Кері жору арқылы дәлелдеу және Дирихле принципін олимпиада есептерін шешуде қолдану

Кері жору арқылы дәлелдеу және Дирихле принципін олимпиада есептерін шешуде қолдану

Карыбаева Сауле Шешкеновна – «Қарақол орта мектеп-балабақшасы» КММ-нің

математика пәнінің мұғалімі, ҚР Білім беру ісінің үздігі

Кейбір математикалық есептерді шығаруда қолданылатын «Дирихле принципі» деп аталатын қарапайым логикалық тәсілді атақты неміс ғалымы Петр Густав Лежен Дирихле (1805-1859) тұжырымдаған. Дирихле принципі екі жиын арасындағы қатынасты өрнектейді.

Теорема 1 (Дирихле принципі). Егер n торға n+1 қоянды орналастырсақ, онда бірден көп қоян отырған торды табуға болады.

Теорема 2 (Дирихленің жалпылама принципі). Егер n торға k*n+1 қоянды орналастырсақ, онда k-дан артық қоян отырған торды табуға болады.

Бұл соншалықты ақиқат тұжырым болғанымен, оның көмегімен оның көмегімен көптеген күрделі есептерді шешуге болады. Тек есеп шартынан оңтайлы түрде «үйшіктерді» таңдап алып, оларға «қояндарды» орналастыра білу керек.

Осы принципке негізделген есептердің кейбіреулерін де кері жору әдісімен де шешуге болады.

Бірер мысалдар қарастыралық.

1. Самат 5 күн сабақ оқиды. Ол күнделікті сабақтарының саны 5-тен 8-ге дейін. Қандай да бір екі күнде сабақтарының саны тең болатынын дәлелде.

Шешуі. Кері жориық. Яғни әр күнде сабақтар саны әртүрлі болсын. 1-ші күні 5 сабақ, 2-ші күні 6 сабақ, 3-ші күні 7 сабақ, 4-ші күні 8 сабақ. Сонда 5-ші күнге ешқандай жаңа нұсқа жоқ. Демек, алдыңғы 4 нұсқаның біреуі қайталанып, қандай да бір екі күнде сабақтарының саны тең болады.

Немесе Дирихле принципін қолдансақ: апта күндері – қояндар, сабақтар саны – торлар. Сонда 4 торға 5 қоянды бір-бірден енгізсек, 1 қоян артық қалады.

Демек, бір торда сөзсіз 2 қоян болады немесе 2 күндегі сабақтар саны сөзсіз тең болады.

2. 9 оқушы бақылау жұмысынан 2-ден 5-ке дейінгі бағаларды алды. Қандай да бір 3 оқушының бағалары бірдей болатынын дәлелде.

Шешуі. Кері жориық. Яғни әрбір бағаны екіден артық емес оқушы алсын. Онда бағалар саны 4-еу. 4*2=8 оқушы. Ал оқушы саны 9 болғандықтан, қайшылыққа келдік. Демек 3 оқушының бағалары бірдей болады.

Немесе Дирихленің жалпылама принципін қолдансақ: нақты оқушылардың алған бағалары – қояндар, барлық мүмкін бағалар – торлар. Сонда 4 торға 9 қоянды екіден енгізсек, 1 қоян артық қалады.

Демек, бір торда сөзсіз 3 қоян болады немесе 3 оқушының бағалары сөзсіз бірдей болады.

Дирихле принципі қолданылатын келесі есептерді қарастырайық.

№ 1 есеп.

1. Сыныпта 39 қазақ балалары оқиды. Олардың ішінде есімі бірдей әріптен басталатын кемінде 2 оқушы табылатынын дәлелде.

2. Мектепте ең аз дегенде неше оқушы болғанда олардың ішінен туған күндері мен айлары бірдей екі оқушы табылады.

Шешуі. а) Оқушы – қояндар, әріптер – торлар десек, ь,ъ,һ, ң й әріптерін санамағанда 37 тор бар. Ал, оларға 39 қоянды бір-бірлеп кіргізсек, 2 қоян артық қалады.

2. Бір жылда ең көп дегенде 366 күн бар. Яғни 366 оқушы болса, жылдың әр түрлі күнінде туылуы мүмкін. Ал, 367 оқушы болса, бір күнде туылған кемінде 2 оқушы болады. Мұндағы оқушы – қояндар, күндер – торлар.

