Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ

Молшылықова А.Ө., «Математика мұғалімдерін даярлау» мамандығының 4 курс студенті, М.Х.Дулати атындағы Тараз университеті «Жаратылыстану ғылымдары» факультеті Тараз қ., molshylykovaaaaa@mail.ru

Сандарға сипаттама беру үшін ықтималдылықтар теориясында кездейсоқ шама деп аталатын ұғым енгізілген. Кездейсоқ шама дегеніміз- алдын-ала белгісіз , тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы айтады. Сонымен қатар, тәжірибе нәтижесінде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды.

Ықтималдылық теориясында кездейсоқ шамаларды латынның бас әріптерімен (X;Y;Z;…) , олардың мәндерін латынның кіші әріптерімен белгілейді.

Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамаларына:

1.Математикалық күтім (орташа мән)

Бұл кездейсоқ шаманың орташа мәні, олардың ықтималдығы бойынша мүмкін мәндердің көбейтінділерінің қосындысы ретінде есептеледі. Дискретті кездейсоқ шама үшін X келесідей анықталады:

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін:

Мұндағы , f(x)- ықтималдылық тығыздығының функциясы.

2. Дисперсия

Дисперсия Х кездейсоқ шаманың квадратының математикалық күтімі мен математикалық күтімнің квадратының айырмасына тең:

3.Орташа квадраттық ауытқу

Дисперсиядан алынған квадрат түбір орташа квадраттық ауытқу деп аталады:

Қабылдайтын мәндер жиындарына қарай кездейсоқ шамалар екі топқа бөлінеді: дискретті және үздіксіз.

Дискретті кездейсоқ шама-бұл мәндердің белгілі бір (ақырлы немесе есептелетін) санын ғана қабылдай алатын шама. Бұл мәндердің әрқайсысының өзіндік ықтималдығы бар және барлық мүмкін мәндердің ықтималдылығының қосындысы әрқашан 1-ге тең.

Дискретті кездейсоқ шама үшін Х келесідей анықталады:

Дискретті кездейсоқ шамаларды қолдану:

Дискретті кездейсоқ шамалар әртүрлі салаларда қолданылады, соның ішінде:

Статистика

Қаржылық талдау

Ойын теориясы

Тәуекелдерді бағалау

Дискретті кездейсоқ шамалар нәтижелерді белгілі бір ықтималдықпен тізімдеуге және бағалауға болатын жағдайларды талдаудың қуатты құралдарын ұсынады.

Үздіксіз кездейсоқ шама-бұл белгілі бір аралықтан немесе жиыннан кез-келген мәндерді қабылдай алатын шама, әдетте нақты сандарды қолдана отырып. Дискретті кездейсоқ шамалардан айырмашылығы, үздіксіз шамалар мүмкін мәндердің шексіз санына ие.

Үздіксіз кездейсоқ шамаларды қолдану:

Үздіксіз кездейсоқ шамалар әртүрлі салаларда қолданылады, соның ішінде:

Табиғаттағы құбылыстарды модельдеу (мысалы, биіктігі, салмағы)

Қаржылық талдау (мысалы, акциялар бағасының өзгеруі)

Ғылыми зерттеулер (мысалы, физикалық шамаларды өлшеу)

Бұл сипаттамалар мен мысалдар нәтижелер шексіз мәндерді қабылдай алатын әртүрлі процестерді талдауға және модельдеуге мүмкіндік береді.

Кездейсоқ шамалар – белгілі бір эксперимент немесе процесс барысында алынатын, ықтималдыққа байланысты өзгеретін мәндер. Міне, кездейсоқ шамалардың бірнеше мысалдары:

1. Монета лақтыру: Монетаны лақтырғанда, шыққан жағы (бет немесе жазу) – кездейсоқ шама.

2. Кубик лақтыру: Кубикті лақтырғанда шыққан сан (1-ден 6-ға дейін) – кездейсоқ шама.

3. Сынақ нәтижелері: Мектептегі тест тапсыру барысында оқушының алған балы – кездейсоқ шама.

4. Клиенттер саны: Бір күні дүкенге келген клиенттер саны – кездейсоқ шама.

5. Ауа райы: Ертеңгі күндегі температура немесе жаңбыр жауып, жаумайтыны – кездейсоқ шама.

6. Карталар тарту: Карта колодасынан кездейсоқ карта тартқанда алынған карта – кездейсоқ шама.

7. Спорттық ойындардың нәтижесі: Футбол матчында командалардың жеңуі немесе жеңілуі – кездейсоқ шама.

8. Тауар сатылымы: Оптимистік түрде күтілген, бірақ дәл белгісіз, белгілі бір тауардың сатылымы – кездейсоқ шама.

Осы мысалдар кездейсоқ шамалардың күнделікті өмірде және статистикалық зерттеулерде қаншалықты маңызды екенін көрсетеді.

Міне, кездейсоқ шамаларды нақты мысалдармен шығару жолдары:

1. Монета лақтыру

Мысал: Монета лақтырылды.

• Кездейсоқ шама: X – Монета лақтырғанда шыққан жағы.

• Мүмкін мәндер: X∈{Бет,Жазу}

2. Кубик лақтыру

Мысал: Кубик лақтырылды.

• Кездейсоқ шама: Y – Кубиктен шыққан сан.

• Мүмкін мәндер: Y∈{1,2,3,4,5,6}

3. Клиенттер саны

Мысал: Дүкенге келген клиенттер саны.

• Кездейсоқ шама: Z– Бір күні дүкенге келген клиенттер саны.

• Мүмкін мәндер: Z∈{0,1,2,…} (шексіз)

4. Ауа райы

Мысал: Ертеңгі күндегі жаңбыр.

• Кездейсоқ шама: W– Ертең жаңбыр жауып, жаумайтыны.

• Мүмкін мәндер: W∈{Иә,Жоқ}

5. Тест нәтижесі

Мысал: Оқушының тесттен алған балы.

• Кездейсоқ шама: T– Оқушының тесттегі балы.

• Мүмкін мәндер: T∈{0,1,2,…,100}

6. Карталар тарту

Мысал: Карта колодасынан тартылған карта.

• Кездейсоқ шама: C – Тартылған карта.

• Мүмкін мәндер: C∈{1♠, 2♠, ..., 10♥, J♥, Q♥, K♥}

7. Спорттық ойынның нәтижесі

Мысал: Футбол матчында команда жеңісі.

• Кездейсоқ шама: S – Команданың ойын нәтижесі.

• Мүмкін мәндер: S∈{Жеңіс,Тең,Жеңіліс}

Әр мысалда кездейсоқ шамалардың анықтамасы мен олардың мүмкін мәндері нақты көрсетілген.

Кездейсоқ шамалар – статистика мен ықтималдық теориясының негізі, сондықтан оларды зерттеу мен қолдану көптеген салада маңызды.