И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом

ТРИГОНОМЕТРИЯ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов
общеобразовательных учреждений

МЦНМО
АО «Московские учебники»
Москва 2002

ББК 22.151.0
Г32

Г32

И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Тригонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с.
ISBN 5-94057-050-X

Эта книга, написанная группой авторов под руководством одного из крупнейших математиков 20 века академика
И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый
предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала,
выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии.
Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся
математикой.

ISBN 5-94057-050-X

©И. М. Гельфанд, С. М. Львовский,
А. Л. Тоом, 2002
©МЦНМО, 2002

Предисловие
Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные формулы — скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим
вас в этом разубедить.
Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказываем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого
начала и подряд, хотя кое-что вы, скорее всего, уже знаете.
Наши определения равносильны определениям из школьных
учебников, но не всегда дословно с ними совпадают.
Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы сознательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после
каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу
совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл
перечитать этот параграф.
Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный
текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это
можно пропустить.
Теперь более подробно о содержании книги. В первых двух
главах речь идет о начальных понятиях тригонометрии (точнее
говоря, о той ее части, в которой не участвуют формулы сложения). Третья глава («Решение треугольников») посвящена применениям тригонометрии к планиметрии. (Имейте в виду, что
решение треугольников — не единственный раздел геометрии; не
следует думать, что, проработав только нашу книжку, вы уже
научитесь решать геометрические задачи.)
Четвертая глава посвящена формулам сложения и их следствиям. Это — центральная часть тригонометрии (и книги), и именно здесь сосредоточены основные тригонометрические формулы.
Мы надеемся, что после изучения этой главы вы поймете, откуда
они берутся, и научитесь в них ориентироваться. Мы начинаем эту главу с параграфов, в которых рассказано о векторах на
плоскости, а сами тригонометрические формулы иллюстрируем
примерами из физики.
Тригонометрия по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно
3

решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна тренировка. В пятой главе мы описываем типичные приемы решения
тригонометрических уравнений и неравенств. Многие из задач
к этой главе взяты из материалов приемных экзаменов в Московский государственный университет и ведущие вузы.
Заключительная шестая глава, напротив, посвящена теме, не
входящей в программу вступительных экзаменов, но тесно связанной с тригонометрией — комплексным числам. Мы надеемся,
что наши читатели получат удовольствие от знакомства с этим
красивым и важным разделом математики.
При написании пятой главы нам помогли беседы с Ж. М. Рабботом; часть задач к этой главе мы позаимствовали из известного
«Сборника задач по математике для конкурсных экзаменов в вузы» под редакцией М. И. Сканави. Многие задачи по планиметрии
взяты из сборников И. Ф. Шарыгина. Обсуждение примеров из
физики и комплексных чисел многим обязано заслуженно популярным «Фейнмановским лекциям по физике».
Работа над этой книгой никогда не была бы завершена, если
бы мы не ощущали постоянного внимания и поддержки и не пользовались помощью многих и многих людей. Пользуемся случаем
выразить им всем глубокую благодарность. Особенно тепло мы
хотим поблагодарить Н. Б. Васильева, Ж. М. Раббота и А. Шеня, потративших много сил и времени на улучшение рукописи
этого пособия.

Предисловие ко второму и третьему изданиям
Второе издание этого пособия готовилось без участия И. М. Гельфанда и А. Л. Тоома, поэтому отличия от первого издания невелики (самое существенное — иное изложение дистрибутивности
скалярного произведения в § 18). Само собой разумеется, что вся
ответственность за эти изменения лежит только на мне. В третьем
издании исправлен ряд ошибок и добавлены указания и решения
к некоторым задачам.
С. Львовский

4

Глава 1

Первое знакомство
с тригонометрией
§ 1. Как измерить крутизну
Классификация углов из книги по альпинизму:
«Перпендикулярно» — 60 градусов;
«Мой дорогой сэр, абсолютно перпендикулярно!» — 65 градусов;
«Нависающе»— 70 градусов.
Дж. Литтлвуд.
«Математическая
смесь».

1.1. Синус
Пусть человек поднимается в гору. Будем считать, что склон горы — это гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC (рис. 1.1).
Можно предложить по крайней мере два способа измерения крутизны подъема: 1) измерить высоту подъема (отрезок BC на рис. 1.1а);
2) провести дугу с центром в точке (рис. 1.1б) и измерить ее длину.
Конечно, сама по себе высота подъема ничего не характеризует: если вы долго идете по склону, то можно подняться высоко
даже при пологом склоне. Поэтому нужно рассматривать отно5











а)

б)
Рис. 1.1.

