Көбейтінді түрінде берілген тригонометриялық функцияларды қосынды немесе айырым түріне келтіру

№ 26 Тақырыбы: Көбейтінді түрінде берілген тригонометриялық функцияларды қосынды немесе
айырым түріне келтіру
Атыханов Талғат Атыханұлы
(асты сызылған курсив сөздердердің орнында оқушы дәптерінде бос орын қалдырылады)
Оң жақ бағандағы
тапсырмаларды
құрастырушы
мұғалімдердің есіне:

І кезең. Мұғалім алғашқы 7-10 минутта: а) ұйымдастыру сәтін өткізеді; б) өткен
тақырып бойынша берілген деңгейлік тапсырмаларды үйде аяқтап орындап келу
дәрежесі тексеріледі; в) төмендегі «Көпір» тапсырмаларын тексереді (алдымен жеке
тексеріп шығады, сосын фронталды тексереді).

«Көпір» (жеке
жұмыс)
тапсырмалары өткен
тақырыптар бойынша
жаңа сабақты
меңгеруге негіз
болатын қайталау
тапсырмалары

Сұрақтаға жауап бер.
1) Қандай тригонометриялық функцияларға қатысты тепе- теңдіктер және формулаларды
білеміз бе?
1)Екі аргументтің синустарының және косинустарының қосу формулаларын жазыңдар:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2) Келтіру формулаларының кестесін тотыр:

sin
cos
tg
ctg

900-

cos
sin

900+

cos
-sin

1800-

sin
-cos

ctg

-ctg

-tg

tg

-tg

-ctg

1800+

-sin
-cos

2700+

-cos
Sin

tg

2700-

-cos
-Sin
ctg

3600-

-sin
cos

3600+

Sin
Cos

-ctg

-tg

tg

ctg

tg

-tg

-ctg

Ctg

ІІ кезең (топтық жұмыс) жаңа сабақты топтық жұмыс барысында оқушылардың өз бетімен меңгеруіне жағдай
жасау:
а) оқушылар төмендегі «Білу», «Түсіну», «Талдау», «Жинақтау» тәсілдеріне сәйкес тапсырмаларын
өздері толтырады (20 минут); ә) жауаптарын мұғаліммен бірге талдайды (25 минут). Нәтижесі ауызша
марапатталады.
1-қадам (топтық жұмыс) 1. Аргументтері әр түрлі синус және косинус функцияларының көбейтіндісінің
формулаларын қорытып шығарайық: қосу формулаларының (3) және (4)
- теория бойынша
формулаларын мүшелеп қосамыз. Сонда
«Білу» критерийінің
индикаторлары:
(
)
(
)
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?
[
(
)
(
)]
қандай?
2. Енді қосу формулаларының (1) мен (2) формулаларын мүшелеп қоссақ, онда
қалай?нені?
(
)
(
)
қашан?не істеді
сияқты сұрақтарға
(
)
(
)
яғни
Осыдан
өрнегін анықтаймыз:
жауап беретін толық
[ (
)
(
)]
ақпарат іріктеліну
керек)
3. Енді қосу формулаларының (1) мен (2) формулаларын мүшелеп азайтсақ, онда
(

)

(
)
(
,яғни

өрнегін анықтаймыз:
2-қадам (топтық жұмыс) теория бойынша «Түсіну»
критерийінің
индикаторлары:
(неге? неліктен? себебі?
не үшін?сұрақтары
оқушының жоғарыда
берген жауаптарына
оларды тереңдету үшін
қойылады)

)
[

(

)

(

)

. Осыдан
(

)]

1. Аргументтері әр түрлі синус және косинус функцияларының көбейтіндісі
(
) осы аргументтердің қосындысы мен айырымының синустарының
)
(
)] тең.
қосындысының жартысына [ (
2. Аргументтері әр түрлі косинус функцияларының көбейтіндісі
(
) осы
аргументтердің қосындысы мен айырымының косинустарының қосындысының
)
(
)] тең.
жартысына [ (
3. Аргументтері әр түрлі синус функцияларының көбейтіндісі (
) осы
аргументтердің айырымы мен қосындысының косинусының айырымының жартысына
[ (
)
(
)] тең.

3-қадам-(топтық
жұмыс)
теория
бойынша «Талдау»
критерийінің
индикаторлары:
1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы
неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз деген
тапсырмалар болу
керек. Немесе 1-3
тапсырмаларды Венн
диаграммасы арқылы
қамтуға болады.
4-қадам-(топтық
жұмыс) теория
бойынша «Жинақтау»
критерийінің
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер,
мазмұнды жүйеле,
кестені,
тірек
сызбаны немесе
сөзжұмбақты толтыр,
немесе өзің құрастыр
тағы с.с. басқа түрдегі
тапсырмалар оқушының
жоғарыдағы
«тақырыптың басты
идеясына» жазған
жауабына қойылады

1. Аргументтері әр түрлі синустар мен косинустардың қосындысын және айырымын
көбейтіндіге жіктеудің мақсаты неде?
Кейбір тригонометриялық тепе – теңдіктерді дәлелдеу және өрнектерді ықшамдау
үшін қажет.
2. Аргументтері әр түрлі синустар мен косинустың қосындысын немесе айырымын
көбейтіндіге қалай келтіруге болады?
Аргументтері әр түрлі синустар мен косинустың қосындысын немесе айырымын
көбейтіндіге келтіру үшін қосу формулаларын қолданамыз.

