координаталарын анықтайды

2.



M1 M2 және M1 M3 векторларына
перпендикуляр n нормаль векторының координаталарын анықтайтын
оқулықтың 2.1.2-пунктіндегі (7) формуланы жазады



(7) формуланың көмегімен n нормаль векторы координаталарын
анықтайды

24


n

нормаль векторы көмегімен
жазықтықтың теңдеуін жазады
Жалпы
теңдеумен
берілген түзудің
теңдеуі бойынша
оның бағыттаушы векторын
анықтай біледі

Түзудің жалпы теңдеуінің құрамындағы жазықтықтардың нормаль векторларын анықтайды
Осы нормаль векторларға перпенди3.



куляр p векторы берілген түзудің
бағыттаушы болатынын негіздейді


p векторы координаталарын (7)

формула арқылы анықтайды

ҚБ-6
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
x = 2 − bt,

x−a y+b z−c
1. y = −1 + at, және
=
=
: түзулері
2
z
−1
z = 1 + ct

n-нің қандай мәнінде өзара 1) перпендикуляр болады;
2) параллель болуы мүмкін бе? Жауаптарыңды негіздеңдер.

x − by − c = 0,
2. 
түзуі мен x – ay + 2z – b = 0
y + az + d = 0
жазықтығы өзара қалай орналасқан? Қиылысатын жағдайда қиылысу нүктесін табыңдар.
3. m мен n-нің қандай мәнінде x – ay + 2z – b = 0
және 3x + my + nz = 0 теңдеулерімен берілген жазықтықтар өзара 1) параллель болады? 2) перпендикуляр
болатындай етіп m мен n-нің кем дегенде бір мәнін
анықтаңдар. Неліктен мұның шексіз көп шешімі бар?
Жауаптарыңды негіздеңдер.

25

Бағалау
критерийі

Дескриптор

Тапсырма

Екі түзудің
өзара орналасу
ерекшеліктерін
біледі

Оқушылар
Түзулердің бағыттаушы векторларының координаталарын
анықтайды

1. 1)

Түзулердің перпендикулярлық
шартын бағыттаушы векторларының координаталары арқылы өрнектейді
Нәтижесінде алынған сызықты
теңдеуді шешіп, n-нің қажетті
мәнін табады

1. 2)

Түзулердің параллельдік шартын бағыттаушы векторларының координаталары арқылы
өрнектейді
Нәтижесінен қорытынды жасайды

Түсініктемесі: 1-есеп нәтижесінде бір
белгісізі бар бір теңдеу алынып, оның
үнемі жалғыз шешімі бар болса, онда
2-есеп нәтижесінде бір белгісізі бар екі
теңдеу алынады. Оның үнемі шешімі бола
бермейді. Демек, түзулер параллель бола
бермейді
l түзуі мен α жазықтығының
өзара орналасуын теңдеулер бойынша анықтау алгоритмін біледі

Түзу мен жазықтықтың өзара орналасу ерекшеліктерін біледі



2

Түзудің p бағыттаушы векторларының координаталарын
анықтайды



Жазықтықтың n нормаль векторы координаталарын анықтайды

26



p бағыттаушы векторы мен n
нормаль векторы координаталары бойынша қорытынды жасай
біледі
Берілген теңдеулерден үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесін
құрады және оны шешеді
Егер жүйенің жалғыз шешімі
болса, бұл шешім l түзуі мен
α жазықтығының қиылысу
нүктесінің координаталары болатынын түсіндіреді. Өзге жағдайларды да осылай негіздейді
Екі жазықтықтың өзара орналасу ерекшеліктерін біледі

Жазықтықтардың нормаль векторларын анықтайды

3. 1)

Анықталған нормаль векторлардың параллельдік шартын
жазады, яғни векторлардың
сәйкес координаталары пропорционал болуы қажет
Осы шарттан m мен n-нің
қажетті мәндерін табады
Жазықтықтардың нормаль
векторларының скаляр көбейтіндісін тауып, оны нөлге
теңестіреміз (бұл перпендикулярлық шарт)

3. 2)

