ілияс жансүгіров

Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-
математика бағытындағы
11-сыныпқа арналған
ГЕОМЕТРИЯ
ДИДАКТИКАЛЫҚ МАТЕРИАЛДАР
Алматы «Атамұра» 2020
Қазақстан Республикасының Бiлiм және ғылым министрлiгi
ұсынған
1 – 5241

© Шыныбеков Ә.Н.,
Шыныбеков Д.Ә.,
Жұмабаев Р.Н.,
Маделханов С.С., 2020
© «Атамұра», 2020
ISBN 978-601-331-768-7
ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21
 Г 31
ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21
Авторлары: Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков,
Р.Н Жұмабаев, С.С. Маделханов


Г 31 Геометрия. Дидактикалық материалдар: Жалпы
білім беретін мектептің жаратылыстану-математи-
ка бағытындағы 11-сыныпқа арналған /Ә.Н. Шыны-
беков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н. Жұмабаев, С.С. Ма -
делханов. — Алматы: Атамұра, 2020. — 76 бет.

ISBN 978-601-331-768-7

3
АЛҒЫ СӨЗ
Дидактикалық материалдар оқушылардың білім
деңгейін қадағалап, оларға талдау жасау және осы тал-
дау нәтижесінде жіберілген кемшіліктерді түзетіп, оқыту
үрдісі мен әдістемесіне тиісті өзгерістер енгізіп отыруға
көмектеседі. Осы жинақта әрбір өзекті тақырыптар
жиынтығы бойынша қалыптастырушы бағалау (ҚБ),
практикалық тапсырмалар (ПТ), бөлім бойынша жиын-
тық бағалау (БЖБ), тоқсан бойынша жиынтық бағалау
(ТЖБ) және олардың дескрипторлары берілген. Бұл
тапсырмалардың негізгі мақсаты — оқушылардың пай-
ымдау қабілеттерін дамытып қана қоймай, білім беру
үрдісінде оқушылардың білім, білік деңгейіне монито-
ринг жасап отыру. Тапсырмалар оқушылар арасында
дедуктивті ойлау қабілеттілігіне бейімділік танытқан-
дарын анықтауға және әрі қарай дамытуға, оқушылардың
білім деңгейін жоғарылатуға айтарлықтай мотивация
береді. Мұндай тапсырмалар ойлау жүйесін дұрыс қалып-
тастыруға ықпал етеді.

4
Қалыптастырушы бағалау (ҚБ). Бұл жұмыстар —
өзекті тақырыптар жиынтығы. Оны 10–15 минутта
өткізілетін етіп тест тапсырмасы түрінде немесе оқушы-
ның жеке нұсқасы бойынша беріледі. Оқушының жеке
нұсқасы оқу жылының басында көрсетілген үлгі бойын-
ша а, b, c, және d әріптеріне сәйкес цифрлар көмегімен
беріледі:
Нұсқа №
аbcd
Нұсқа №
аbcd
Нұсқа №
аbcd
1 256313 634525 3784
2 458714 876526 3548
3 634515 763427 9764
4 872916 298328 6725
5 234517 854329 2893
6 567418 652730 7845
7 345619 478331 5768
8 983620 526732 3647
9 278321 386533 9287
10 496722 754634 5843
11 586323 397235 4756
12 743824 948536 6389
Мысалы, мынадай тапсырма берілсін. Қыры b-ға тең
дұрыс тетраэдрдің толық бетін табу керек. Бұл 10- нұсқаға сәйкес былай жазылады: Қыры d-ға тең дұрыс
тетраэдрдің толық бетін табу керек және т.с.с.
10-сынып материалдарын қайталау нәтижесі бой-
ынша ҚБ-1 тапсырмасын ұсынамыз. Бұл жұмыс оқу жылының басында оқушылардың білім, білік, дағды- ларының деңгейін анықтап, деңгейлік топтарға іріктеуге көмектеседі.
Қайталау бөлімі
ҚБ-1
(Жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c, және d
әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. Ұзындығы a-ға тең DH кесіндісі ABC жазықтығына