№ 2 есеп. Кітаптың 25 бетінде баспадан 102 қате жіберілген. Сонда кітаптың қандай да бір бетінде кем дегенде 5 қате барын дәлелде.

Шешуі. Егер бұлай болмаса, әр бетте 4 қатеден болса, онда 25*4=100 қате болар еді. Ал, қателер 102.

№ 3 есеп. Қоржында 4 қызыл және 2 көк шар бар. Қоржынға қарамай ең аз дегенде неше шарды алғанда: а) 1 қызыл; б) 1 көк; в) 1 қызыл және 1 көк; г) екі бірдей түсті шар алуға болады?

Шешуі. а) 3 шар (әйтпесе барлығы көк түсті болуы мүмкін); б) 5 шар (әйтпесе барлығы қызыл түсті болуы мүмкін); в) 5 шар (әйтпесе барлығы қызыл түсті болуы мүмкін); г) 3 шар (әйтпесе екі түсті болуы мүмкін).

№ 4 есеп. Адамның басында 1000000 талдан артық емес шаш бар. Алматыда 2000000 адам тұрады. Шаштарының саны бірдей 2 алматылық табылатынын дәлелде.

Шешуі. Шаш санының 1000001 нұсқасы бар. Егер әр нұсқадан 2 адам табылса, онда 1000001*2=2000002 адамнан артық емес. Ал, бұл сан 2000005-тен кіші.

№ 5 есеп. 10 «А» сыныбында 18 оқушы бар. Олардың әрқайсысы 2 сабақтан емтихан тарсырады. Әр сабақтан 2, 3, 4 не 5 бағаларын алуға болады. Барлық емтихандағы бағалары бірдей болатын екі оқушы болуы мүмкін бе?

Шешуі. Болады. Бағалар жиынтығы 16 (2 емтиханда 4 түрлі бағалар нұсқасы, барлығы 2⁴ =16). Оқушы саны 18 болса (18>16), онда 2 оқушының емтихан бағалары бірдей бола алады.

№ 6 есеп. 12 бүтін сан берілген. Осы сандардың ішінен айырмасы 11-ге бөлінетін екі санды таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.

Шешуі: Сандарды «қоян» деп алайық. Олар 12 болғандықтан «ұяшық» одан аз болуы қажет. «Ұяшықтар» - бүтін санды 11-ге бөлгенде қалатын қалдықтар болсын. Барлық «ұяшық» 11 болады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Онда Дирихле принципі бойынша 2 «қоян» отырған «ұяшық» табылады, яғни қалдықтары тең екі сан табылады. Ал, қалдықтары бірдей екі санның айырмасы 11-ге бөлінеді. ( )

№ 7 есеп. Жазықтық 2 түске боялған. Бір-бірінен 1 метр қашықтықта орналасқан және бірдей түске боялған екі нүкте әрқашан табыла ма?

Шешуі: Түс екеу болғандықтан нүктелер саны екеуден көп фигураны қарастыру қажет. Қабырғасы 1 метрге тең дұрыс үшбұрышты мысал ретінде қарастыру қолайлы болады. Оның 3 төбесі бар. Төбелерін «қоян», ал түстерді «ұяшық» десек, онда 3 ˃ 2. Демек, Дирихле принципі бойынша бірдей түспен боялған және бір-бірінен 1 метр қашықтықта орналасқан үшбұрыштың 2 төбесі табылады.

№ 8 есеп. Мектепте 33 сынып, 1150 оқушы бар. Оқушылар саны 35-тен кем сынып бар болады ма?

Шешуі: Әр сыныпта 35-тен кем емес оқушы бар болсын делік. Онда мектептегі барлық оқушы саны 35·33 = 1155 –тен кем болмауы тиіс. Ал, бұл есептің шартына қайшы келеді. Демек, мектепте оқушы саны 35-тен кем сынып бар болады.

№ 9 есеп. 34 жолаушысы бар автобус 9 аялдамаға тоқтайды және бұл аялдамаларда жаңа жолаушы кірмейді. Қандай да бір екі аялдамада тусетін жолаушылардың саны бірдей (адамдар түспеуі де мүмкін) болатынын дәлелде.

Шешуі. Егер әр аялдамада әр түрлі сандағы жолаушы түсетін болса, біреуінде 0 адам, екіншісінде кемінде 1 адам, үшіншісінде кемінде 2 адам, т.с.с. соңғысында кемінде 8 адам түседі. Сонда 0+1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 адам. Ал жолаушы саны 34 (36>34), онда екі аялдамада тусетін жолаушылардың саны бірдей болады.

№ 10 есеп. Өлшемі 8х8 шахмат тақтасына Заңғар 14 фигураны қойып шықты. Бірде бір фигура қойылмаған 2х2 өлшемді шаршы табылатынын дәлелдеңдер. (Фигуралар 1х1 өлшемді шаршылардың ішінде орналасады).

Шешуі: 8х8 шахмат тақтасы өлшемі 2х2 болатын 16 шаршыларға бөлінеді. Сонда 16 «ұяшық» және 14 «қоян» - фигура болады. 16 ˃ 14 болғандықтан, кем дегенде бір «ұяшық» бос болады.

№ 11 есеп. Университетте оқыған 5 жыл ішінде студент 31 емтихан тапсырады. Әрбір келесі курстағы емтихан саны алдыңғыдан артық болады. Егер 5-курстағы емтихандар саны 1-курстағыдан үш есе артық болса, студент 4-курста неше емтихан тапсырды?

Шешуі. 5-курстағы емтихан саны 3-ке бөлінеді. Яғни 3, 6, 9, 12, ..., 30. Егер 9-дан артық болса, онда емтихан сандары 31-ден асып кетеді, ал 9-дан кем болса, онда емтихан сандары 31-ге жетпейді. Бұдан 5-курста 9, ал 1-курста 3 емтихан болатынын байқаймыз. Онда 2-3 курста неше емтихан болғанына тәуелсіз, 4-курста міндетті түрде 8 емтихан болады.

№ 12 есеп. Ұзындықтары ден 1-ге дейінгі 7 кесінді берілген. Осы кесінділердің ішінен үшбұрыш құрайтындай үш кесінді табылатынын дәлелде.

Шешуі. Ұзындықтары теңсіздігін қанағаттандыратын үш кесінді үшбұрыш қабырғалары болуы үшін болуы жеткілікті.

Біз кесінділерді ұзындықтарының кемімеу ретімен жазамыз; .

Кері жориық. Бұл кесінділердің ешбір үшеуі үшбұрыш қабырғалары болмасын, онда . Есеп шартына қайшы келдік. Демек, болатын үш кесінді табылады.

№ 13 есеп. Кинотеатрда әр қатарда 10 орыннан 7 қатар орындықтар бар. 50 баладан тұратын топ таңертеңгі және кешкі сеансқа киноға барды. Таңереңгі сеанста және кешкі сеанста да бір қатарда отырған екі баланы табуға болатынын дәлелде.

Шешуі. 50=7*7+1, онда таңертеңгі сеанста бір қатарда 8 бала отыруы мүмкін болса, ал кешінде осы 8 баланың кемінде екеуі бір қатарда отырады.

Келесі есептерді оқушыларға өз бетінше шығаруға ұсынамын.

№ 14 есеп. Кез келген 100 натурал санның ішінен қосындысы 100-ге бөлінетіндей бірнеше сан табылатынын көрсет.

№ 15 есеп. Мектептегі 25 сыныпта барлығы 801 оқушы оқиды. Оқушылар саны 33-тен кем емес кем дегенде бір сынып табылатынын дәлелде.

№ 16 есеп. Бірлік квадраттың ішінен кездейсоқ 51 нүкте белгіленеді. Қандай да бір үш нүкте радиусы -ге тең дөңгелек ішінде жататынын дәлелде.

Дирихле принципі ұғымының ауқымы кең. Дирихле принципі сандар теориясындағы бірнеше теоремаларды дәлелдеулерде қолданылады. Сонымен бірге, ұзындықтар мен аудандарға, графтар теориясы және комбинаторика элементтерімен байланысты есептерді шешу мен дәлелдеулерде Дирихле принципінің тұжырымдамаларын қолдануға болады.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. А. В. Фарков, «Олимпиадные задачи по математике и методы их решения» Москва, «Народное образование» 2003.

2. А.В.Летчиков, «Принцип Дирихле: задачи», учебное пособие Ижевск, 1992. Википедия

3. Ырысбек Мәуітұлы, Математика олимпиадаларына дайындық бастамалары, 5-7 сынып, әдістемелік құрал, Астана 2013.

4. Математический кружок (6-7-8-9 классы), Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, 2014-2017.

5. Ә.Н.Шыныбеков, Алгебра 8 сынып, Алматы, Атамұра, 2004.

Шығыс Қазақстан облысы

Үржар ауданы

Қарақол ауылы

Тел: 87756214578