Нәтижесінде екі белгісізі бар бір
сызықты теңдеу аламыз. Оның
шексіз көп шешімдері бар. Сол
шешімдердің біреуін көрсетсе
жеткілікті
Алынған нәтижені геометриялық жолмен түсіндіру

27

ҚБ-7
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. А(d; 0; –1) нүктесінен 1) x = 2 + 4t, y = –1 + bt,
z = 1 – ct параметрлік теңдеуімен берілген түзуге дейінгі;
2) x – ay + 2z – b = 0 жазықтығына дейінгі қашықтықты
анықтаңдар.
2. АВСD үшбұрышты пирамидасы төбелерінің координаталары берілген: А(d; 0; –3), B(0; 3 c), C(–2; b; 3),
D(2; –3;  a). Оның D төбесінен түсірілген биіктігінің
ұзындығын табыңдар.
Бағалау
критерийі

Тапсырма

Кеңістікте арақашықтықты
анықтау
формулалары
мен алгоритмін
біледі

Дескриптор
Оқушылар
Түзулердің
бағыттаушы
векторларының
координаталарын
анықтайды
Нормаль векторы осы анықталған бағыттаушы вектор болатын және А нүктесі арқылы өтетін
жазықтықтың теңдеуін жазады

1. 1)
Осы жазықтық пен берілген
түзудің қиылысу нүктесін табады
(координаталарын)
А нүктесінен табылған нүктеге
дейінгі қашықтықты анықтайды
Нүктеден жазықтыққа дейінгі
қашықтық формуласын біледі
және қолданады
1. 2)

28

Осы формуланың көмегімен А
нүктесінен берілген жазықтыққа
дейінгі қашықтықты анықтайды



AB және AC векторларының

Кеңістікте арақашықтықты
анықтау

координаталарын анықтайды



AB және AC

векторларына



перпендикуляр болатын n нормаль векторының координаталарын жазады

2.


n

нормаль векторы бойынша
А нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазады
D нүктесінен осы жазықтыққа
дейінгі қашықтықты анықтайды

ҚБ-8
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
Тапсырма. АВСD үшбұрышты пирамидасы төбелерінің
координаталары берілген: А(d; 0; –3), B(0; 3 c), C(–2; b; 3),
D(2; –3; a). 1) AB және AC түзулері арасындағы бұрышты;
2) ∠BAC-ны; 3) АD түзуі мен АВС жазықтығы арасындағы
бұрышты; 4) АВС және АВD жазықтықтары арасындағы
бұрышты анықтаңдар; 5) неліктен 1- және 2-есеп нәтижелері бір-біріне тең болатынын түсіндіріңдер.
Бағалау
критерийі
Кеңістікте екі
түзу, түзу мен
жазықтық, екі
жазықтық арасындағы бұрышты анықтау
формулалары
мен алгоритмін
біледі

Тапсырма

Дескриптор
Оқушылар
Түзулердің бағыттаушы векторларының координаталарын анықтайды

1. 1)

Кеңістікте екі түзу арасындағы
бұрышты анықтау формулалары
мен алгоритмін біледі
Кеңістікте екі түзу арасындағы
бұрышты анықтайды

29



AB және AC векторларының
координаталарын анықтайды



AB және AC векторларының
1. 2)

бұрышты анықтау формулалары
мен алгоритмін біледі


AB және
∠BAC
 -ның косинусын
AC векторлары арасындағы бұрыштың косинусы ретінде анықтайды

АD түзуінің бағыттаушы векторлары мен АВС жазықтығының
нормаль векторының координаталарын анықтайды
1. 3)

түзу мен жазықтық арасындағы
бұрышты анықтау формуласы
мен алгоритмін біледі
түзу мен жазықтық арасындағы
бұрыштың синусын анықтайды
жазықтықтардың нормаль векторларының координаталарын
анықтайды

1. 4)

1. 5)