шение длины подъема к длине пути (соответственно отношение
длины дуги к радиусу)1 . Эти отношения от длины пути уже не
зависят.
Вот формальное доказательство того, что отношение длины подъема к длине пути не зависит от этой длины. Пусть человек прошел не
весь путь, а дошел только до точки B 0 (рис. 1.2). Тогда крутизна подъема на отрезке AB 0 равна B 0 C 0 /A0 B 0 , а на отрезке AB равна BC/AB.
Однако B 0 C 0 k BC как два перпендику

ляра к одной прямой, так что ∠AC 0 B =



◦
0
= ∠ACB = 90 , ∠AB C = ∠ABC. Стало
быть, треугольники ABC и AB 0 C 0 подобны по двум углам, и BC/AB = B 0 C 0 /AB 0 .


Таким образом, отношение высоты подъема к длине пути не зависит от длины
пути. Доказать, что отношение длины дуРис. 1.2.
ги к радиусу не зависит от радиуса, также
можно, но для этого надо формально определить, что такое длина дуги.
В этой книжке мы этим заниматься не будем.

Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к гипотенузе треугольника (рис. 1.3).
От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это
отношение не зависит.
1

Физик объяснил бы это так: высота подъема имеет размерность длины,
а крутизна — безразмерное число.

6











Рис. 1.3. sin α = BC/AB.

Рис. 1.4. Радианная мера угла
AOB — отношение длины дуги
AB к радиусу AO.

1.2. Измерение углов
Вторая из введенных нами характеристик крутизны называется
радианной мерой угла.
Определение. Радианной мерой угла называется отношение
длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и
с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности (рис. 1.4).
От радиуса окружности это отношение не зависит.
Например, когда говорят, что «радианная мера угла равна
1/2», или «величина угла равна 1/2 ра

диана», или попросту «угол равен 1/2
радиана», это значит, что заключенная
внутри него дуга вдвое короче радиуса.
Если радиус окружности равен 1, то ра
дианная мера угла равна длине дуги.
Вычислим радианную меру прямого
угла. В соответствии с нашим определением проведем дугу окружности радиуса r с центром в вершине прямого угла (рис. 1.5). Дуга AB составляет четРис. 1.5.
верть всей окружности. Коль скоро длина окружности радиуса r равна 2πr, длина нашей дуги равна 2πr/4 = πr/2, а радианная мера прямого
угла равна (πr/2)/r = π/2 ≈ 1,57.
7

Обе введенные нами характеристики крутизны (синус и радианная мера угла) имеют то преимущество перед привычным
измерением углов в градусах, что являются естественными; про
измерение углов в градусах этого не скажешь: как бы вы стали
объяснять представителю внеземной цивилизации, почему один
градус составляет именно одну девяностую прямого угла? Кстати,
во время Великой французской революции, когда пытались изменить все, включая календарь и названия игральных карт, была
предложена и новая единица измерения углов — одна сотая прямого угла, что ничуть не хуже и не лучше одной девяностой.
Выясним, как связаны между собой радианная и градусная
π
меры угла. Как мы уже знаем, величина прямого угла равна
2
радиан. Так как угол 1◦ в 90 раз меньше прямого угла, то и его
радианная мера в 90 раз меньше радианной меры прямого угла,
π
: 90 = π/180 ≈ 0,017. Угол в k градусов имеет
то есть равна
2
меру (π/180)k радиан. Чтобы узнать, сколько градусов содержит
угол в 1 радиан, надо найти такое k, что (π/180)k = 1. Стало
быть, в одном радиане содержится 180/π ≈ 57,29◦ .
Задача 1.1. Заполните пустые места в таблице, после чего выучите
таблицу наизусть:
градусы
радианы

30◦

45◦

60◦

120◦

135◦

150◦

180◦

360◦

Задача 1.2. Для каждого из углов 10◦ , 30◦ , 60◦ найдите приближенные значения синуса и радианной меры (с двумя значащими
цифрами). На сколько процентов отличаются синус и радианная
мера для этих углов?
Задача 1.3. Пусть радианная мера острого угла равна α. Докажите неравенство: sin α < α (словами: синус острого угла меньше
его радианной меры).
Указание. См. рис. 1.6.
8







Рис. 1.6.



