Комбинаторикалық теңдеулер мен теңсіздіктерді дәлелдеу

Явмутбаева. Ж. С

E-mail: yavmutbayeva@bk.ru

Кілттік сөздер: комбинаторика, орналастыру, алмастыру, теру.

Keywords: combinatorics, accommodation, permutation, combinations.

Түйіндеме: Осы мақалада комбинаторикалық теңдеулер мен теңсіздіктердің дәлелдеуін қараймыз. Соның ішінде комбинаториканың негізгі ұғымдарын, парларын, орналстыруларын, алмастыруларын және де терулерін қарастырамыз.

Комбинаторикалық теңдеулер мен теңсіздіктерді дәлелдеу

“Қосылыс” сөзі – грек тілінде “комбинаторика”. Ал, ғылым саласында комбинаторика – математика тарауларының бірі. Қосылыс – шекті жиын элементтерінің түрлі қосылыстары, басқаша айтқанда, әр қилы конфигурациялары қарастырылып, олардың сандары саналады және де есептеледі. Біз бірқатар қосылыстарды анықтап , олардың комбинаторикалық теңдеулер мен теңсіздіктерін есептеуге қолдану тәсілдерін көрсетеміз .

Парлар . Элементтерінің саны және болатын екі мен жиыны берiлсiн алып. Олардан бір - бір элемент алып жасалған түрiндегi қосылысты пар деп атайды, мұндағы - дiң бiрiншi орында, - дiң екiншi орында тұруы міндетті.

Теорема. А мен В жиындарының элементтерінен жасалган барлық парлардың саны көбейтiндiсiне тең.

Мысал. Екі ойын сүйегін лақтырғанда, барлық жағдайлар саны канша ?

Екі ойын сүйегін лақтырғанда бірінші сүйекте түскен ұпай екінші сүйекте түскен ұпай болсын. Сонда тәжірбиенің нәтижесі парлары болады, мұндағы де, де 1,2,3,4,5,6 мәндерінің бірін қабылдайды. Демек, барлық жағдайлардың саны парлардың принципі бойынша .

Бір - бірлеп жасалған қосылыстар. Бұл қосылыс - парлардың жалпыланған түрі : элементтен тұратын жиыны , элементтен тұратын жиыны, сол сияқты, элементтен тұратын жиыны берілсін. Әр жиыннан бір - бірлеп элемент алып түріндегі қосылыс жасалық, мұндағы элементтердің жазылу реті осындай болуы міндетті.

Теорема. Жоғарыда көрсетілген жиындардан бір - бірлеп жасалған қосылыстар саны көбейтіндісіне тең .

Мысал. Алматы қаласындағы нөмірі 91 санынан басталатын барлык телефондар саны қанша болуы мүмкін ?

Шешуі . Алматы қаласында телефон нөмірі - алты орынды сан . Есеп шартында телефон нөмiрi 91 - ден басталған . Осындай бір телефон нөмірін түрінде жазуға болады , мұндағы — цифрлар . Бір - бірлеп алынған қосылыстар теоремасы бойынша ізделінді санды тапсак : .

Орналастырулар . элементтен тұратын жиынын “ бас жиын " деп атауға келіселік . Бас жиыннан бір - бірлеп элемент алып , қосылысын жасалық. Осындай қосылысты бойынша - дан жасалған орналастыру деп айтады . Ал элементтен тұратын бас жиынынан бір-бірлеп элемент алынсын: , бірақ әрбір алынған элемент, тіркелгеннен кейін, бас жиынға кері қайтарылатын болсын. Осындай қосылысты бойынша -дан жасалған қайталамалы орналастыру деп айтады. Орналастырулар санын деп белгілейміз, ал қайталамалы орналастырулар санын деп белгілейміз.

Теорема. бойынша -дан жасалған орналастырулар саны мына формуламен есептеледі:

.

осы формуланы дәлелдеу үшін элементтен тұратын бас жиыннан элементті алып, содан кейін бір-бірлеп жасалған қосылыстардың саны туралы теореманы қолданса жеткілікті.

Ал қайталамалы орналастыру үшін мына формула орынды:

.

осы формуланы дәлелдеу жолы орналастыру формуласын дәлелдеумен бірдей, бірақ мұнда бас жиыннан алынған элемент тіркеліп , содан кейін кері қайтарылуы керек.

Мысалдар.

1.Теңдеуді шешіңіз: ,

Жауабы:

Алмастырулар. элементі бар бас жиынының барлық элементтері қатысқан орналастыруларды -нен жасалған алмастырулар деп атайды. Алмастырулар санын деп белгілесек:

мұндағы таңбасы “эн факториал” деп оқылады.

Мысалдар.

1. Теңдігін дәлелдеңіз: .

Біз формулаларды қолданамыз және бұдан аламыз:

Қысқартамыз -ге:

Терулер. элементтен тұратын бас жиынның элементтен тұратын ішкі жиынын бойынша -дан жасалған теру деп айтады. Барлық терулер санын деп белгілейді, формуласы:

Мысалдар.

1. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі.

_{Жауабы:}

_{2. теңсіздігін шешіңіз.}

_{Жауабы:}

_{Қорытынды:}

_{Математика - оқушының дұрыс ойлау қабілетін қалыптастырады, дамытады және оны шыңдай түседі, бұдан басқа, өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек беретіндігін ескере отырып, жоғарыда көрсетілген есептер оқушының пәнге деген қызығушылығын арттырады деп қорытындылай аламын. Білімге, шапшаңдыққа үйрететінін атап көрсетуге болады. Математикадағы комбинаторика көптеген логикалық есептерді оңай жолдармен шешеді, есептерді шешуде және олардың шығару жолдарын адам есіне лезде сақтап қалу үшін де көмектеседі.}

_{Пайдаланылған әдибеттер тізімі:}

1. Жаңбырбаев Б.С.,  Жаңбырбаева  Ү.Б.    Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика. Оқу құралы. – Қарағанды; “Рисала” баспасы 2006. -280 бет.

2. Жаңбырбаев Б.С.    Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Оқу құралы. – Алматы; “Мектеп” баспасы 1988. -184 бет.