5
перпендикуляр және ABC үшбұрышы төбелерінен бірдей
қашықтықта орналасқан. ABC — теңқабырғалы үшбұрыш
және оның қабырғасы b-ға тең. K, P және Q нүктелері —
сәйкесінше AB, AC және BC қабырғаларының орталары.
Табу керек:
1) AD және BC түзулері қалай орналасқан?
2) ABC және BCD жазықтықтарының арасындағы
екіжақты бұрыш қандай түзулердің арасындағы бұрыш-
пен өлшенеді?
3) CK мен DK-ның мәндерін табыңдар.
4) ABC және BCD үшбұрыштарының аудандарын табың-
дар.
5)
DAmDBn DCk
DADDDADD;DDDDAD;DD;
== =,, деп алып, AQ
DADDD
векторын
mnk
DADDAA
,,векторлары арқылы өрнектеңдер.
2. A(b; –c; a), B(0; –a; c), C(d; 0; d) нүктелері берілген.
1) BACA
DADDDADD
+ векторының координаталарын;
2) ABAC
DADDDADD
⋅ скаляр көбейтіндісін табыңдар;
3) AB түзуінің канондық теңдеуін жазыңдар.
Бағалау критерийіТапсыр-
ма
Дескриптор
Оқушылар
Сызбасын дұрыс салған және AD және BC түзулері қалай орналасқанын анықтаған
1. 1)
H нүктесінің орнын дәл көрсеткен
AD және BC түзулері айқас
орналасқанын анықтаған
Кеңістікте перпен-
дикуляр
түзулердің
(кесінділердің)
қасиеттерін біледі
және қолданады.
Үшбұрыш ауданын
таба біледі
1. 2) CK⊥AB болатынын анық-
таған
DK⊥AB болатынын анық-
таған
ABC және BCD жазық-
тықтары арасындағы бұрыш
∠CKD бұрышының шамасы-
мен өлшенетінін көрсеткен
1. 3) CK-ны анықтау үшін Пифа-
гор теоремасын қолданған

6
DK-ны анықтау үшін
Пифагор теоремасын
2 рет қолданған
Үшбұрыштың ауда-
нын таба біледі
1. 4)
ABC үшбұрышының биік-
тігін анықтайды
BCD үшбұрышының
биіктігін анықтайды
ABC үшбұрышының ауда-
нын табады
BCD үшбұрышының ауда-
нын табады
Кеңістіктегі вектор-
лар ұғымын біледі
және оларға амал-
дар қолданады
1. 5)
mnk
mnmmnn
,, векторларының
компланар емес екенін көрсетеді
Векторларды қосудың
үшбұрыш (көпбұрыш) және
параллолеграмм ережелерін
біледі
AQ
mnmmm
векторын mnk
mnmmnn
,,
векторлары арқылы өр- нектейді
Кеңістікте коорди-
наталары белгілі векторларға амал- дар қолданады 2. 1)
Вектордың координатасы ұғымын біледі және амалдар қолданады
BACA
mnmmmnmm
+ векторының коор-
динаталарын анықтайды
Кеңістікте коорди-
наталары белгілі векторлардың ска- ляр көбейтіндісін таба біледі
2. 2)
Кеңістікте координата-
лары белгілі векторлар- дың скаляр көбейтіндісінің формуласын жазады
ABAC
mnmmmnmm
⋅ скаляр
көбейтіндісін табады
Кеңістікте түзудің канондық теңдеуін жаза біледі
2. 3)
Кеңістікте түзудің канондық теңдеуінің форму-
ласын жазады
AB түзуінің канондық тең-
деуін жазады

7
І Бөлім
ҚБ-2
(1-бөлім, п.1.1., жұмыс оқушының жеке
нұсқасындағы а, b, c және d әріптерінің мәндері
бойынша орындалады)
1. a + 2 жағы және a + b төбелері бар көпжақтың
қыры нешеу?
2. Кубтың диагоналі a + b. Оның 1) қырын;
2) толық бетінің ауданын табыңдар.
3. Кірпіштің өлшемдері
(120
×250×65) мм.
1) Кірпіштің толық бетінің ауданын
табыңдар. 2) Үйдің сыртын ½ кір-
пішпен бір қатар қалап, қаптап
шығу қажет. Екі кірпіштің ортасына
жағылатын цементтің қалыңдығы
1 см деп алып, өлшемі d × 3
м бола-
тын қабырғаны қаптап шығу үшін
неше кірпіш жұмсалатынын табыңдар.
Бағалау критерийі
Тапсыр-
ма
Дескриптор
Оқушылар
Эйлер формуласын жазады және оны қолданады
1.
Эйлер формуласын жазады
Көпжақтың қырлары-
ның санын анықтайды
Кубтың қыры мен
диагоналі арасындағы
тәуелділікті анықтай-
ды, көпжақтардың то-
лық бетінің ауданда-
рын анықтау алгорит-
мін біледі және олар-
ды қолданады
2. 1)
Кубтың қыры мен
диагоналі арасындағы
тәуелділікті анықтайды
Кубтың қырын анық-
тайды
2. 2)
көпжақтардың толық
бетінің аудандарын
анықтау алгоритмін
біледі
120
250
65