Рис. 2.1. Тангенс.

§ 2. Тангенс
В предыдущем параграфе мы научились измерять крутизну с помощью синуса угла. Есть и другой способ измерения крутизны,
составляющий, как пока еще говорят, альтернативу синусу.
Представим себе, что человек, поднимаясь по тропе, приближается к крутому берегу (рис. 2.1). Если измерять крутизну подъема с помощью отношения высоты подъема к длине пути, то получится уже знакомый нам синус. Давайте теперь вместо длины
пройденного человеком пути измерять, насколько он приблизился
к берегу по горизонтали. Иными словами, рассмотрим расстояние
AC — проекцию пути на горизонталь. В качестве характеристики
крутизны возьмем отношение BC/AC. Это отношение называется
тангенсом угла.
Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника,
лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему
к углу (рис. 2.1).
Как и синус угла, тангенс не зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.
Обозначается тангенс угла α так: tg α (читается «тангенс альфа»).
Задача 2.1. Докажите, что тангенс угла не зависит от размеров
прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.
Задача 2.2. Для данного острого угла α что больше: sin α или tg α?
9

Выясним, как связаны синус и тангенс угла. Пусть, например,
известен тангенс угла α; как найти его синус? Воспользуемся тем,
что для вычисления tg α годится любой прямоугольный треугольник с углом α; выберем тот из них, что изображен
на рис. 2.1. По
p
теореме Пифагора его гипотенуза равна 1 + tg2 α, так что



sin α = p




tg α
1 + tg2 α

Рис. 2.1.
Задача 2.3. Пусть α — острый угол; выведите формулу, выражающую tg α через sin α.
Задача 2.4. Для каждого из углов 10◦ , 30◦ , 60◦ найдите приближенные значения их тангенса. Что больше: тангенс или радианная
мера? И на сколько процентов больше?
Из предыдущей задачи вы должны были увидеть, что тангенсы фигурировавших в ней углов больше, чем их радианная мера.
На самом деле это верно для любых острых углов. Наглядно это
можно пояснить с помощью рис. 2.2а. На нем AC = 1, так что
длина дуги CM C 0 равна 2α (мы считаем, что угол измерен в радианах), а длина ломаной CBC 0 равна 2 tg α. Из рисунка ясно,
что длина ломаной CBC 0 больше, чем длина дуги CM C 0 ,1 так
что 2 tg α > 2α, откуда tg α > α.
Аккуратное доказательство этого неравенства вы узнаете, решив следующую задачу.
Задача 2.5. Докажите неравенство tg α > α.
Указание. Сравните площадь треугольника ABC и сектора AM C
(рис. 2.2б). Площадь сектора равна половине произведения длины
дуги, ограничивающей этот сектор, на радиус окружности.
Веревочку CBC 0 надо укоротить, чтобы она облегала дугу CM C 0 вплотную.
1

10


















а)





б)
Рис. 2.2. tg α > α.

§ 3. Косинус
Определение. Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углу
α, к гипотенузе треугольника (рис. 3.1).








Рис. 3.1. cos α = AC/AB.
От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол
α, это отношение не зависит.
Косинус угла α обозначается cos α («косинус альфа»).
Задача 3.1. Докажите следующие формулы:




а) sin(90◦ − α) = cos α;

  


б) cos(90◦ − α) = sin α;



в) tg α = sin α/ cos α.
11

























Рис. 3.2. Функции угла 45◦ .





Рис. 3.3. Углы 30◦ и 60◦ .

Задача 3.2. Докажите формулу: sin2 α + cos2 α = 1.
Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.
Задача 3.3. Пусть α — острый угол.
p Выведите формулу, выражающую cos α через tg α: cos α = 1/ 1 + tg2 α.
Указание. Воспользуйтесь рис. 2.1 из предыдущего параграфа.
Задача 3.4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна
a, угол при основании равен α. Найдите: а) основание; б) высоту,
опущенную на боковую сторону; в) высоту, опущенную на основание.
Не существует простой формулы, позволяющей по величине
угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее
для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса
легко вычислить. Сделаем это для углов 30◦ , 45◦ и 60◦ .
Начнем с угла 45◦ . Чтобы посчитать его синус, косинус и тангенс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный
треугольник с углом 45◦ . В качестве такого треугольника можно
взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 3.2).
Из теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата рав√
на 2. Следовательно, из треугольника ACD получаем:
√
√
sin 45◦ = CD/AC = 1/ 2 = 2/2;
√
cos 45◦ = AD/AC = 2/2;
tg 45◦ = CD/AD = 1.
12

