Иррационал теңдеулер жүйесін шешу

Абай атындағы Қазақ Ұлттық

педагогикалық университетінің

2-курс магистранты

Бақытбек Гүли

Иррационал теңдеулер жүйелері

Қазіргі мектеп бағдарламасында оқушыларға негізгі күрделі есептердің бірі ол – иррационал теңдеулер мен олардың жүйесін шешу болып табылады. Иррационал теңдеуді шешудің бірнеше жолдары бар. Біз иррационал теңдеулер жүйесін қарастырмас бұрын, алдымен, иррационал, иррационал теңдеулер ұғымына тоқталып кетсек.

Иррационал сандар деп – шектеусіз периодсыз ондық бөлшектерді айтады. Мысалы, , , т.б. Мұнда «ир» деген латынша кері мағыналы ұғымдарды атау үшін қолданылатын сөз қосымшасы. Сонда «иррационал» сөзі «рационал емес» деген мағынаны білдіреді.

Иррационал теңдеулер деп түбір таңбасы астында айнымалылары бар теңдеулерді айтады. Мысалы, ; т.б.

Иррационал теңдеулер жүйесін шешу үшін иррационал теңдеулерді шеше білуіміз қажет. Иррационал теңдеулерді шешудің жолдарына тоқтала кетсек.

Иррационал теңдеулерді шешу үшін:

1. Иррационал теңдеудің екі жағын бірдей дәрежеге шығару әдісі;
2. Жаңа айнымалы енгізу әдісі;

3. Түйіндесіне көбейту әдісі;

4. Дәрежелік қосындыны пайдаланып шешу әдісі;

5. Функцияның өспелі және кемімелі қасиеттеріне сүйене отырып шешу әдісі;
6. Иррационал теңдеуді тригонометриялық алмастыру енгізіп шешу әдісі;
7. Иррационал теңдеуді шешудің векторлық әдісі.

1-әдіс.Теңдеудің екі бөлігін бірдей дәрежеге шығару.

(1)

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі жүйемен мәндес болады.

Бұдан түбірі жүйедегі бірінші теңсіздікті қанағаттандырмайтынын көреміз. Демек, (1) теңдеудің шешімі болады.

Жауабы:

2-әдіс. Функцияның монотондық қасиетін пайдалану.

Анықталу облысы х≥ -2,5. Теңдеудің сол жағы монотонды өспелі, ал оң жағы монотонды кемімелі деп қарастыруға болады. Мұндай жағдайда олардың мәндері бір нүктеде ғана тең болуы мүмкін. Яғни, бір ғана шешімі болуы мүмкін. Ол х=2

(1)

Шешуі: Берілген теңдеу төмендегі жүйемен мәндес болады.

. Бұл жүйенің шешімі жоқ. Өйткені түбірі жүйенің бірінші шартына сәйкес келмейді.

Жауабы: шешімі жоқ.

Иррационал теңдеулер жүйесін шешуде иррационал теңдеулерді шешу әдістері және рационал теңдеулерді шешу жолдары қолданылады.

1-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

Бірінші теңдеуді квадраттайық:

( )²=25

Шыққан теңдеуді және бірінші теңдеуді алып, жаңа жүйе құрайық:

Жауабы: (4;9),(9;4)

2-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі: Жаңа айнымалылар енгізейік: = a , = b.

Шыққан мәндерді қолдана отырып, теңдеудің түбірлерін табайық:

және , бұдан

және , бұдан

3-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

(t > 0) айнымалысын енгізіп, бірінші теңдеуді t арқылы шешейік:

/ 2t

(2;8).

(8; 2).

Жауабы: (2;8)(8; 2).

4-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі: айнымалысын енгізіп,бірінші теңдеуді t арқылы шешейік:

.

Шыққан теңдеулерді қолданып жаңа жүйе құрайық, шешімін табайық:

Жауабы: (10;6),(6;10).

5-мысал. теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі: = a , = b белгілеулерін енгіземіз. Сонда берілген теңдеулер жүйесі мынадай жүйеге көшеді:

немесе

Соңғы теңдеулер жүйесіне алмастыру тәсілін қолданып a=2, b=3 және a=3, b=2 мәндерін аламыз. Енді , белгілеулерін ескеріп айнымалыларының мәндерін табамыз:

және , бұдан

және , бұдан

Тексеру: 1) , болса, онда

2) болса, онда

айнымалыларының табылған мәндерінің бәрі берілген теңдеулер жүйесін қанағаттандырады.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Әбілқасымова А.Е., Шойынбеков К.Д., Есенов М. И. «Алгебра», 2004ж.

2. Шыныбеков Ә.Н. «Алгебра» оқулығы 8 сынып, Алматы «Атамұра» 2012ж.

3. Шыныбеков Ә.Н. «Алгебра» оқулығы 9 сынып, Алматы «Атамұра» 2005ж.

4. Базаров Е.М. «Математика талапкерлерге арналған оқулық» тест. Шың-кітап, Алматы 2017ж.

5. Әбілқасымова А. Е., «Алгебра» 11 сынып, Мектеп, 2005 ж.

6. Теляковский С. А. «Алгебра» 11 сынып, Атамұра, 2004 ж.

7. Баймұханов Б., Медеуов Е., Базаров Қ. «Алгебра және анализ бастамалары» 11 сынып, Атамұра, 2004 ж.

8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. «Алгебра» 11 сынып,

1997 ж.