Сагимбоева Ж. Н.

М. Х. Дулати атындағы Тараз өңірлік университеті

«Жаратылыстану ғылымдары» факультеті

«Математика мұғалімдерін даярлау» мамандығының

4-курс студенті

Тараз қ.

jibeksagymbaeva2003@gmail.com

Чанбаева А. И.

М. Х. Дулати атындағы Тараз университеті

PhD доктор

Тараз қ.

ai.chanbayeva@dulaty.kz

Тақырыбы: «Комплекс сандар өрісіндегі параметрі бар есептерді шешу»

Аннотация: Бұл мақалада комплекс сандар өрісіндегі параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің ерекшеліктері қарастырылады. Параметрлік есептерді зерттеу әдістері, оның ішінде аналитикалық тәсілдер талданады. Математика мен физиканың әртүрлі салаларында комплекс сандарды қолдануға ерекше көңіл бөлінеді. Параметрлері бар есептердің мысалдары және оларды шешу жолдары келтірілген. Параметрлік есептер контекстінде аналитикалық функциялардың ерекшеліктері және олардың қатарға кеңеюі қарастырылады.

Комплекс сандардың алгебралық, тригонометриялық және көрсеткіштік түрлері

Комплекс сандар нақты сандар жиынының жалғасы болып табылады және әрбір комплекс сан әртүрлі формаларда – алгебралық, тригонометриялық және көрсеткіштік түрде көрсетілуі мүмкін. Бұл формалардың әрқайсысы белгілі бір контексттерде пайдалы: қосу және алу үшін алгебралық, көбейту, бөлу, дәрежеге шығару және түбір алу үшін тригонометриялық және көрсеткіштік формалар.

Алгебралық форма

Алгебралық форма - комплекс санның келесі түрдегі көрінісі:

Мұндағы:

• — нақты бөлігі,

• — ойдан шығарылған бөлік,

• — теңдігін қанағаттандыратын жорамал бірлік.

Мысал 1.1.1

Бұл формада комплекс сандарға қосу және азайту амалдарын орындау оңай:

Тригонометриялық форма

Комплекс санды оның модулі мен аргументі арқылы да ұсынуға болады. комплекс сан үшін модуль және аргумент келесідей анықталады:

• Модуль:

• Аргумент:

Комплекс жазықтықта бастапқы басында және нүктесінде аяқталатын вектор ретінде түсіндірілуі мүмкін.

Сонда комплекс санды жазудың тригонометриялық түрі:

Мысал 1.1.2

деп қарастырайық

•

•

Сонда:

Тригонометриялық форманың артықшылықтары:

• Көбейту:

болса, онда:

• Бөлу:

• Күшті көтеру және түбірді алу Муавр формуласы арқылы ыңғайлы түрде жүзеге асырылады:

Көрсеткіштік форма

Көрсеткіштік форма Эйлердің әйгілі формуласына негізделген:

Сәйкесінше тригонометриялық түрін былай жазуға болады:

Бұл форма периодтық процестерді талдауда, дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде, сигналдар теориясы мен кванттық механикада ыңғайлы.

Мысал 1.1.3

болсын. Содан кейін:

Экспоненциалды түрдегі амалдар:

• Көбейту:

• Бөлу:

• Дәрежеге шығару:

• Түбір алу:

Кесте 1.1.1 – Формаларды салыстыру

Осылайша, комплекс сандардың әр түрі олардың табиғатының әртүрлі аспектілерін ашады және математиканың әртүрлі салаларында пайдалы. Осы формалар арасында еркін қозғала білу және оларды дұрыс контексте қолдана білу комплекс сандармен есептер шығару мен оқудағы негізгі дағдылардың бірі болып табылады.

Параметрі бар алгебралық теңдеулер

Параметрлері бар теңдеулерді шешу математикалық талдау мен алгебраның маңызды элементі болып табылады. Күрделі коэффициенттер болған жағдайда есеп өрнектердің нақты және жорамал бөліктерін талдаумен, комплекс сандардың геометриялық көрінісімен, сонымен қатар күрделі конъюгация ерекшеліктерімен байланысты қосымша тереңдікке ие болады.

Параметрлер нақты немесе комплекс сандар болуы мүмкін. Мұндай есептерде теңдеудің шешімін табу ғана емес, сонымен қатар келесі параметрлердің мәндерін анықтау қажет:

• теңдеудің шешімдері бар;

• шешімдер санының өзгеруі;

• түбірлер қосымша шарттарды қанағаттандырады (мысалы, бірлік шеңберде жатады, нақты, сәйкес келеді және т.б.).

Күрделі параметрлері бар сызықтық және квадрат теңдеулер

Сызықтық теңдеулер

Пішіннің сызықтық теңдеуін қарастырайық:

мұндағы — параметрлер және — айнымалы.

Мұндай теңдеудің шешімі бар және бірегей болып табылады, егер коэффициенті нөлге тең болмаса, яғни . Бұл жағдайда:

Нәтижені жеңілдету үшін алым мен бөлгіш жиі бөлгіштің конъюгатына көбейтіледі:

Бұл шешімнің нақты және жорамал бөліктерін айқын көрсетуге мүмкіндік береді.

Мысал 2.1.1

теңдеуі берілген параметрдің барлық мәндерін табыңыз

шартын қанағаттандыратын шешімі бар.

Шешімі:

Демек:

Бұл комплекс саны радиусы бар шеңберде жатқанын білдіреді, яғни . Сондықтан центрі нүктесінде және радиусы бар шеңберді сипаттайды.

Мысал 2.1.2.

Белгілі бір параметр мәні үшін бірнеше түбірлер

Теңдеуді қарастырайық:

Дискриминантты табайық:

Дискриминант параметріне тәуелді емес – ол нақты доменде әрқашан теріс болады. Сондықтан теңдеудің әрқашан сәйкес келмейтін екі күрделі түбірі болады ( болғандықтан). Бұл кейде параметр түбірлердің көптігіне әсер етпейтінін, бірақ олардың нақты мәнін ғана көрсетеді.

Мысал 2.1.5. Комплекс санның квадрат түбірін шығару

Теңдеуді шешейік:

Мұндағы:

• ,

• ,

• .

Дискриминант:

Есептеп көрейік:

Енді табайық. Санды тригонометриялық түрде көрсетейік:

Сонда түбірлер:

Қорытынды

Комплекс сандар саласындағы параметрлері бар есептерді шешу теориялық негіздерін терең түсінуді және талдаудың әртүрлі әдістерін қолдана білуді талап етеді. Аналитикалық әдістерді қолдану шешімдердің параметрлерге тәуелділігін тиімді зерттеуге мүмкіндік береді. Комплекс сандарды ғылымның әртүрлі салаларында қолдану олардың маңыздылығы мен өзектілігін көрсетеді.