8
Кубтың толық бетінің
ауданын табады
Тік параллелепипедтің
толық бетінің ауданын
табу алгоритмін біледі
және оны қолданады
3. 1)
Кірпіштің 3 түрлі
жақтарының ауданда-
рын табады
Кірпіштің толық беті-
нің ауданын табады
Көпжақтар ұғымын
практикалық есептерді
шешкенде қолдана
біледі
3. 2)
Бір кірпіштің қандай
аумақты қамтитынын
анықтайды
Екі кірпіш арасына
жағылатын цементтің
қалыңдығын ескереді
Көрсетілген қабырғаны
қаптап шығуға
жұмсалатын кірпіштің
санын анықтайды
ҚБ-3
(1-бөлім, п.1.2., жұмыс оқушының жеке
нұсқасындағы а, b, c және d әріптерінің мәндері
бойынша орындалады)
1. ABCA
1
B
1
C
1
үшбұрышты тік призмасында AB = AC= b,
AA
1
= d және cos(∠BAC) = 0, c. 1) BCC
1
B
1
бүйір жағының
диагоналін; 2) S
б
; 3) S
тб
табыңдар.
2. Тікбұрышты параллелепипедтің өлшемдері a, b, c.
Оның 1) диагоналін; 2) диагональдық қиманың ауданын;
3) S
бб
; 4) S
тб
табыңдар.
Бағалау критерийі
Тапсыр-
ма
Дескриптор
Оқушылар
Косинустар теорема- сын және Пифагор тео- ремасын қолданады
1. 1)
Косинустар теоремасын
қолданып, BC қырын табады

9
Пифагор теоремасын
қолданып, BC
1
диа-
гоналін табады
Призманың бүйір
беті мен толық беті-
нің ауданын анықтау
алгоритмін біледі
1.
Бұрыштың косинусы-
ның мәні бойынша
оның синусының мәнін
анықтайды
1. 2)
S
бб
-ін табады
1. 3)
S
тб
-ін табады
Пифагор теоремасы-
ның кеңістіктік ба-
ламасын біледі және
қолданады
2. 1)
Пифагор теоремасының
кеңістіктік баламасының
формуласын жазады
Тікбұрышты парал-
лелепипедтің диагоналін
табады
Тікбұрышты парал-
лелепипедтің бүйір
беті мен толық беті-
нің ауданын табу ал-
горитмін біледі және
оны қолданады
2. 2)
Тікбұрышты паралле-
лепипедтің табан
диагоналін табады
Тікбұрышты парал-
лелепипедтің диаго-
нальдық қимасының
ауданын табады
2. 3)
S
бб
-ін табады
2. 4)
S
тб
-ын табады
ҚБ тапсырмаларының орнына төмендегі тапсырма-
ларды араластырып алуға немесе оларды жеке не топтық
жұмыстар ретінде қолдануға болады.
Тапсырма. Суретте көрсетілген 1) жазба қандай
призманың жазбасы болатынын атаңдар; 2) оның 3D
бейнесін салыңдар; 3) S
бб
; 4) S
тб
-ын табыңдар.
Илюстрация үлгісі:

10
а)
3
b)
18
L
K
A
DEGI
B
CFH
J
M
N
9
с)
G
J
E
F
H
A
B
I
C
1
3
5
D
90°
d)
E
D
L
A
I
M
F
H G
B CJ
N
10
2
4
K
e)
4 cм
4 cм
f)
4 cм
90
4 cм
60

11
ҚБ-4
(1-бөлім, п.1.4., жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы
а, b, c және d әріптерінің мәндері бойынша
орындалады)
1. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бүйір қыры a + b,
табан қабырғасы c. Пирамиданың 1) апофемасын; 2) S
б.б
;
3) S
тб
-ын табыңдар.
2. ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
дұрыс төртбұрышты қиық пира-
мидасының табан қабырғалары a және a+c, биіктігі d.
Оның 1) бүйір қырын; 2) диагональдық қимасының ауда-
нын; 3) S
б.б
; 4) S
тб
-ін табыңдар.
Бағалау критерийіТапсырма
Дескриптор
Оқушылар
Дұрыс үшбұрышты
пирамиданың эле-
менттері,
S
бб
бүйір
беті мен
S
т.б
толық
беті ауданын анық-
тау
1. 1)
Теңбүйірлі үшбұрыштың
қасиеттерін біледі,
қолданады
Бүйір жағының биік-
тігін, яғни пирамиданың
апофемасын анықтайды
1. 2)
S
бб
-ін табады
1. 3)
S
т.б
-нын табады
Дұрыс төртбұрыш-
ты қиық пирами-
даның элементтері,
S
бб
бүйір беті мен
S
т.б
толық беті ау-
данын анықтау
2.
Дұрыс төртбұрышты
қиық пирамиданы кес-
кіндей біледі және оның
жоғарғы төбесінен таба-
нына түсірілген биіктіктің
табанын көрсетеді
2. 1)
қиық пирамиданың бүйір
қырын табады
2. 2)
қиық пирамиданың диа-
гональдық қимасын
дұрыс бейнелейді және
оның ауданын табады
2. 3)
S
бб
-ін табады
2. 4)
S
тб
-ын табады

12
ҚБ тапсырмаларының орнына төмендегі тапсырма-
ларды араластырып алуға немесе оларды жеке не топтық
жұмыстар ретінде қолдануға болады.
Тапсырма. Суретте көрсетілген 1) жазба қандай
көпжақтың жазбасы болатынын атаңдар; 2) оның 3D
бейнесін салыңдар; 3) S
бб
; 4) S
тб
табыңдар. иллюстрация
үлгісі:
а) b)
E
D
A
F
H
G
B
C
6
4
90°
с)
A
G E
C
B
D
5a
4a
H
F
d)
2cм
6cм
h=3cм
3
7

13
е)
K J
O
N
M L
F
A
H
I
B
ED
G
f)
60°
90°
60°
60°
1cм
ТЖБ-1 (1 тоқсан)
«Көпжақтар» бөлімі бойынша
1 тоқсан жиынтық бағалау
Тақырып Призма және оның элементтері, призма
түрлері.
Пpизманың жазбасы, бүйір және толық
бетінің аудандары.
Пирамида және оның элементтері. Дұрыс
пирамида. Қиық пирамида.
Оқыту мақсаты 11.1.3 — призманың анықтамасын, оның
элементтерін, призма түрлерін білу; олар-
ды жазықтықта кескіндей алу;
11.3.1 — призманың бүйір және толық бе-
тінің аудандары формулаларын қорытып
шығару және оларды есептер шығарғанда
қолдану;
11.1.4 — пирамиданың анықтамасын, оның
элементтерін, пирамида түрлерін білу;
оларды жазықтықта кескіндей алу;
11.2.4 — пирамида төбесінің табан жазық-
тығына проекциясының орналасуын анық-
тау;
11.3.3 — көпжақтардың элементтерін та-
буға есептер шығару;
Ойлау
дағдыларының
деңгейлері
Қолдану
Орындау уақыты 35 минут
Барлығы 19 балл
3cм
4х3х
6х

14
1. Үйдің шатыры төртбұрышты пирамида тәрізді
салынған. Оның табаны — өлшемі (9×10) м болатын тік-
төртбұрыш, биіктігі 3,5 м және биіктіктің табаны тік-
төртбұрыш диагональдарының қиылысу нүктесімен бет-
теседі. Үйдің шатырын түгел жауып шығу үшін (1×2) м
өлшемді шиферлердің нешеуі жұмсалады? Мұнда шифер-
лердің бір-бірімен айқасуына және қалдық қиындыға
оның 15% ауданы жұмсалады деп алыңдар. (Жауабы:
S
бб
≅ 112 м
2
, оған 15% аудан қосылады. Сонымен, 129 м
2

аумақты ауданы 2 м
2
шиферлермен жауып шығу үшін
64,5 ≅ 65 дана шифер қажет).
2. MABCD төрт-
бұрышты пирамида-
сының табаны ромб,
оның диагональда-
ры d
1
және d
2
. MD
қыры табан жазық-
тығына перпендику-
ляр, BCM жағымен
табан жазықтығы ара-
сындағы бұрыш ϕ.
Пирамиданың 1) ең
кіші бүйір қырын; 2) (MAC) қимасының ауданын;
3) S
бб
; 4) S
тб
-ын табыңдар.
Жауабы: 1)
DM
dd
dd
=
+
2
12
1
2
2
2
tq
ϕ
;
2) S
dd
dd
dd
MAC
=
+
+ ( ) +
12
1
2
2
2
2
2
2
1
2
4
16 1tgϕ ;

3) S
бб
=
12
2
12
+sin
cos
;
ϕ
ϕ
dd
4) S
тб
=
12
2
12
++sincos
cos
.
ϕϕ
ϕ
dd
M
A B
C
E
D
O
ϕ

15
120
250
65
Шешуі:
3. Кірпіштің өлшемдері
(120× 250×65) мм. Екі кірпіш-
тің ортасына жағылатын це-
менттің қалыңдығы 1 см деп
алып, өлшемі (9 × 3) м бола-
тын қабырғаны 1) 1 кірпіш;
2) 1,5 кірпіш; 3) 2,5 кірпіш
қалыңдықпен қалап шығу
үшін неше кірпіш жұмсалатынын табыңдар. Мұнда 1
кірпіш қалыңдық кірпіштің ұзындығына тең. (Жауабы: 1)
3392 кірпіш, мұнда 1 кірпіштің кіші жағымен 0,00796 м
2
аумақты қамтитынымыз ескерілген; 2) 5088 кірпіш;
3) 8480 кірпіш.)
Қосымша есеп
1) Төртбұрышты қиық пирамиданың көрсетілген
А төбесі мен ВС қыры арқылы өтетін қимасын; 2) тік
параллелепипедтің көрсетілген А, В, және С нүктелері
арқылы өтетін қимасын; 3) қиық пирамиданың жазба-
сын салыңдар. есептің жауаптары суретте көрсетілген.
A
C
B
B
A
C
A
B
C
B
A
C
•
•
•
•
•
•
•
•

