Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу әдістері

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу әдістері.

Көбінесе оқушыларға жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу қиындық туғызады. Теңдеудің түрлеріне қарай , құрылымына қарай әртүрлі әдістерді қолдануға тура келеді. Сондықтан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешудің кейбір әдістеріне тоқталып, мысалдар қарастыруды жөн көрдім.

1) Көбейткіштерге жіктеу әдісі арқылы шешу.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу көпмүше түбірлерін табумен мәндес. Көпмүше түбірлерін табу күрделі есеп, нақты коэффициенті n-ші дәрежелі көпмүшелердің түбірлерін табудың белгілі бір тәсілі жоқ, бірақ бүтін коэффициентті көпмүшенің рационал түбірлері туралы теореманы қолдануға болады.

Теорема:

мұндағы – бүтін сандар, көпмүшесінің рационал түбірлері түрінде ( -бүтін сан, р-натурал сан) болуы мүмкін және |m| саны | санының бөлгіші, р саны | санының бөлгіші болады.

Егер n-дәрежелі көпмүшені Р(х)=Р₁(х)Р₂(х)Р₃(х)... Р_n(х)=0 түрінде көбейткіштерге жіктеуге болса, онда Р₁(х)=0, Р₂(х)=0, Р₃(х)=0 , ... , Р_n(х)=0 теңдеулерінің түбірлері Р(х)=0 теңдеуінің де түбірі болады.

Мысал-1. Теңдеуді шешіңдер:

3x³ + 4х² + 5х – 18 =0

Шешуі: 18 санының бөлгіштері – 1, 2, 3, 6, 9, ал 3 санының бөлгіштері 1 мен 3. m-нің мәндер жиыны Теңдеудің түбірлері түріндегі рационал сандар жиыны.

сандарын тексеріп , теңдеудің шешімі 2 саны болатынын көруге болады, яғни көпмүше (х-2)-ге бөлінеді.

(х 2)(3х²+2х+9) = 0

x 2 = 0 және 3х²+2х+9 = 0 , D = 4

Жауабы: 2.

Мысал-2. Теңдеуді шешіңдер:

x⁵ 2х⁴ х³ + 2х² = 0

Шешуі: Көпмүшені көбейткіштерге жіктейік:

х⁵ - 2х⁴ - х³+2х² = х² (х³ - 2х² - х+2) = х² [х² (х-2)-(х-2)]=х² (х-2)(х² -1) = 0

Осыдан,

х⁵-2х⁴-х³+2х² = х²(х-2)(х-1)(х+1)=0

1)х²=0, 2) х-2=0, 3) х-1=0, 4)х+1=0 ,

х=0 х=2 x=1 x= - 1

Жауабы:

2) Топтау тәсілі арқылы шешу

Көпмүшені топтау тәсілі арқылы көбейткіштерге жіктеу үшін мына алгоритм қолданылады:

1. көпмүшенің мүшелерін ортақ көбейткіші болатындай етіп қосылғыштарға топтау;

2. әр топтың ортақ көбейткішін жақшаның алдына шығару;

3. шыққан алгебралық қосындының ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығару.

Көпмүшенің басқа тәсілдері қысқаша көбейту формулаларымен байланысты. Кейбір жағдайларда көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеу үшін қосылғыштар жеткіліксіз болады. Ондай жағдайда кейбір қосылғыштарды қосындымен алмастырады. Мысалдар қарастырайық.

Мысал-3. Теңдеуді шешіңдер:

Шешуі: Топтау тәсілін қолданайық:

(

( =>

Жауабы:

3) Жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу

Теңдеуде қайталанатын өрнек болса, оны жаңа айнымалымен белгілеу арқылы теңдеуді қарапайым түрге келтіреміз.

Мысал-4. Теңдеуді шешіңдер:

(х²-х)² – 5(х²-х)-6=0.

Шешуі: х² - х = z деп белгілейміз.

z² –5 z – 6 =0 => z₁=6, z₂=-1.

1)z₁=x² - x=6, онда х² – х - 6=0. Виет теоремасы бойынша х = - 2, х₂ = 3

2) z₂ =x² –x=-1 ,онда х² - х+1=0 , D 0 болғандықтан шешімі жоқ.

Жауабы:

4)Толық квадратты айыру әдісі

Мысал-5. Теңдеуді шешіңдер:

х

Шешуі:

Жаңа айнымалы енгіземіз.

; .

Орындарына қойсақ,

=> =>

=> => жауабы жоқ.

Жауабы:

Жоғары дәрежелі теңдеулердің кейбір ерекше түрлеріне тоқталып өтейік.

Қайтымды және оған келтірілетін теңдеулер.

Қайтымды теңдеу деп басынан және соңынан бірдей қашықтықта орналасқан қосылғыштардың коэффициенттері өзара тең болатын теңдеулерді айтамыз, яғни , , .

1)Жұп дәрежелі қайтымды теңдеулер

Мысал-6. Теңдеуді шешіңдер:

Шешуі: х = 0 теңдеудің түбірі болмайды, сондықтан теңдеудің екі жағын өрнегіне бөлеміз.

Жаңа айнымалы енгіземіз.

,

2 =>

Айнымалы мәндерін орнына қоямыз.

немесе

түбірі жоқ.

Жауабы:

2)Тақ дәрежелі қайтымды теңдеулер

Кез келген тақ дәрежелі қайтымды теңдеу жұп дәрежелі қайтымды теңдеуге келтіріледі, өйткені кез келген тақ дәрежелі қайтымды теңдеулердің түбірлерінің бірі – 1-ге тең болады.

Мысал-7. Теңдеуді шешіңдер:

Шешуі: х = 1 теңдеудің түбірі болады.

