Конустық бет

Конустық бет

Берілген В сызығын қиып өткен және белгілі бір Р нүктеден өтетін түзуден тұратын бетті конустық бет дейді. Берілген В түзуін конустық беттік бағыттауышы, ал Р нүктені оның төбесі, ал бетті құрайтын түзулерді оның жасаушылары дейді.

+ - =0 (1)

болады.Бұл беттің төбесі координатадағы схемасының симметрия осіне ұқсас.

- + =0; - + + =0 (2)

Конус төбесінің координаталар сақинасының бас нүктесінде симметрия ға сәйкес және о осьтері болады.

25

=0 конусы у=2 жазықтығымен қалай қиылысады?

Шешуі: Конустың теңдеуіндегі у-тың орнына у=2 жазықтығының теңдеуін қойсақ

=0 немесе - =1 теңдеуі алынады.

Бұл теңдеу у=2 теңдеуімен алынған жазықтығында жататын гипербола түзеді. Бұл гиперболаның нақты осі Р осына параллель , ал жартылай осі ох осіне параллель болып табылады.

Демек, =0 конусы у=2 жазықтығымен жартылай бойынша қиылысады.

26

№2. Конустың бағыттаушы теңдеуі, элементтің теңдеуімен + =1, =3 анықталады және төбесі В (0;0,1) нүктесінде орналасқан конустың бетінің теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: Конустың АВ құраушысының координаталарынтабайық. Мұнда В (0;0,1) және А (х, у, нүктесіндегі өлшемінің нүктелері болады. СондықтанАВ жасауышының теңдеуі

=

Сондай-ақ А нүктесі эллипсте жататындықтан, оның координаталарының осі эллипстің теңдеуін қанағаттандырады, яғни

+ ₀ 27

Конустық осьтің төбесі координаталары сақинасының осьтерінде және жазықтығында болады.

(1)

Осьінің сақиналарымен бағытталған. Конустық беттін теңдеуін құрыңдар.

Шешуі: Конустық беттің жасаушысының 0(0,0,0) нүктесінен өтетін және (х, у, арасынан өтетін бағыттауышының теңдеуі

- (2)

болады. Енді (1), (2) теңдеуден х пен у – ті тапсақ, онда

х у

Осы табылған х пен у-ті (1)-ге қоссақ,

+ * немесе *

Демек, алынған теңдеу екінші ретті конустық бетті анықтайды. 29

№5 Конустың беттерінің координаталарының сферасы жанама болады және координаталар системасында бас нүктесінен өтеді. Осы конустық беттің теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: Конустық беттің жасаушысы

*

теңдеулерімен анықталады. Мұнда m мен n параметрлері жасаушылары мен сферасының жанамалығын анықтау қажет. Бұл шарт, жасаушы мен сфералары-ның теңдеулерін қосып шыққан кезде, квадрат теңдеуге алып келеді, яғни

( - +( + + ²

( +1) -2(

Сонда осы теңдеудің дискриминантты

D ( - -16( +1)

Нольге тең болуы тиіс. Соңғы шарттардан және m мен n параметрлерінің теңдеулерінен, конустық беттің (у- -10 =0 теңдеуі алынады.

Демек, (х- +(у+ + =16 сферасына жанама болатын коррдинаталар сақинасының бас нүктесінен өтетін жанама теңдеу (у- -10 =0 болады. 30

Төбедегі координаталар сақинасының бас нүктесінде және бағыттауышында ; =с болатын конустың теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: Конустық беттің жасаушысы 0(0,0,0) нүктесінде және нүктесінен өтетін бағыттауышысі (х, у, нүктесінен өтетін теңдеу

(1)

түрінде жазылады. Бұл теңдеуден

; немесе х , у

Табылған мәндерді (1)-ге қоссақ, онда

+ немесе - .

Демек, конустың теңдеуі - болады.

31

Енді Х_0, У_{0, 0} нүктелері эллипсте жатқандықтан,

, ,

теңдеулерінде келтірілген теңдіктерді қанағаттандырады.Сондықтан

-

Демек, конустың теңдеуі - түрінде жазылады.

х²+у²-2 ² теңдеуімен берілген конус, у жазықтықпен қандай бет бойында қиылысады?

Шешуі: Берілген х²+у²-2 ² у теңдеулерден х²+у² немесе =1

теңдеуі алынады. Сондықтан, у жазықтығында жатқан нақты осі О осіне параллель және ижорымал осі ОХ осіне параллель болатын гиперболаны анықтайды.

Демек, үйлесімді қиылысу сызығы, у жазықтығында жататын гипербола болады.