Жүйке жүйесі

МОДУЛЬ 1. КӨП АЙНЫМАЛЫЛЫ ФУНКЦИЯНЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДАУ
1 ДӘРІС. Көп айнымалылы функция. Анықталу облысы. Дербес
туындылар. Бетке жанама жазықтық және нормаль
ФУНКЦИЯНЫҢ АНЫҚТАЛУ ОБЛЫСЫ. Айталық, екі бос емес D және
U жиындары берілсін. Егер D жиынында жатқан әрбір (x,y) нақты сандар
жұбына белгілі бір ереже бойынша U жиынында жататын тек бір ғана элемент
u сәйкес қойылса, онда D жиынында мәндер жиыны U болатын f функциясы
берілген деп айтады да ? = ?(?, ?) деп жазады.
D жиыны f функциясының анықталу облысы деп аталады, ал ?(?, ?)
түріндегі барлық сандардан тұратын U жиыны функцияның мәндер жиыны деп
аталады.
Әдетте n=2 болғанда ?2 евклид жазықтығында екі айнымалыдан тәуелді
функцияларды z=f(х,у) немесе z=z(х,у) немесе z=g(х,у) т.с.с. белгілейді,
мұндағы х,у – аргументтер.
Осы сияқты n=3 болғанда ?3 евклид кеңістігінде үш айнымалы
функцияларды u=u(x,y,z) немесе u=f(x,y,z) т.с.с. белгілейді, мұндағы x,y,z
аргументтер.
Осылайша кез келген ақырлы тәуелсіз айнымалылар ?(?, ?, ?. . . , ?)
функциясы анықталады.
КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ, ҮЗІЛІССІЗДІГІ. Айталық
z=f(х,у) функциясы ?2 жазықтығындағы D облысында анықталсын және
?? (?? , ?? ) ∈ ?, {?? } = {?? (?? , ?? }, n=1, 2, ... нүктелер жиыны болсын.
Анықтама. Егер М? нүктесіне жинақты кез келген {?? } тізбегі үшін
оған сәйкес келетін {?(??)} функция тізбегі b санына жинақты болса, онда b
санын f(М) функциясының ?0 нүктесіндегі шегі деп атайды, оны
??? ?(?) = ?

?→??

немесе

??? ?(?, ?) = ?

?→??
?→??

белгілейді.

Аргумент өсімшелерін ∆? = ? − ?? , ∆? = ? − ?? белгілейміз, сәйкес
функция өсімшесін ∆? = ?(?? + ∆?, ?? + ∆?) − ?(?? , ?? ) белгілейміз.
∆? шамасын функцияның толық өсімшесі немесе өсімшесі деп атайды.
егер

Анықтама. ? = ?(?, ?) функциясын ?? нүктесінде үзіліссіз деп атайды,
??? ?(? + ??, ? + ??) = ?(?, ?).

??→?
??→?

КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯНЫҢ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРЫ. Бірінші
ретті дербес туындылар. ? = ?(?, ?) функциясының тәуелсіз айнымалы х
бойынша дербес туындысы деп, у тұрақты болған кезде есептелген ақырлы
шекті айтады:

lim

x →0

f (x + x, y ) − f (x, y ) z
=
= f x (x, y ) .
x
x

Ал у бойынша дербес туынды деп, х тұрақты болған кезде есептелген ақырлы
шекті айтады:

lim

y →0

f (x, y + y ) − f (x, y ) z
=
= f y (x, y ) .
y
y

Дербес туындылар үшін дифференциалдау-дың әдеттегі ережелері мен
формулалары дұрыс болады.
z= ?(?, ?) функциясының х және у айнымалылары бойынша алынған
дербес туындыларын сәйкес төмендегі символдардың біреуімен белгілейді:

??′ , ??′

??

немесе

??

,

??
??

.

u=f(x,y,z) функциясының x,y,z айнымалылары бойынша алынған дербес
туындылары деп атап, төмендегі символдардың біреуімен белгілейді:

??′ , ??′ , ??′ немесе

??
??

,

??
??

,

??
??

.

БЕТКЕ ЖАНАМА ЖАЗЫҚТЫҚ ЖӘНЕ НОРМАЛЬ.
Анықтама. Беттің М нүктесіндегі жанама жазықтығы деп беттің М
нүктесі арқылы жүргізілген барлық қисықтарының жанамалары жататын
жазықтықты айтады.
Егер жазықтық F (x, y, z ) = 0 теңдеуі арқылы берілсе және M (x0 , y0 , z 0 )
 F 
F
F
нүктесінде   ,   ,   ақырлы және бір мезгілде нөлге айналмаса,
 x  M  y  M  z  M
онда беттің M (x0 , y0 , z 0 ) нүктесіндегі жанама жазықтығының теңдеуі:

 F 
 F 
 F 
 ( y − y 0 ) + 

 ( x − x0 ) + 
 (z − z 0 ) = 0 ,

x

y

z

M

M

M
немесе

 F 
 F 
 ( y − y 0 )
z − z0 = 
 (x − x0 ) + 

y
 x  M

M
түрінде болады.
Анықтама. Беттің М нүктесінднегі нормалі деп беттің М нүктесіндегі
жанама жазықтығына перпендикуляр және осы нүкте арқылы өтетін түзуді
айтады.
Беттің М нүктедегі нормалінің теңдеуі:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
 F 
 F 
 F 






 x  M  y  M  z  M

немесе

x − x0
y − y0
z − z0
=
=
−1 .
 F 
 F 




 x  M  y  M

түрінде болады.
Берілген бағыттағы туынды. Градиент
Анықтама. Егер f ( x, y ) функциясы дифференциалданатын болса, онда
берілген бағыттағы туынды:
z z
z
= cos + sin  ,
l x
y
Мұнда ? дегеніміз ⃗⃗⃗? векторының Ox осімен жасайтын бұрышы.

Осылайша функция үш айнымалылы u = f ( x, y, z ) болғанда берілген
бағыттағы туынды:

u u
u
u
=
cos + cos  + cos ,
l x
y
z
cos , cos  , cos  дегеніміз ⃗⃗⃗? векторының бағыттаушы

мұнда
косинустары.
Анықтама. z = f ( x, y ) функциясының M ( x, y ) нүктесіндегі градиенті
деп, бастапқы нүктесі M болатын, координаталары z функциясының дербес
туындыларына тең болатын векторды айтады:

grad z =

z
z
i+
j.
x
y

u = f ( x, y, z ) болғанда функцияның градиенті

grad u =
болады.

u
u
u
i+
j+ k
x
y
z