Теперь займемся углами 30◦ и 60◦ . Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 и опустим в нем высоту (рис. 3.3).
Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 1 и острыми углами 60◦ и 30◦ ; при этом AD = 1/2
(высота BD в равностороннем треугольнике является также биссектрисой и медианой).
По теореме Пифагора находим BD =
√
√
AB 2 − AD2 = 3/2. Теперь, когда длины всех сторон треугольника ABD нам известны, остается только выписать:
√
sin 30◦ = AD/AB = 1/2;
sin 60◦ = BD/AB = 3/2;
√
cos 30◦ = BD/AB = 3/2;
cos 60◦ = AD/AB = 1/2;
√
√
√
tg 30◦ = AD/BD = 1/ 3 = 3/3; tg 60◦ = BD/AD = 3.
Кстати, тот факт, что sin 30◦ = 1/2, был известен вам и раньше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежащий против угла 30◦ , равен половине гипотенузы.
Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и косинуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом
при основании 72◦ и углом при вершине 36◦ (рис 3.4). Проведем в нем
биссектрису AM угла A и подсчитаем все углы. Из рисунка видно,
что треугольники ABM и ACM равнобедренные и AC = AM = BM .
Если AB = a, то AC = 2a cos 72◦ , M C = 2AC cos 72◦ = 4a cos2 72◦ ;
так как AB = BC = M C + BM = M C + AC, получаем равенство




a = 4a cos2 72◦ + 2a cos 72◦ ,
откуда 4 cos2 72◦ + 2 cos 72◦ − 1 = 0. Решая это
(квадратное) уравнение относительно cos 72◦ ,
получаем
√
5−1
.
cos 72◦ =
4




◦

Задача 3.5. Найдите cos 36 .
Задача 3.6. В окружность вписан правильный
пятиугольник. Найдите отношение его стороны
к радиусу окружности.









Рис. 3.4.

Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить
с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда

13

отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выразить через целые числа с помощью четырех арифметических действий
и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6, вы убедитесь, что
правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К. Ф. Гаусс окончательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить
с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому математику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа).
В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник.

Для практических применений нужны не столько точные формулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов конкретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таблицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы
приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовавшиеся на практике, давали значения тригонометрических функций не через 5◦ , а с гораздо более мелким шагом. В настоящее время тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы
приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать
несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере.
Таблица 3.1. Значения тригонометрических функций (с двумя
знаками после запятой)
α
5◦
10◦ 15◦ 20◦ 25◦ 30◦ 35◦ 40◦
sin α 0,09 0,17 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0,64
tg α 0,09 0,18 0,27 0,36 0,47 0,58 0,70 0,84
α
45◦ 50◦ 55◦ 60◦ 65◦ 70◦ 75◦ 80◦
85◦
sin α 0,71 0,77 0,82 0,87 0,91 0,94 0,97 0,98 0,99
tg α 1,00 1,19 1,43 1,73 2,14 2,75 3,73 5,67 11,43

Задача 3.7. Найдите с помощью таблицы 3.1 приближенное значение cos 25◦ .
14

§ 4. Малые углы
В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На
практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При
этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута — это 1/60 часть
градуса; угловая секунда — это 1/60 часть угловой минуты. Если,
например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16
секундам, то пишут: 129◦ 340 1600 .
Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду:
а) часовая стрелка часов;
б) минутная стрелка часов;
в) секундная стрелка часов?
Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая
стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на 360/12 = 30◦ . Следовательно, за минуту часовая стрелка
повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 300 ;
в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз
меньший, чем за минуту, то есть на 3000 . Теперь вы видите, насколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз
больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не
в состоянии заметить.
Представление об угловой минуте дает такой факт: «разрешающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном
зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом 10
или меньше, на глаз воспринимаются как одна.
Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе
малых углов. Если на рис. 4.2 угол α мал, то высота BC, дуга BD
и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины —
это sin α, радианная мера α и tg α. Стало быть, для малых углов
синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:
15




Рис. 4.1. Разрешающая способность.