х + 1 = 0 немесе

Теңдеудің екі жағын х³ –ге бөлеміз.

Жаңа айнымалы енгіземіз.

, ,

Түбірі жоқ. х_1,2 = х_1,2 =

Жауабы:

Арнайы түрдегі кейбір теңдеулер.

1) түріндегі төртінші дәрежелі теңдеу

шарты орындалғанда x² + l x = y ауыстыруын жасасақ , у-ке қатысты квадрат теңдеуге келеді.

Мысал-8. Теңдеуді шешіңдер:

Шешуі:

алмастыруын жасаймыз.

у(у + 2) =0,5625 => y² + 2y – 0,5625 = 0

Бұл теңдеудің түбірлері у₁= 0,25 , у₁= - 2,25 .

Кері ауыстыру жасасақ ,

=>

Бұл теңдеудің түбірлері х₁= ; х₂=

=> х_3,4=

Жауабы:

2. (ax²+b₁x+c)(ax²+b₂x+c)=kx² түріндегі теңдеулер

Мұндай теңдеудің екі жағы х² шамасына бөлінеді.

Мысал-9. Теңдеуді шешіңдер:

(2x² – 3 x + 1) (2x² +5x + 1)=9x²

Шешуі: х= 0 теңдеудің түбірі емес. Теңдеудің екі жағын х² шамасына бөлеміз, сонда

, алмастыруын жасаймыз,

немесе

x_3,4= ;

Жауабы:

Есептер шығару үлгілері.

2-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

(х²+2х)² – (х+1)² =55.

Шешуі: (х²+2х)² – (х²+2х+1)=55.

х²+2х=у алмастыруын орындайық.

у² – у – 56 = 0 у₁ = - 7 , у₂ = 8

1. у = -7, х² +2х + 7 = 0

D < 0 ,теңдеудің шешімі жоқ

2. у = 8 болғанда х² +2х – 8 =0

х₁ = - 4 ,х₂ = 2 Жауабы:

3-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

4х⁴+6х³ -10х² -9х+9 =0

Шешуі: Теңдеудің екі жағын да бірдей х²-қа бөліп, қосылғыштарды топтастырайық:

(4х² + ) + 3(2х - ) -10 = 0.

2х- = t деп алмастырсақ , 4х² + = t² +12

Сонда мынадай теңдеу шығады:

t² +12+3t -10=0 t²+3t+2=0.

t₁= -1; t₂= -2.

1. 2х - = -1 2х²+х -3= 0

х₁ = - 1,5 , х₂ = 1

2. 2х- = -2 2х²+2х -3=0

х₁= , х₂ = Жауабы:

4-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

(х – 4)(х – 5)(х – 6)(х – 7) = 1680.

Шешуі: (х – 4)(х – 7)(х – 5)(х – 6) = 1680

(х² – 11х + 28)(х² – 11х +30) = 1680

х² -11х +28 = z деп белгілесек,

z(z + 2) = 1680

z² + 2z –1680 = 0 => z₁ = - 42, z₂ = 40

1. x² – 11x + 28 = - 42 2) х² – 11х + 28 = 40

x² – 11x + 70 = 0 х² – 11х – 12 = 0

D 0 , шешімі жоқ. х₁ = 12 , х₂ = - 1 Жауабы:

5-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

у⁵ - у⁴ +2у² = 3у – 3 +2у³

Шешуі: (у⁵ –у⁴) –(2у³ -2у²) –(3у -3) =0

у⁴(у -1) –2у²(у-1) -3(у-1) =0

(у -1)(у⁴ – 2у² -3) =0

(у -1)(у² – 3)(у² +1)=0

(у -1)(у - )(у+ )(у² +1)=0

у₁=1, у₂= , у₃= - Жауабы:

6-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

(х-1)⁴ + (х+1)⁴=16.

Шешуі: (а+в)⁴=а⁴+ 4а³в + 6а²в² + 4ав³ +в⁴ формуласын пайдаланамыз.

х⁴-4х³+6х²-4х+1+х⁴+4х³+6х²+4х+1=16

2х⁴ +12х² +2=16 х⁴ +6х² – 7 = 0

(х² -1)(х² +7) = 0

х² = 1 х_1,2 = 1 Жауабы:

7-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

х⁴ – 2х² - 400х =9999.

Шешуі: Берілген теңдеу мына теңдеумен мәндес

(х⁴ -2х²-400х) + (4х² +400х + 1) = 4х² +400х + 10000

х⁴ + 2х² + 1 = (2х + 100)²

(х² + 1)² – (2х + 100)² = 0

(х² + 2х + 101)(х² – 2х – 99) = 0

х² + 2х + 101 = 0

х² – 2х – 99 = 0 х₁ = - 9, х₂ = 11 Жауабы:

8-есеп.Теңдеуді шешіңдер:

Шешуі: Топтау тәсілін қолданайық:

(

(

(

(x + 1)(x – 2)=0

x = –1 , x = 2

Жауабы:

9-есеп. Теңдеуді шешіңіз:

x(x +3)(x + 5)(x +8) + 56 = 0

Шешуі: Топтау тәсілін қолданып түрлендіреміз:

x(x +8)(x + 3)(x +5) + 56 = 0

(

жаңа айнымалы енгіземіз, сонда

а(а +15) + 56 = 0 => =>

D = 225-224 = 1,

х айнымалыға қайтамыз,

D = 64-32 = 32 D = 64-28 = 36

, .

Жауабы:

10-есеп. Теңдеуді шешіңдер:

Шешуі: көбейткіштерге жіктеу үшін түрлендіреміз.

,

D = 5,

Жауабы: