Кездейсоқ оқиғалар.

Кездейсоқ оқиғалар

Бірінші мысал. Қорапта 4ақ,9 қара және 7 қызыл бірдей шарлар салынған. Қораптан кез-келген бір шар алынады.Сонда ақ шар пайда болуының ықтималдылығы қандай?

Шешуі: А-ақ шар пайда болуы болсын.Бұл тәжірибеде элементарлық оқиға дегеніміз қораптан кез-келген бір шар алу.Шарлар бірдей болғандықтан бұл оқиғалар тең мүмкінді және өзара үйлесімсіз. Элементарлық оқиғалардың жалпы саны осы қораптағы шарлар санына тең n=20,ал А оқиғасына қолайлы элементарлық оқиғалар саны қораптағы ақ шарлар санына тең. Сондықтан ықтималдықтың анықтамасы бойынша

Екінші мысал:а:

а) Ө, Н, С, Е, Д, У әріптері бөлек карталарға жазылған. Содан кейін карталар араластырып кез-келген ретпен бір қатарға орналастырылған. Сонда сәндеу сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?

б) Әрқайсысында бір әріп жазылған карталардан “Жарлық”сөзі құрылған.Карталарды араластырып, содан кейін бір-бірлеп алған ретімен сөз құрастырылады.Сонда ЖАҚ сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі: а) Берілген алты карталардың бір қатарға әртүрлі орналасуларының бір-бірімен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығында болады.Сондықтан ондай орналасулардың жалпы саны мына формуламен анықталады, яғни

n=

Берілген алты картаның әрбір орналасу комбинацияларын оқиға ретінде қарастырсақ, онда олар тең мүмкінді, үйлесімсіз оқиғалар болады. Ал бізге қолайлы элементарлық оқиғалар саны m=1.

Себебі карталар әртүрлі комбинациямен орналасқанда “Сәндеу” сөзі бір-ақ рет кезігеді.Сонда

б) Берілген алты карталардан үш карта бойынша орналастырулар саны n= . Ал үш әріптен тұратын комбинациялардың бізге керегі біреу-ақ, яғни ЖАҚ, олай болса m=1.Сөитіп

Үшінші мысал. Ұйымда 6 ер адам, 4 әйел адам жұмыс істейді. Табельдегі нөмірлері бойынша 7 адам таңдап алынды. Таңдап алынған адамдардың ішінде 3 әйел бар болуының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Табельдегі нөмірлері бойынша барлығы 10 адамнан 7 адам таңдап алудың жалпы саны 10 элементтен 7 элемент бойынша алынған терулер саны сияқты есептелінеді, яғни

n=

Ал 3 әйелді табельдік нөмерлері бойынша 4 әйелдің ішінен таңдап алудың саны

m =C

Сондай-ақ 6 ер адамнан 4 ер адам таңдаудың саны

m =C

Енді көбейту ережесін пайдалансақ таңдап алынған 7 адамның ішінде 3 әйел 4 ер адам болу мүмліндіктерінің жалпы саны тең.

Сонымен анықталғалы отырған ықтималдық

Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелі оқиғаны белгілі бір әріп арқылы белгілеп алу қажет. Содан кейін тең мүмкінді, үйлесімсіз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.

Төртінші мысал: Кітап сөресінде кездейсоқ ретпен 5 томнан тұратын анықтама қойылған:

а) кітаптар бірінші томнан бесінші томға дейін дұрыс ретпен орналасуының ықтималдығын табу керек;

б) ең болмағанда бір томның ретті орнында тұрмаған жағдайдың ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ ретінде кітап сөресінде кітаптардың кез-келген ретпен қойылуын қарастырайық. Сонда кітаптардың бұлай орналасуларының жалпы саны

n=P =5!=120

1) А әріпі арқылы кітап сөресінде кітаптардың том нөмірлерінің өсу ретімен орналасуын білдіретін оқиғаны белгілейік. Бұл оқиғаға қолайлы элементарлық оқиға біреу-ақ.

Сондықтан

P(A)=

2) В әріпі арқылы, ең болмағанда бір том ретті орнында болмауын білдіретін оқиғаны белгілейік. Мұндай оқиғалар саны m=n-1, яғни m=119. Себебі кітаптардың том нөмірлері бойынша дұрыс орналасуы бірге тең, ал қалған орналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен Р(В)=119/120;

Осы жерде А мен В оқиғаларының қарама-қарсы екенін ескерсек, онда Р(А)+Р( )=1 екенін пайдаланып

Р(В)=1-Р(А)=1- табамыз, яғни бұрынғы жауапты алдық.