16
ТЖБ-1 (1-тоқсан)
Бағалау
критерийі
Тап-
сыр-
ма
Дескриптор
Балл
Оқушылар
Шатыр
пирамидасының
бүйір бетінің ау-
данын анықтау
1.
Бүйір жағының биіктігін,
яғни пирамида апофемасын
анықтайды
1
S
бб
-ны табады 1
S
бб
-ның 15%-ын табады және
оны
S
бб
-ға қосады
1
Табылған қосындыны 2  м
2
-қа
бөліп, қажетті шиферлер санын
анықтайды
1
MABCD төртбұ-
рышты пирами-
дасының элемент-
терін анықтау
2.
Ромбының биіктігі DE-ні табады
1
2. 1)
DM ең кіші бүйір қыры бола-
тынын негіздейді
1
MCD тікбұрышты үшбұрышы-
нан DM-ді табады 1
2. 2)
MAB және MBC үшбұрыштары-
ның теңдігі мен MAD және MCD
үшбұрыштарының теңдігін не-
гіздейді
1
төртбұрышты
пирамиданың
элементтерін
анықтау
MBC үшбұрышының биіктігін
табады
1
MBC және MCD үшбұрышта-
рының аудандарын табады
1
S
бб
-ін табады
1
2. 3)
Ромбының ауданын табады
1
S
тб
-ін табады
1

17
Практикалық
есептерді
шешеді
3. 1)
Екі кірпіштің ортасына жағы-
латын цементтің қалыңдығы
1 см екенін ескеріп, кірпіш-
тің кіші жағымен қалағанда
0,00796 м
2
аумақты қамтиты-
нын анықтайды
1
Оны 27  м
2
ауданды алдында
анықталған санға бөліп, кірпіш
санын анықтайды
1
3. 2)
Егер 3-есепті 1)-де көрсетілген
тәсілмен шешсе 1
Егер 3-есепті 1)-де алынған
нәтижені 1,5-ке көбейтіп шеш-
се
1
3. 3)
Егер есепті 1)-де көрсетілген
тәсілмен шешсе 1
Егер 3-есептің 1)-де көрсетілген
тәсілмен шешсе 1
Барлық балл
19

Бұл бөлімде қосымша мына көрнекі тапсырмаларды
орындауға болады:
1. Суретте көрсетілген көпжақтың 60 қыры бар. Оның
табанында орналасқан көпбұрыштың неше төбесі бар?

2 – 5241

18
2. Барлық жақтары дұрыс бесбұрыш болатын көп-
жақты додекаэдр деп атайды. Оның 12 жағы бар.
Додекаэдрдің төбелері мен жақтарының санын табыңдар.
3. Табанында квадрат орналасқан тікбұрышты парал-
лелепипедтің диагоналі 11 см, бүйір жағының диагоналі 9 см. Параллелепипедтің биіктігін табыңдар.
D
D
A
С
?
A
11 cм
9 cм
С
В
4. 42 қыры бар дұрыс призманың бір жағының ау-
даны 100 см
2
. 1) S
бб
-ін; 2) табанындағы көпбұрыш түрін
табыңдар.
?
A
42
A
1A
2
A
3
A
42
A
1A
2
A
3

19
5. ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
параллелепипедінде AB = 7 м, BC = 4
және AA
1
= 12 м. ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
параллелепипедінің бар-
лық қырларының қосындысын табыңдар.
C
A
C
1
A
1
B
1
D
1
B
D
12 м
7 м
4 м
6. Дұрыс төртбұрышты призманың табан қабыр-
ғасы 6  см, биіктігі
211 см. Табан қабырғасынан оны-
мен қиылыспайтын диагоналіне дейінгі қашықтықты
табыңдар.
6 cм
?
S
R211cм
7. Барлық қырлары t-ға тең дұрыс үшбұрышты приз-
ма берілген. Айқас орналасқан АС және А
1
В түзулерінің
арақашықтығын табыңдар.
C
F
A
C
1
A
1
B
1
B
Ғ
1
O
t
8. Дұрыс төртбұрышты пирамидада 1) бүйір жа-
ғына сырттай сызылған шеңбердің радиусы 6 см,