Рис. 4.2. Малые углы.
Если α — малый угол, измеренный в радианах, то sin α ≈ α;
tg α ≈ α.
Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.
Ответ. sin α◦ ≈ πα/180.
Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры — еще
один довод в ее пользу!
Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров
с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.
Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги
земного меридиана? Радиус Земли равен примерно 6370 .
Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).
16





Рис. 4.3. Парсек.

Рис. 4.4. Формула тысячных.
Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек — это расстояние с которого радиус земной орбиты1 виден
под углом 100 (рис. 4.3). Сколько километров в одном парсеке?
(Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.)
Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, называемой «тысячная». По определению, тысячная — это 1/3000
развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют
в следующей формуле для определения расстояния до удаленных
предметов: = (/) · 1000. Здесь — расстояние до предмета, — его
высота, — угол, под которым он виден, измеренный в тысячных
(рис. 4.4). Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться
на практике? Чему равно число π, по мнению военных?
Мы видим, что формулы sin α ≈ α, tg α ≈ α верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет,
1
Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли — не круг, а эллипс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными
друг от друга точками орбиты).

17

если угол не столь мал. Для угла в 30◦ точное значение синуса равно 0,5, а радианная мера равна π/6 ≈ 0,52. Ошибка (или,
как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin α ≈ α,
равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%.
Для углов, меньших 10◦ , относительная погрешность формулы
sin α ≈ α меньше одного процента. Чем меньше угол α, тем меньше относительная погрешность формулы sin α ≈ α.
Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы — и не только малых углов — с хорошей точностью. Например, формула sin α ≈ α − α3 /6 (напоминаем, что α
измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее
1% уже для всех углов, не превосходящих 50◦ . Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.
Задача 4.7. Пусть α — острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство cos α > 1 − α2 .
p
1 − sin2 α, нераУказание. Воспользуйтесь формулой
cos
α
=
√
венством sin α < α и неравенством t > t (для 0 < t < 1).
Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла
менее 5◦ относительная погрешность этого приближения будет менее 1%.

18

Глава 2

Начальные свойства
тригонометрических функций
§ 5. Часы, или современный взгляд на
тригонометрию
5.1. Часы и процессы
До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношениях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригонометрии и начиналось (слово «тригонометрия» означает в переводе с древнегреческого «измерение треугольников»). Позднее,
однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее
рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических
процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы,
рассмотрим простейший из них — движение стрелок часов.
Задача 5.1. Предположим, что все стрелки часов имеют длину
1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь проходит за сутки:
а) секундная стрелка;
б) минутная стрелка;
в) часовая стрелка?
19

     
 
          




         



Рис. 5.1. Часы фирмы «Тригонометрия».
(Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.)
Задача 5.2. Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы завели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь,
пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км? С какой
точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь
возможность ответить на вопрос о дате?
Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить
в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями,
нам нужны часы не совсем обычные. Наши «часы для любителей
тригонометрии» имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движется в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении.
В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на
обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачивается на 1 радиан.
Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно
определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой концом стрелки за час, равна 1, за два часа — 2 и т. д.
Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам
и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, расположенную, как показано на рис. 5.2а.
20













 

  

а)

б)

Рис. 5.2. Часы и тригонометрия.
Каковы будут координаты конца стрелки в момент t (через
t часов после запуска)? Из рис. 5.2б ясно, что, пока стрелка не
успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее координаты будут (cos t; sin t) (имеются в виду косинус и синус угла
в t радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника M AP
видно, что cos ∠M AP = AP , sin ∠M AP = M P , а радианная мера
угла ∠M AP равна t.
Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной
четверти (это означает, что пройденный ей путь t превысил π/2).
Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки
равны (cos t; sin t), так как t больше не является радианной мерой острого угла, а синус и косинус мы определили только для
острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения.
Можно определить косинус числа t как абсциссу конца стрелки
в тот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит
t. Аналогично синус t определяется как ордината конца стрелки
в тот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда t является
радианной мерой острого угла, новые определения согласуются
с прежними.
Задача 5.3. Как бы вы определили синус и косинус отрицательного числа t?
Задача 5.4. Найдите:
21

а) cos(π/2) и sin(π/2);
в) cos(3π/2) и sin(3π/2);

б) cos π и sin π;
г) cos(5π/2) и sin(5π/2).

