Интеграл ұғымы. Анықталмаған интегралдар

Интеграл ұғымы. Анықталмаған интегралдар

Аннотация: Бұл мақалада интеграл ұғымы жайлы және оның қасиеттері жайлы қарастырылады.Анықталмаған интеграл жайлы түсінік беріп, негізгі интегралдар кестесімен таныстырылады. Тек қана теориялық түсінік беріліп қана қоймай, мысалдармен түсіндіріледі.Жалпы мақала математика мамандығын оқып жатқан студенттерге, оқушыларға пайдалы болмақ.

Кілт сөздер: интеграл, анықталмаған интеграл, бастапқы функция, интегралдау әдістері, интегралдау ережелері

Интеграл ұғымының классификациясы.

Ғылым мен техниканың әртүрлі саласының салдары кез-келген мәселелерді шешу туындысы беріліп отыратын функцияны іздеуге әкеліп соқтырады. Сол себепті математика ілімінде жаңа әдіс – интегралдау амалы қолданылады.Ізделінді функцияның туындысы бойынша мәселе тек қана интегралдау амалының көмегімен табылады.Әр бірінің туындысы берілген функцияға тең барлық функцияны есептеу амалы интегралдау деп аталады.Интеграл дифференциалдау амалына кері амал болып табылады.

Негізінде алғашқы функцияны табу кезінде функциясының қамтитын аралығы белгісіз болады. Бұндай кезде интегралды үшін негізгі табиғи анықтау облысында табуға болады.

Анықтама №1.Егер X жиынындағы жалпы ішкі нүктелерінде дифференциалы табылатын F функциясы

(1.1)

Теңдіктері орындалатын болса, онда осы аралықта үзілмейтін функциясы функциясының интегралы делінеді.

Анықтама №2. аралығындағы функциясының жалпы интегралдарының тобы оның сол аралықтағы анықталмаған интегралы деп аталып,

деп белгіленеді. -интеграл белгісі болып табылады, ал -интеграл астындағы функция болса - интегралдың астындағы өрнек деп аталады. функциясының алғашқы функциясын есептеу оны интегралдау деп аталады.

Енді анықтамадан анықталмаған интегралдың негізгі қасиетін тауып көрейік:

яғни анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең, немесе басқаша айтқанда

[1]

Негізгі анықталмаған интегралдар кестесі:

Бұл формулалардың бәрінде де х-тәуелсіз айнымалы болып табылады.

Анықталмаған интегралдарды табудың негізгі және қарапайым екі ережесі мынадай:

1.Егер екі функцияның қосындысының интегралын табу керек болса онда ол екі интегралдың жеке интегралдарының қосындысына тең;

2.Функцияның алдындағы тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығаруға болады;

[8]

Анықталмаған интегралдар және оның қасиеттері:

1 қасиет. теңдіктерімен дәлелдеуге болады, яғни анықталмаған интеграл дифференциалы интегралдың астындағы функцияға тең болады.

2 қасиет. d теңдіктері арқылы дәлелденеді, яғни егер дифференциалдың таңбасы интегралдың таңбасынан алдын тұрса, онда d мен интеграл таңбаларының екеуін өзара қысқартып жібереміз.

3 қасиет. теңдіктері көмегімен дәлелдеуге болады,яғни, егер интеграл мен дифференциал таңбаларының орындарын ауыстырып, оларды қысқартатын болсақ, онда таңбалардың қысқаруы әрбір тұрақты С санының дәлдігімен орындалады. [9]

4 қасиет. Егер және функциялары жиынында интегралы табылса, онда сол аралықта функциясының да алғашқы функциясы табылады да, теңдігін орындауға болады.

Расымен де, және деп алайық. Онда, 1-інші қасиетке сүйене отырып және . және функциялары қосындысын не айырымын арқылы белгілейік. Онда аралығында

теңдігін орындауға болады.

Ал мына теңдік функциясы функциясының интегралы екенін көрсетеді. Сол себепті

болады. Демек

формуласының сол жағы

өрнегінен, ал оң жағы қосындысы не айырымынан тұрады.Бірақ, тұрақты сандары кез келген өз бетінше алынған тұрақты сандар болғандықтан, деп алса да болады, яғни және жиындары бір-біріне өзара тең.