20
бүйір қыры мен табан жазықтығы арасындағы бұрыш
60° деп алып, оның апофемасын табыңдар. 2) бүйір
қыры 4 см, табанындағы екіжақты бұрыш 45° деп ал-
ып, табанының ауданын табыңдар. 3) барлық қырлары
7 cм деп алып, оның биіктігін табыңдар.
E
A
G
D
B
C
F
9. Кубтың қыры 2 см. 1) бүйір жағының диаго-
налін; 2) кубтың диагоналін; 3) диагональдық қи- маның ауданын; 4) S
тб
-ті табыңдар.
D
A
B
C
D
1
A
1
B
1
C
1
2cм
10. Табанында қабырғасы 4 см болатын квадрат ор-
наласқан тік параллелепипедтің биіктігі 2 см. 1) барлық
жақтарының диагональдарының қосындысын;
2) параллелепипедтің диагоналін; 3) S
тб
-ті табыңдар.
D
A
B
C
D
1
A
1
B
1
C
1
2cм
4cм

21
11. Тік призма — тікбұрышты үшбұрыш.
1) үлкен катеті арқылы өтетін жағының диагоналін;
2) S
тб
-ін табыңдар.

A
B
A
1
B
1
3cм
4cм
5cм
С
1
С
12. Табаны ромб болатын көлбеу призма берілген. Су-
рет бойынша АА
1
С
1
С қимасының ауданын табыңдар.

D
A
B
C
D
1
A
1
B
1
C
1
14cм
О
1
О
30°
63cмҒ
13. тік призманың табанында қабырғасы 10 см болатын
теңқабырғалы үшбұрыш орналасқан. Призманың биіктігі
5 см.
1) суретте көрсетілген тікбұрышты үшбұрыштың
ауданын;
2) S
тб
-ті табыңдар.

A
B
C
A
1
B
1
C
1
5 cм
О
1
О
10 cм
14. Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың табан қабыр-
ғасы 1 см, пирамиданың биіктігі 3 см. S
тб
-ін табыңдар.

22
3cм
H
О
1cм
15. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бүйір қыры
3 см. 1) тетраэдрдің биіктігін; 2) S
тб
-ті табыңдар.

H
C
A
B
О
3cм
16. Пирамида табанындағы тіктөртбұрыштың қабыр-
ғалары 5 см және 15 см, оның бүйір қыры табаны-
на 60° бұрышпен көлбеген. AHC қимасының ауданын
табыңдар.
H
C
A B
О
15 cм
D
5 cм 60°
17. Пирамиданың А төбесінде тоғысатын үш қыры
өзара перпендикуляр. Пирамиданың табанындағы тік- төртбұрыштың қабырғалары 6 см және 9 см, пирамида- ның биіктігі 8 см. AHC қимасының ауданын табыңдар.

23
B
C
D
A
H
8 cм
6 cм
18. Барлық қырлары 10 см болатын төртбұрышты
пирамиданың толық бетіның ауданын табыңдар.
H
C
A
B
О
10 cм
D
10 cм
19. Табандары квадрат болатын дұрыс қиық пирамида
берілген. 1) диагональдық қимасының ауданын; 2) S
тб

табанының ауданын табыңдар.

60°
C
A
B
О
9 cм
D
14 cм
A
1
C
1
D
1
O
1
B
1
20. Үшбұрышты дұрыс қиық пирамида берілген.
Жоғарғы табанының қабырғасы төменгі табан қабырға-
сының 1/3 бөлігіне тең. Көрсетілген қиманың ауданын
табыңдар.
C
A
B
О
2cм
W
A
1
C
1
B
1
cм
163
3

24
ІІ бөлім
ҚБ-5
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы
а, b, c және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. M
1
(1; 2; 3), M
2
(2; 1; 4),

M
3
(3; 0; –2) нүктелерінің
қайсысы 1)
xy z−
−
−2
1
1
1
1
1
==
+
; түзуінің бойында; 2) 2x +
+ y – z – 1 = 0 жазықтығында жатады?
2. M
1
(1; a; –1), M
2
(b; –1; 1), M
3
(2; 0; c) нүктелері
арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңдар.
3. Түзу жалпы теңдеумен берілген:
xy z
xy z
+=
+



−−
−− −
50
23 130
,
.