Аргументтері әр түрлі тангенс және котангенс функцияларының көбейтіндісінің
формулаларын қорытып шығарайық: Сонда,

Оқулықпен жұмыс (5 минут): төмендегі «Қолдану» және оқушының тақырып мазмұнына «Баға беруі»
тәсілдеріне сәйкес, яғни рефлексия жасауға, эссе жазуға арналған, практика жүзінде бекіту тапсырмалары
орындалады . Нәтижесі ауызша марапатталады.
5-қадам - (топтық
sin150 · cos750 көбейтіндісінің мәнін тап.
жұмыс) практикада
1
1
sin 15 0  cos 75 0  sin(15 0  cos 75 0 )  sin(15 0  75 0 )  sin 90 0  sin(60 0 )
бекіту. Практика
2
2
жүзінде «Қолдану»
критерийіне сәйкес
1
3  2 3

 1 
оқулықпен жұмыс
2
2 
4
жүргізу барысында тек
11

5

қарапайым
sin
көбейтіндісінің мәнін тап.
 cos



тапсырмалармен бекіту
жүргізіледі. Дайын
формулалар арқылы
есептер шығару
орындалады

6-қадам (топтық
жұмыс):
«Баға беру» (Сен
қалай ойлайсың? Не
істер едің? деген
тапсырмалар оқушыға
жоғарыда алған білімін
(теория бойынша) және
біліктілігін (практикасы
бойынша) өмірдегі
жағдаяттарды шешуге
бағытталып қойылады

24



24

1 (sin( 11
24
24 2
24
3
2
1 (
1
)=  3 

2 2
2
2
2

sin 11  cos 5 =







5 )+sin( 11  5 ))= 1 (sin 16  sin 6 )= 1 (sin 2  sin  )=
24
24 2
24 24
3
4
2
24

2



3 2
4
Сәйкестендіру

[

(

)

(

)]

[

(

)

(

)]

[

(

)

(

)]

ІІІ кезең (кері байланыс – бағалау кезеңі): Жеке жұмыс. Жоғарыда меңгерген мазмұнды үш деңгейге іріктеп (әр деңгейдің білімділік,
біліктілік, яғни құзыреттілік деңгейін анықтайтын тапсырмалар) оларды біртіндеп орындату арқылы балл жинату барысында оқушының
құзіреттілік деңгейін анықтап, әділ бағалау жүзеге асырылады. Бұл тапсырмаларды оқушылар сабақтың соңына дейін қалған 25 минуттың 22
минутында орындайды + 3 минут қортынды жасалады.
Қалған тапсырмаларлы үйде аяқтап келеді. Қортынды балл саны дәстүрлі бағаға айналдырылып, келесі сабақтың басында сынып
журналына қойылады, мониторингке тіркеледі.

І деңгей (5 балл)
1-қадам – (жеке жұмыс)
теория бойынша «Білу»
критерийінің
индикаторларына сәйкес
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?қандай?
қалай? нені? қашан?не
істеді сияқты сұрақтарға
жауап беретін толық
ақпараттар іріктелініп ІІ
кезеңдегіге қарағанда
керісінше қойылады)
Практикасы:
«ҚОЛДАНУ»
(ІІ кезеңдегіге қарапайым
тапсырмалар үлгісіндегі
тапсырмалар орындалады)

[

(

)

(

)]

[

(

)

(

)]

[

(

)

(

)]

№123. Көбейтіндіні қосындыға түрлендір:
(
); b) (
)
(
a)
№ 124. Тепе – теңдікті дәлелде:
a)

;

); c)
(

b)

; d)
)

(

)

1-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық өлшемі): – «дұрыс», «толық» деген
білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының бұл алғашқы қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл =
«сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім деңгейінің өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере
алмаса.
1-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Түсіну»
критерийінің
индикаторларына (неге?
неліктен? себебі? не
үшін?) сәйкес
сұрақтар оқушының
жоғарыда берген
жауаптарына оларды
тереңдету үшін қойылады.

2-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторларына сәйкес

(1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы
неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз) деген
тапсырмалар болу
керек. Немесе 1-3
тапсырмаларды Венн
диаграммасы арқылы
қамтуға болады.