30

Екі жазықтық арасындағы
бұрышты анықтау формуласы
мен алгоритмін біледі
Екі жазықтық арасындағы бұрыштың косинусын анықтайды
1- және 2-есеп нәтижелері бірбірінен өзгеше болғанын түсіндіреді. Себебі екі түзу арасындағы бұрыш ретінде үнемі сүйір
бұрыш алынады. ∠BAC доғал болуы мүмкін

ТЖБ-2 (2-тоқсан)
«Кеңістіктегі түзу мен жазықтық теңдеулерінің
қолданылуы» бөлімі бойынша
2-тоқсан жиынтық бағалауы
Тақырып

Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.
Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық.
Кеңістіктегі түзулер арасындағы бұрышты, түзу мен жазықтық арасындағы
бұрышты табу

Оқыту мақсаты

11.2.6 — кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуын білу;
11.4.1 — нүктеден жазықтыққа дейінгі
арақашықтықты табу формуласын білу
және оны есептер шығарғанда қолдану;
11.4.2 — түзулер арасындағы бұрышты
(түзулердің теңдеулері бойынша) табу;
11.4.3 — координаталардағы түзулердің
параллельдігі мен перпендикулярлығы
шартын есептер шығарғанда қолдану;
11.4.5 — түзу мен жазықтық арасындағы
бұрышты табу

Ойлау
дағдыларының
деңгейлері

Қолдану

Орындау уақыты

35 минут

Барлығы

10 балл

Есеп. Суретте көрсетілген мәліметтер бойынша 1) ABCD
пирамидасының барлық төбелерінің координаталарын
табыңдар; 2) ACD жазықтығының теңдеуін жазыңдар;
3) AB түзуі мен ACD жазықтығы арасындағы бұрышты
табыңдар; 4) ACD және BCD жазықтықтары арасындағы
екі жақты бұрышты табыңдар; 5) О нүктесінен ACD
жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңдар.
31


= (2; –6; –6)
AC

= (0; 0; –6)
AB

AD = (6; –2; –6)

6

A

z

4
2

–10 –8

–6 –4

–2

B

C
D

x

20
4
6
8
10

y

Жауабы:
1) A(4; –4; 6), D(10; –6; 0), B(4; –4; 0), C(6; –10; 0).

2) ACD жазықтығы үшін нормаль векторы n  = (3; 4; –3);
теңдеуі 3x + 4y – 3z + 22 = 0; 3) ACD жазықтығы үшін


нормаль векторы n   =  (3; 4; –3), ал AB = (0; 0; –6)
3 34
; 4) ACD және BCD жазықболғандықтан, sin ϕ =
34

тықтарының нормаль векторлары сәйкесінше n =(3; 4; –3)



және k = (0; 0; 1) болғандықтан, cos ϕ =
5) d(O; ACD)

11 34
.
17

Бағалау
критерийі

Тапсырма

3 34
;
34

Дескриптор

1. 1) АBCD пирамидасының барлық төбелеріКеңістікте тікбұнің координаталарын
рышты координатабады
талық жүйені,
нүкте мен вектордың координаталарын анықтауды
1. 2) АCD жазықтығының
біледі.
нормаль векторын
анықтайды

32

Балл

Оқушылар
1

1

1

тәсілді
дұрыс
қолданған
үшін
дұрыс
шешімі
үшін

АCD жазықтығының
Үш нүкте арқылы өтетін жанормаль
векторын
анықтайды
зықтықтың нормаль векторын
АCD жазықтығының
анықтап, сәйкес
теңдеуін жазады
жазықтық теңАB түзуі мен АCD
деуін жаза білежазықтығы арасынді.
дағы бұрышты табаТүзулер мен жазықтықтардың
1. 3) ды
өзара орналасу
ерекшеліктерін
біледі
Кеңістікте екі тү- 1. 4) АCD және BCD жазу, түзу мен жазықтықтары арасынзықтық, екі жадағы екіжақты бұзықтық арасынрыштың шамасын
дағы бұрышты
табады
анықтау формулалары мен алгоритмін біледі.
1. 5) О нүктесінен АCD
Кеңістікте аражазықтығына
қашықтықты
дейінгі қашықтықты
анықтау формутабады
лалары мен алгоритмін біледі
Барлық балл