Оның бағыттаушы векторын табыңдар.
Бағалау
критерийі
Тап-
сырма
Дескриптор
Оқушылар
Түзуде
(жазықтықта)
жататын
нүктелерді
анықтай алады
1. 1)
Нүктенің координаталарын түзудің
теңдеуіне қойып тексереді
Нәтижесінен қорытынды жасайды
1. 2)
Нүктенің координаталарын жазық-
тықтың теңдеуіне қойып тексереді
Нәтижесінен қорытынды жасайды
Үш нүкте ар-
қылы өтетін
жазықтықтың
нормаль векто-
рын анықтап,
сәйкес жа-
зықтықтың
теңдеуін жаза
біледі
2.
MM
12
xyxxxxxx
және MM
13
xyxxxxxx
векторлары-
ның координаталарын анықтайды
MM
12
xyxxxxxx
және MM
13
xyxxxxxx
векторларына
перпендикуляр n
x;
нормаль векторы-
ның координаталарын анықтайтын
оқулықтың 2.1.2-пунктіндегі (7) фор- муланы жазады
(7) формуланың көмегімен
n
x;
нор-
маль векторы координаталарын
анықтайды

25
n
0;
нормаль векторы көмегімен
жазықтықтың теңдеуін жазады
Жалпы
теңдеумен
берілген түзудің
теңдеуі бойынша
оның бағыттау-
шы векторын
анықтай біледі
3.
Түзудің жалпы теңдеуінің құ-
рамындағы жазықтықтардың нор-
маль векторларын анықтайды
Осы нормаль векторларға перпенди-
куляр
p
0,
векторы берілген түзудің
бағыттаушы болатынын негіздейді
p
0,
векторы координаталарын (7)
формула арқылы анықтайды
ҚБ-6
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1.
x
y
=
=





2−
−
bt,
+at
z=+ct
1
1
,
және
xa yb
z
zc−−
−21
=
+
= : түзулері
n-нің қандай мәнінде өзара 1) перпендикуляр болады;
2) параллель болуы мүмкін бе? Жауаптарыңды негіздең-
дер.
2.
xbyc
yazd
−− =
++ =



0
0
,
түзуі мен x – ay + 2 z – b = 0
жазықтығы өзара қалай орналасқан? Қиылысатын жағ-
дайда қиылысу нүктесін табыңдар.
3. m мен n-нің қандай мәнінде x – ay + 2 z – b = 0
және 3x + my + nz = 0 теңдеулерімен берілген жазық- тықтар өзара 1) параллель болады? 2) перпендикуляр болатындай етіп m мен n-нің кем дегенде бір мәнін
анықтаңдар. Неліктен мұның шексіз көп шешімі бар? Жауаптарыңды негіздеңдер.

26
Бағалау
критерийі
Тапсыр-
ма
Дескриптор
Оқушылар
Екі түзудің
өзара орналасу
ерекшеліктерін
біледі
1. 1)
Түзулердің бағыттаушы век-
торларының координаталарын
анықтайды
Түзулердің перпендикулярлық
шартын бағыттаушы вектор-
ларының координаталары ар-
қылы өрнектейді
Нәтижесінде алынған сызықты
теңдеуді шешіп, n-нің қажетті
мәнін табады
1. 2)
Түзулердің параллельдік шар-
тын бағыттаушы векторлары-
ның координаталары арқылы
өрнектейді
Нәтижесінен қорытынды жасай-
ды
Түсініктемесі: 1-есеп нәтижесінде бір
белгісізі бар бір теңдеу алынып, оның
үнемі жалғыз шешімі бар болса, онда
2-есеп нәтижесінде бір белгісізі бар екі
теңдеу алынады. Оның үнемі шешімі бола
бермейді. Демек, түзулер параллель бола
бермейді
Түзу мен жазық-
тықтың өзара ор-
наласу ерекше-
ліктерін біледі
2
l түзуі мен α жазықтығының
өзара орналасуын теңдеулер бой-
ынша анықтау алгоритмін біледі
Түзудің
p

бағыттаушы век-
торларының координаталарын
анықтайды
Жазықтықтың n
;
нормаль век-
торы координаталарын анық-
тайды

27
p

бағыттаушы векторы мен n
;

нормаль векторы координатала-
ры бойынша қорытынды жасай
біледі
Берілген теңдеулерден үш бел-
гісізі бар үш теңдеулер жүйесін
құрады және оны шешеді
Егер жүйенің жалғыз шешімі
болса, бұл шешім l түзуі мен
α жазықтығының қиылысу
нүктесінің координаталары бо-
латынын түсіндіреді. Өзге жағ-
дайларды да осылай негіздейді
Екі жазықтық-
тың өзара орна-
ласу ерекшелік-
терін біледі
3. 1)
Жазықтықтардың нормаль век-
торларын анықтайды
Анықталған нормаль вектор-
лардың параллельдік шартын
жазады, яғни векторлардың
сәйкес координаталары пропор-
ционал болуы қажет
Осы шарттан m мен n-нің
қажетті мәндерін табады
3. 2)
Жазықтықтардың нормаль
векторларының скаляр көбей-
тіндісін тауып, оны нөлге
теңестіреміз (бұл перпенди-
кулярлық шарт)
Нәтижесінде екі белгісізі бар бір
сызықты теңдеу аламыз. Оның
шексіз көп шешімдері бар. Сол
шешімдердің біреуін көрсетсе
жеткілікті
Алынған нәтижені геометрия-
лық жолмен түсіндіру