Бесінші мысал. Қорапта бірдей 5 бұйым бар. Оның үшеуі боялған. Қораптан кез-келген екі бұйым алынды:

1) алынған екі бұйымның біреуі боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек;

2) алынған бұйымның екеуі де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: 1) қорапта 5 бұйымның екеуін барлығы n=C тәсілмен алуға болады, ал алынған екі бұйымның біреуі боялған болса, сол бір боялған, бір боялмаған бұйымдарды сәйкес m =C m =C тәсілмен алуға болады. Сонда екі бұйымның бірі боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны

Сөйтіп Р=

2) алдыңғы пунктегі шығару жолын пайдаланып

Сонда

Алтыншы мысал. Екі 4 және 5 цифрларының көмегімен әртүрлі үш орынды қанша сан жазуға болады?

Шешуі: Барлығы екі 4 және 5 цифрлары берілгендіктен іздеп отырған комбинацияларды бірден жазуға болады: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 544 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты қайталанбалы орналастыруды пайдаланып та алуға болады.

Жауабы: Барлығы 8 сан жазуға болады.

Жетінші мысал. Мына 5;3;1;5;5;1 цифрлардың көмегімен алты таңбалы қанша сан жазуға болады.

Шешуі: Берілген алты цифрды үш группаға бөлеміз: 1; 1, 3; 5, 5;5.

Есептің шартына қайталанбалы алмастырулар формуласын пайдалануға болады.

Сонда

Жауабы: Барлығы 60 сан жазуға болады.

Сегізінші мысал. Гүл дүкенінде 3 түрлі гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдіспен букет жасауға болады?

Шешуі: Сатып алынған гүл саны 7-ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетке үш түсті гүлдердің әрбір түсінен бірнеше гүл кіруі мүмкін. Олай болса қайталанбалы терулер формуласын пайдаланып

Жауабы: 36 әдіспен букет жасауға болады.

Студенттерге өзіндік есептер

1.Үш тиын лақтырылып тәжірибе жүргізілсін. Сонда С , С және С бірінші, екінші және үшінші тиындардың сәйкес сан жазылған жақтарының пайда болуын білдіретін оқиғалар болсын.

Енді С (i=1,3) арқылы мына оқиғаларды өрнекте: А-бір сан жазылған жақтың, екі елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы;

В-бір реттен артық елтаңба жазылған жақтардың пайда болмауы;

С-үш елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы.

Д-үш сан жазылған жақтардың пайда болуы.

2. Мына оқиғаның ақиқат оқиға екенін дәлелде

3. Өрнекті ықшамда:

а) в)

4.Төмендегі оқиғалар группалары толық группалар бола ма?

а)А -тиынның сан жазылған жағы

А -тиынның елтаңба жазылған жағы

б)Екі тиын лақтырылған.

В ={екі елтаңба пайда болды} В ={екі сан пайда болды}.

в)Екі ойын кубы лақтырылған

С ={екі кубтада 6 цифры пайда болды}

С ={екі кубтада 6 цифры пайда болмады}

C ={бір кубта 6 цифры болды, екінші кубта 6 цифры болмады}

5. Бір мезгілде 5 ойын кубы лақтырылсын. Сонда бір мезгілде 2 алты, 2 бес және 4 цифрлары жазылған жақтардың пайда болу ықтималдығы қандай?

6. 32 картадан 10 карта алынды. Осы 10 картаның ішінде 8 картаның бір түрлі болуының ықтималдығы қандай?

7. n бірдей шар салынған урнадан бір шар алынып қайта салыныды.Тәжірибе n рет қайталанғанда барлық шарлар түгел алынып шығуының ықтималдығы қандай?

8. Жеті перфокарта 1,2,3,4,5,6,7 цифрлар жазылған.Перфокарталар әбден қарастырылғаннанкейін кез-келген 4 перфокарта алынады да олар солдан оңға қарай қойылды.Сонда 5463 саны шығатындығының ықтималдығы қандай?

9. 36 картаның кез-келген 3 картасы алынады. Сонда тұз, король, дама шығуларының ықтималдығы қандай?

10. Группадағы 15 студентке, оның сегізі қыздар, театрға 8 билет берілді.Сонда театрға билет алған 8 студенттің екеуі қыздар болуының ықтималдығы қандай?

11. Ойын сүйегін лақтырғанда жүп сан шығуының ықтималдығы қандай?

12. Экспедициядағы 20 машинаның кез-келген 5 машинасы тексеруге алынды. Экспедицияда 2 машина істен шыққан болатын.

1.Алынған 5 машинаның барлығы да жарамды болуының ықтималдығы қандай?

2.Алынған 5 машинаның біреуі істен шыққан,ал төртеуінің жарамды болуының ықтималдығы қандай?

13.Әрбір 100 картаға 1-ден 100 дейін сан жазылған. Алынған кез-келген бір картада 5 цифріне еселі болатын сан шығуының ықтималдығы қандай?

14. Жәшіктегі 15 детальдың 10-ны боялған. Жинаушы кез-келген 3 деталь алды. Алынған 3 деталь де боялғандығының ықтималдығы қандай?

15. Бірінші жәшікте нөмірлері 1-ден 5-ке дейін, ал екіншісінде 6-дан 10-ға дейін шарлар бар.Әрбір жәшіктен бір-бірден шар алынды.Алынған екі шардың нөмірлерінің қосындысы || болуының ықтималдығы қандай

16. Студент 60 сұрақтың 50-ін біледі.Әрбір билет екі сұрақтан тұрады. Алған билеттегі екі сұрақты да білетіндігінің ықтималдығы қандай?

17. Группадағы 30 оқушының бақылау жұмысында 6-ы “5”,10-ы, “4”, ал 9-ы “3” деген бағалар алды.Тақтаға үш оқушы шақырылды. Шақырылған үш оқушының да “2” баға алғандығының ықтималдығы қандай?

18. Берілген кубтың барлық жақтары боялған. Куб бірдей 1000 бөлікке бөлінген. Пайда болған бөліктер, оларды кубтар, мұқият арастырылған, содан кейін бір кішкене куб алынған.

Алынған кішкене кубтың: а) бір жағы боялғандығының ықтималдығы қандай? б) екі жағы боялғандығының ықтималдығы қандай? в) үш жағы боялғандығының ықтималдығы қандай?

19. Белгілі бір 6 магазинді 3 ревизор тексеруі керек еді. Әр ревизор 2 магазинді тексеруі керек. Магазиндерге ревизорлар қалай болса солай бөлінеді. Сонда бірінші ревизордың кез-келген екі магазинге жіберілуінің ықтималдығы қандай?

20. 36 картаның кез-келген үшеуі алынды. Алынған үш картаның екеуі тұз болуының ықтималдығы қандай?

21. Қорапта нөмірленген бірдей 6 куб бар. Қораптан кез-келген ретпен барлық кубтар алынды. Алынған кубтар нөмірлерінің өсу ретімен шығуының ықтималдығын табу керек.

22. Партияда 10 детальдің 7-і сапалы. Алынған кез-келген 6 детальдің 4-і сапалы болуының ықтималдығын табу керек.

23. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Екі сүйекте пайда болған сандардың айырмасының абсолют шамасы 2-ге тең болғандығының ықтималдығын табу керек.

24. Қораптағы бірдей 6 шар нөмірленген. Кез келген ретпен бір-бірлеп шарлар алынып бір қатарға солдан оңға қарай қойылған. Сонда алдын-ала ойланған бір сан шығатындығының ықтималдығын табу керек.

25. Орыс алфавитінің 32 әрпі әртүрлі карталарға жазылған. Содан кез келген 6 карта алынып бірінен соң бірі бір қатарға қойылған.Сонда “сурет” сөзінің пайда болуының ықтималдығын табу керек.

26. Урнада 5 ақ 3 қара шарлар бар. Кез келген екі шар алынды. Сонда алынған әр түсті болуының ықтималдығы қандай?

27. Винтовкадан 120 атыс жүргізілді. Сонда нысанаға тию жиілігі 0,85-ке тең болды. Оқ қанша рет нысанаға дәл тиді?

28. Партиядағы 200 бұйымның бақылау кезінде 8 данасы сапасыз болды. Сапасыз бұйымдардың пайда болуының жиілігі қандай?

29. Ойын сүйегі лақтырылғанда 3-ке еселі болатын сан шығуының ықтималдығын табу керек?