3 – 5241

1

1

1

1
1

1

1

1

тәсілді
дұрыс
қолданған
үшін
дұрыс
шешімі
үшін
тәсілді
дұрыс
қолданған
үшін
дұрыс
шешімі
үшін
тәсілді
дұрыс
қолданған
үшін
дұрыс
шешімі
үшін

10

33

ІІІ бөлім
ҚБ-9
(3-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
Тапсырма. Цилиндрдің радиусы (a + 2) см, биіктігі
b см. Оның өсінен 2 см қашықтықта қима жүргізілген.
1) қиманың қабырғаларын; 2) қиманың диагоналін;
3) диагональдық қиманың диагоналін; 4) осы екі қиманың
арасындағы екіжақты бұрышты, яғни (ABB1  A1) және
(ACC1 A1) жазықтықтары арасындағы екіжақты бұрышты;
5) ∠B1AC1 бұрышын; 6) Sбб; 7) Sтб табыңдар.
A

O

B

P
C
A1

O1
B1
Бағалау
критерийі
Цилиндр
анықтамасын,
оның элементтерін
және қасиеттерін
біледі

Тапсырма

1. 1)

1. 2)
1. 3)

1. 4)

34

C1
Дескриптор
Оқушылар
Тікбұрышты
үшбұрыштардың
ұқсастығын қолданады (∆ABC
және ∆AOD), BC-ны табады
Пифагор теоремасы бойынша ACны табады
Пифагор теоремасы бойынша
AC1-ді табады
Пифагор теоремасы бойынша
AB1-ді табады
Екіжақты бұрыштың шамасы
BAC бұрышына тең болатынын
негіздейді
BAC бұрышын тікбұрышты үшбұрыш қасиетін қолданып анықтайды

1. 6)

Косинустар теоремасын біледі
және оны қолданады
Косинустар теоремасы салдары
бойынша ∠B1AC1 бұрышын табады
Sбб-ін табады

1. 7)

Sтб-ін табады

1. 5)

Бұл тақырыпта 3D бейнедегі көрнекіліктерді қолданып, топтық (жұптық, өздік) жұмыстарды ұйымдастыруға болады:
1. Суретте көрсетілген 1) цилиндрдің жазбасы бойынша оның 3D бейнесін салыңдар; 2) Sбб; 3) Sтб табыңдар;
4) Sбб мен Sтб жазбалары аудандарының қандай айырмашылығы бар?
10 см
R 

R 
R = 12 см

R = 1 см

l = 4 см

R 
R 

2. Суретте шаршының айналуынан шыққан цилиндр
бейнеленген. 1) диагональдық қиманың диагоналі мен
оның ауданын; 2) Sбб; 3) Sтб табыңдар.
S=169 см2
C

B

A

D
35

3. Суреттегі мәліметтер бойынша 1) диагональдық
қиманың диагоналі мен оның ауданын; 2) Sбб; 3) Sтб
табыңдар.

B

C

9 см

5 см

D

A

4. Суреттегі мәліметтер бойынша 1) диагональдық
қиманың ауданын; 2) Sбб; 3) Sтб табыңдар.

H=  8 см

H

R =  3 см
R

5. Суретте көрсетілген кесінді цилиндрдің әртүрлі
табандарында орналасқан өзара перпендикуляр екі радиустың ұштарын қосады. Осы суреттегі мәліметтер
бойынша 1) көрсетілген кесіндіден цилиндр өсіне дейінгі қашықтықты табыңдар; 2) Sбб; 3) Sтб табыңдар.

16 см

8 см
?
36

6. Суреттегі мәліметтер бойынша 1) цилиндр өсінен
2 см қашықтықта өтетін қиманың ауданын; 2) Sбб; 3) Sтб
табыңдар.
C

B
h=11 см

Н

R=3 см

A

D

F

7. Суреттегі кесілген торттың: 1) Sбб; 2) Sтб табыңдар,
егер торттың биіктігі 5 см, ал диаметрі 30 см болса.

30°

ҚБ-10
(3-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. Суретте табанындағы бұ