28
ҚБ-7
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
1. А(d; 0; –1) нүктесінен 1) x = 2 + 4t, y = –1 + bt,
z = 1 – ct параметрлік теңдеуімен берілген түзуге дейінгі;
2) x – ay + 2 z – b = 0 жазықтығына дейінгі қашықтықты
анықтаңдар.
2. АВСD үшбұрышты пирамидасы төбелерінің коор-
динаталары берілген: А(d; 0; –3), B(0; 3 c), C(–2; b; 3),
D(2; –3;  a). Оның D төбесінен түсірілген биіктігінің
ұзындығын табыңдар.
Бағалау
критерийі
Тапсыр-
ма
Дескриптор
Оқушылар
Кеңістікте ара- қашықтықты анықтау формулалары мен алгоритмін біледі
1. 1)
Түзулердің бағыттаушы век- торларының координаталарын анықтайды
Нормаль векторы осы анық-
талған бағыттаушы вектор бола-
тын және А нүктесі арқылы өтетін
жазықтықтың теңдеуін жазады
Осы жазықтық пен берілген
түзудің қиылысу нүктесін табады
(координаталарын)
А нүктесінен табылған нүктеге
дейінгі қашықтықты анықтайды
1. 2)
Нүктеден жазықтыққа дейінгі
қашықтық формуласын біледі
және қолданады
Осы формуланың көмегімен А
нүктесінен берілген жазықтыққа
дейінгі қашықтықты анықтайды

29
Кеңістікте ара-
қашықтықты
анықтау
2.

AB
ABAA
және AC
ABAA
векторларының
координаталарын анықтайды
AB
ABAA
және AC
ABAA
векторларына
перпендикуляр болатын n
A;
нор-
маль векторының координатала-
рын жазады
n
A;
нормаль векторы бойынша
А нүктесі арқылы өтетін жазық- тықтың теңдеуін жазады
D нүктесінен осы жазықтыққа
дейінгі қашықтықты анықтайды
ҚБ-8
(2-бөлім, жұмыс оқушының жеке нұсқасындағы а, b, c
және d әріптерінің мәндері бойынша орындалады)
Тапсырма. АВСD үшбұрышты пирамидасы төбелерінің
координаталары берілген: А(d; 0; –3), B(0; 3 c), C(–2; b; 3),
D(2; –3; a). 1) AB және AC түзулері арасындағы бұрышты;
2) ∠BAC-ны; 3) АD түзуі мен АВС жазықтығы арасындағы
бұрышты; 4) АВС және АВD жазықтықтары арасындағы
бұрышты анықтаңдар; 5) неліктен 1- және 2-есеп нәти-
желері бір-біріне тең болатынын түсіндіріңдер.
Бағалау
критерийі
Тапсыр-
ма
Дескриптор
Оқушылар
Кеңістікте екі түзу, түзу мен жазықтық, екі жазықтық ара- сындағы бұрыш- ты анықтау формулалары мен алгоритмін біледі
1. 1)
Түзулердің бағыттаушы вектор- ларының координаталарын анық- тайды
Кеңістікте екі түзу арасындағы
бұрышты анықтау формулалары
мен алгоритмін біледі
Кеңістікте екі түзу арасындағы
бұрышты анықтайды

30
1. 2)
AB
ABAA
және AC
ABAA
векторларының
координаталарын анықтайды
AB
ABAA
және AC
ABAA
векторларының
бұрышты анықтау формулалары
мен алгоритмін біледі
∠BAC-ның косинусын
AB
ABAA
және
AC
ABAA
векторлары арасындағы бұ-
рыштың косинусы ретінде анық- тайды
1. 3)
АD түзуінің бағыттаушы вектор- лары мен АВС жазықтығының
нормаль векторының координа- таларын анықтайды
түзу мен жазықтық арасындағы
бұрышты анықтау формуласы
мен алгоритмін біледі
түзу мен жазықтық арасындағы
бұрыштың синусын анықтайды
1. 4)
жазықтықтардың нормаль век-
торларының координаталарын
анықтайды
Екі жазықтық арасындағы
бұрышты анықтау формуласы
мен алгоритмін біледі
Екі жазықтық арасындағы бұрыш-
тың косинусын анықтайды
1. 5)
1- және 2-есеп нәтижелері бір-
бірінен өзгеше болғанын түсін-
діреді. Себебі екі түзу арасын-
дағы бұрыш ретінде үнемі сүйір
бұрыш алынады.
∠BAC доғал бо-
луы мүмкін