В следующем параграфе мы дадим более формальные определения синуса и косинуса произвольного числа и начнем систематическое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства
синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас.
Заметим, что за время 2π стрелка наших часов делает полный
круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее
конца в моменты t и t + 2π одинаковы. Другими словами:
cos(t + 2π) = cos t
sin(t + 2π) = sin t
Как говорят, функции синус и косинус имеют период 2π.
Задача 5.5. Как меняется положение стрелки за время π? Чему
равны cos(t + π) и sin(t + π)?

5.2. Скорость
Посмотрим теперь, как изменяются cos t и sin t при изменении t.
Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична).
Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент,
когда конец стрелки прошел расстояние t, проекция этого конца
на ось абсцисс отмечает число cos t (рис. 5.3а). Видно, что эта проекция совершает колебания от 1 до −1 и обратно. Далее, движение
конца стрелки по окружности равномерно, но движение его проекции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на
окружность положения конца стрелки через равные промежутки времени, а на ось абсцисс — их проекции (рис. 5.3б). Хорошо
видно, что вблизи концов отрезка [−1; 1] точки идут гуще, чем
в его середине. Однако отмеченные точки — не что иное, как проекции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало
быть, в середине отрезка [−1; 1] наша точка движется быстрее,
чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку
наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо
сначала затормозить.
22



 




а)

б)

Рис. 5.3. Как меняется косинус.
Задача 5.6. а) Если для каждого целого n найти число sin(πn/30),
сколько различных чисел получится?
б*) Каким должно быть число a, чтобы множество чисел вида
cos(πna), где n пробегает все целые числа, было конечно?
в**) Существует ли такое натуральное число n, что | cos n| <
< 1/1000?
Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция
конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на горизонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка
движется со скоростью 1 / и имеет длину 1, так что ее конец движется со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка повернута на угол
t (рис. 5.4) Через маленькое время τ конец стрелки переместится из
точки A в точку B, а его проекция — из точки M в точку N . Найдем
отрезок M N . Для этого заметим, что угол CAB можно приближенно
считать прямым, так как хорда AB мала. Поэтому
∠BAK ≈ π/2 − ∠CAK = π/2 − t
(углы измеряются в радианах). Следовательно,
M N ≈ AB cos(π/2 − t) = AB · sin t.
Далее, так как хорда AB мала, ее длина приближенно равна длине дуги AB, то есть τ . Следовательно, M N ≈ τ · sin t, и средняя скорость
проекции конца стрелки на участке от M до N приблизительно равна
M N/τ = sin t. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших

23













Рис. 5.4.
приближенных вычислений и тем ближе средняя скорость к sin t. Как
говорят, мгновенная скорость проекции конца стрелки в тот момент,
когда стрелка прошла расстояние t, равна sin t. Точнее говоря, эта мгновенная скорость равна − sin t, так как при возрастании пройденного
расстояния от t до t + τ проекция конца стрелки движется по оси абсцисс в «отрицательном направлении» (от б´
ольших чисел к меньшим).
Говоря по-ученому, производная от функции y = cos t — это функция
y = − sin t.

§ 6. Определение тригонометрических функций
В этом параграфе мы аккуратно сформулируем определения тригонометрических функций.
Для этого введем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале
координат (рис. 6.1а).
Такой чертеж принято называть тригонометрическим кругом
(или тригонометрической окружностью). Точку с координатами
(1; 0), лежащую на этой окружности, будем называть началом
отсчета или точкой ноль (не путайте с началом координат!).
Направление движения против часовой стрелки будем называть
положительным направлением (рис. 6.1б).
Тригонометрическая окружность служит для того, чтобы на24

носить на нее числа. Это делается так. Пусть у нас есть число t.
Начав с начала отсчета, пройдем по тригонометрической окружности путь длиной |t|: если t > 0 — в положительном направлении, если t < 0 — в отрицательном (возможно, нам придется при
этом несколько раз пройти по одному и тому же месту). Точка,
в которой мы остановились, и есть точка на окружности, соответствующая числу t.
По-другому точку на окружности, соответствующую числу t,
можно себе представить как второй конец намотанной на окружность нерастяжимой нити длины |t|, один конец которой закреплен в начале отсчета, или как положение стрелки часов, о которых
мы говорили в предыдущем параграфе, в момент t.
На рис. 6.2 отмечено, какая точка соответствует числу π/2
(длина дуги от 0 до этой точки составляет как раз 1/4 всей длины
окружности, т. е. 2π/4 = π/2). Впрочем, в ту же точку попадут
π
π
π
и числа + 2π, − 2π, + 4π — при движении по окружности
2
2
2
мы сделаем один или несколько лишних кругов, но остановимся
все в той же точке.
Задача 6.1. Нанесите на тригонометрический круг числа 3π/2,
π/4, −π/4, −π/2, −7π/4, −7π/2. Сколько различных точек у вас
получилось?
Задача 6.2. Нанесите на тригонометрическую окружность точки,
соответствующие числам πn/2 для всех целых n. Сколько различ  
 