5 қасиеті.Егер -тің функциясының аралығында алғашқы функциясы бар немесе табылатын болса, онда әрбір сандары үшін функциясына сол жиында алғашқы функциясы табылып және мына теңдік орындалады:

Расында да, дейік.Онда, аралығы үшін болғандықтан, функциясы функциясының сол жиындағы алғашқы функциясы. Сондықтан . Ал теңдіктің оң жағы -ға тең. Олай болса үшін C₁ және C сандары еркінше алынған тұрақты сандар болғандықтан, болады. [2]

Интегралдаудың негізгі әдістері

Интегралдаудың бірнеше әдістері бар, мысалы: айнымалыны ауыстыру әдісі, бөлшектерді интегралдау әдісі, қарапайым кестеге әдісі және т.б. олардың әрқайсысының өзіндік қолданылу ерекшеліктері бар және оларды нақты тапсырмаға қарап түріне қарай қолдануға болады.

Тікелей интегралдау

Тікелей интегралдау-берілген интегралды таблицалық интегралдардың және анықталмаған интегралдың қасиеттерінің көмегімен табу әдісі.

Белгісізді ауыстыру жолымен айнымалы ауыстыру

Бұл интегралдау әдісі көбіне тиімді болып келеді.Ауыстыру әдісі интегралды қарапайым кестелік түрге келтіреді. Оның сызбасы жалпы былай жазылады:

Жаңа интегралды тапқан соң кері алмастыру арқылы бастапқы айнымалыға оралады.

Мысал 1

Берілгені

Шешуі. алмастыруын қолданамыз: , Интеграл астындағы өрнекке қойсақ :

Бастапқы айнымалыға ораламыз:

_{Мысал 2}

Шешуі. алмастыруын қолданамыз: , Интеграл астындағы өрнекке қойсақ :

Мысал 3

Шешуі. алмастыруын қолданамыз: , Интеграл астындағы өрнекке қойсақ : [3]

Жалпы анықталмаған интегралдарда тригонометриялық алмастыруларды қолдану дегеніміз-басқа шешу амалдарға арналған тригонометриялық функцияларларменен алмастыру болып келеді деп түсіндіріледі. Берілген есепті шығаруда тригонометриялық алмастыру анықталмаған интегралдарды есептеу әдісі болып табылады. Алмастырулар көмегімен анықталмаған интегралды шығару кезінде тригонометриялық алмастыруларды қолдану есепті шығару жолын жеңілдетеді.

Бөліктеп интегралдау– екі функцияның туындысының интегралын бір функцияның интегралына және оның туындысына келтіруге мүмкіндік беретін функцияны интегралдау әдісі. Бөлшектеу бойынша интегралдау формуласы: мұндағы және - шешімін біріктіруді жеңілдету үшін таңдалған екі функция.

Мысалы: Бөлшектеп интегралдау бойынша интегралдау арқылы интегралын есептеңіз

Шешімі: деп аламыз: Енді формулаға қарай

С – интегралдаудың ерікті тұрақтысы.

Қорытындылай келе, мақала бізге интеграл ұғымы жайлы таныстырып, анықталмаған интегралды есептеу міндетін қойса, қалай оңай әрі ұтымды әдіс-тәсілдер арқылы әрекет ету керектігін көрсетті. Бізге ең ұтымды әдіс- айнымалы ауыстыру әдісі.Мақаланы жазу барысында көптеген жаңа мәліметтер, есеп шығару жолдары игерілді. Қандай формулалар арқылы шығарылатыны көрсетілді.Есепті шешу барысында оның шартына немесе салдарына жалпы математикалық қағидаларының қолданылу реті белгіленді.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

1.Отаров Х.Т. Математикалық анализ.Алматы,2012.

2.Қабдықайыр Қ. Жоғары математика:Оқулық.Алматы,2005.

3. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 960с.

4. Орынбасаров, М.Интегралдық теңдеулер курсы [Мәтін]: Оқу құралы / М. Орынбасаров, Ш. Сахаев. - Алматы: Қазақ университеті, 2014. - 208б