ІІ деңгей (5 балл + 4 балл = 9 балл)
1. Аргументтердің қосындысы мен айырымының синустарының қосындысының жартысы
[ (
)
(
)] осы aргументтердің әр түрлі синус және косинус
функцияларының көбейтіндісіне (
) тең.
2. Аргументтердің қосындысы мен айырымының косинустарының қосындысының
[ (
)
(
)] осы аргументтердің әр түрлі косинус
жартысы
функцияларының көбейтіндісіне
(
) тең.
3. Аргументтердің айырымы мен қосындысының косинусының айырымының жартысы
[ (
)
(
)] осы аргументтердің әр түрлі синус функцияларының
көбейтіндісіне (
) тең.
Көбейтінді түрінде берілген тригонометриялық функцияларды қосынды немесе
айырым түріне келтіру
Аргументтері әр түрлі синус және
косинус функцияларының көбейтіндісі
осы аргументтердің қосындысы мен
айырымының
синустарының
қосындысының жартысына тең.

Аргументтері
әр
түрлі
косинус
функцияларының көбейтіндісі
осы
аргументтердің
қосындысы
мен
айырымының
косинустарының
қосындысының жартысына тең.

Аргументтері әр түрлі синус функцияларының көбейтіндісі
осы
аргументтердің айырымы мен қосындысының косинусының айырымының
жартысына тең.

????????

[ ??(?

?)

??(?

???? ????

[???(?

???? ????

?)]

[???(?

?)

???(?

?)]

?)

???(?

?)]

3-қадам (жеке жұмыс):
Практика жүзінде
«ҚОЛДАНУ»
критерийіне сәйкес
(ІІ кезеңдегіге 5-қадам
қарапайым тапсырмалар
үлгісіндегі
тапсырмалардың
өзгертілген жағдайдағы
нұсқасы орындалады)

№ 125. Өрнекті ықшамда
1  4 sin 10 sin 70

a) (1  sin  )(1  sin  ) ; b)
.
2 sin 10
cos 
№ 126. Көбейтіндіні қосындыға түрлендір:
a)
(
)
(
); b)
(
)

(

);

(

c)

)

(

).

2-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық
өлшемі): – «дұрыс», «толық» деген білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының
бұл алғашқы қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл = «сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім
деңгейінің өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере алмаса.
1-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Жинақтау»
критерийінің қорытынды
шығаруға бағытталған
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер, мазмұнды
жүйеле, кестені, тірек
сызбаны, сөзжұмбақты
толтыр немесе өзің
құрастыр тағы с.с. басқа
түрдегі тапсырмалар
оқушының жоғарыдағы
«тақырыптың басты
идеясына» жазған
жауабына қойылады.
ІІ-кезең, 4-қадамда
«жинақтауға» берілген
тапсырма басқа формада
беріліп, баланың білім
деңгейі бағаланады.

ІІІ деңгей (9 балл + 3 балл = 12 балл)
1. Өрнектің мәнін есепте: cos65°+cos55°
A) 1 B) 0 C)
D)
E)
2. Өрнектің мәнін есепте: sin(α-2n/3)-sin(α+2n/3)
A) 1

B) 0

C)

√

D) -1

3. Өрнектің мәнін есепте
A)

B) 0

C)

√

√

E)

2 sin 22,5 cos 22,5

D) -1

4. Өрнектің мәнін есепте: sin

√

E)





cos

12
A) 0,5 B) -0,5
C) 0,75 D) 0,3
E) 0,25
ctg
2

ctg
4

ctg
6

...
ctg
88

5. Ықшамда:
A)

√

B) 0

D) -

C) 1

12

√

E)

0

6. Қосынды түріне келтір: sin75 sin15
A) 0,25

B) 0

C)

√

√

0

D) -1

E) -

√

7. Қосынды түріне келтіріңіз: cos40°cos20°
A) 1

2-қадам (жеке жұмыс):
«Баға беру» (Сен қалай
ойлайсың? Не істер едің? деген
тапсырмалар оқушыға жоғарыда
алған білімін (теория бойынша)
және біліктілігін (практикасы
бойынша) өмірдегі жағдаяттарды
шешуге қолдана алу дәрежесі
бағаланады.

B) 0

C)

√

D)

√

E)

№ 127. Тепе – теңдікті дәлелде:
a)
b)
c)

;
;

d)

3-нәтиже:
Үшінші деңгейдің нәтижесі (түбегейлі көзделген нәтиже): алғашқы екі деңгейде жинаған 9 баллға + 3 балл =12
балл = «5» журналға қойылады. Оқушының білім сапасы білім стандарты көлемінде «дұрыс», «толық»,
«әрекеттілік» пен «тереңділік»-ке «жүйелілік» пен «саналылық» қосылып, барлығының жиынтығы «берік» білім
болып саналады (Ю.К. Бабанский).