 




 
 



  

а)

б)

Рис. 6.1. Тригонометрический круг.
25








Рис. 6.2.
ных точек у вас получилось?
Задача 6.3. Выполните задание предыдущей задачи для чисел:
а) −π/4 + πn; б) π/3 + 2πn (n — любое целое число).
Задача 6.4. В какой четверти будет находиться точка тригонометрической окружности, соответствующая числу 1000?
Задача 6.5. Сколько точек получится, если нанести на тригонометрический круг все числа вида 73πn/107, где n — целое число?
Задача 6.6. Каким должно быть число a, чтобы среди точек, соответствующих числам вида 2πan при всех целых n, было бы
конечное число различных?
Задача 6.7. Пусть числу t соответствует на тригонометрической
окружности точка P . Запишите какое-нибудь другое число, которому на тригонометрической окружности соответствуют:
а) та же самая точка P ;
б) точка, симметричная точке P относительно начала координат;
в) точка, симметричная точке P относительно оси абсцисс;
г) точка, симметричная точке P относительно оси ординат;
26

д) точка, симметричная точке P относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Задача 6.8. Как выглядит на тригонометрическом круге множество точек, соответствующих числам из промежутков: а) [0; π/2];
б) [π/2; 2π]; в) (−π; π); г) (2; 9).
Если 0 < t < π/2, то число t на круге будет
расположено так, что отрезок, соединяющий соответствующую точку с началом координат, составит
угол t радиан с осью абсцисс. В самом деле, в этом
случае длина дуги от 0 до t будет как раз равна t
(рис. 6.3).
Теперь все готово для того, чтобы ввести основные определения тригонометрии.




Рис. 6.3.

Определение. Косинусом числа t называется абсцисса точки на
тригонометрическом круге, соответствующей числу t.
Если t — радианная мера острого угла, то косинус этого угла
в нашем прежнем смысле равен косинусу числа t в новом смысле.
Косинус числа t обозначается cos t.
Определение. Синусом числа t называется ордината точки на
тригонометрическом круге, соответствующей числу t.
Если t — радианная мера острого угла, то синус этого угла
в нашем прежнем смысле равен синусу числа t в новом смысле.
Синус числа t обозначается sin t.
Определение. Тангенсом числа t называется отношение синуса
числа t к его косинусу.
Если t — радианная мера острого угла, то тангенс этого угла
в нашем прежнем смысле равен тангенсу числа t в новом смысле
(так как для острых углов верна формула tg t = sin t/ cos t).
Тангенс числа t обозначается tg t.
Определения синуса и косинуса, которые вы сейчас прочитали, — это те же самые определения, что были даны в предыдущем
27

параграфе, только сформулированные более аккуратно. В предыдущем же параграфе было объяснено, почему для острых углов
эти определения согласуются с прежними.
Кроме синуса, косинуса и тангенса используются также и менее употребительные функции котангенс, секанс и косеканс, которые определяются так:
cos t
;
sin t
1
sec t =
;
cos t
1
cosec t =
.
sin t
ctg t =

Теперь, когда мы определили тригонометрические функции
числового аргумента, можно узнать, чему равны тригонометрические функции не только острых, но и прямого и тупых углов:
надо перевести величину угла в радианы и взять синус, косинус
или тангенс от получившегося числа.
Задача 6.9. Заполните пустые места в следующей таблице:
α
0◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦
sin α
cos α
tg α
—
Замечание. В графе для tg 90◦ мы сразу поставили прочерк, так
как, по определению, tg 90◦ = sin 90◦ / cos 90◦ , но cos 90◦ = 0, так
что tg 90◦ не определен.
Задача 6.10. Определите котангенс, секанс и косеканс острых углов с помощью прямоугольных треугольников (аналогично тому,
как мы определяли синус, косинус и тангенс).
Задача 6.11. Одна из вершин правильного шестиугольника, вписанного