Көпмүшеліктерінің барлық түбірлерінің нақты бөліктерінің теріс болуы

Диференциялдық теңдеулер жүйелерінің кең жиыны шешімдерін орнықтылыққа зерттегенде сипаттамалық теңдеуінің нақты бөліктерінің таңбалары қаралатынын байқадық.

Егер сипаттамалық теңдеу жоғары дәрежелі болса, онда оны шешпей-ақ, түбірлерінің барлығының нақты бөліктері теріс таңбалы болатындығына көз жеткізуге болатын әдістердің орны ерекше.

Гурвиц теоремасы. Коэффиценттері нақты көпмүшеліктің

барлық түбірлерінің нақты бөліктері теріс таңбалы болу үшін, Гурвиц матрицасының бас диоганалдық барлық минорларының оң таңбалы болуы қажетті және жеткілікті.

Гурвиц матрицасының бас диоганалында көпмүшелік коэффиценттері орналасқан. Бағандары алма-кезек тек тақ немесе жұп коэффиценттерден, деп формуласымен құрылады. Барлық жетпейтін, яғни индекстері n- нен төмен немесе жоғары коэфиценттері 0- мен толтырлады.

Гурвиц матрицасының бас диоганалдық минорлары

Гурвиц шарты бойынша онда теңдігінен соңғы шарт болуы талабымен анықталады.

Гурвиц теоремасының екінші, үшінші, төртінші дәрежелі көпмүшелікткрге қолданылуын қарастырайық.

а) , Гурвиц матрицасы .

Гурвиц шарттары , келтіреді. Сипаттамалық көпмүшелігі нүктесінің асимптотикалық орнықты аумағы 13-суреттегі бірінші ширек екендігіне көз жеткіздік.

ә) .

Гурвиц матрицасы , онда болуы керек. Коэффиценттер кеңістігінде бұл теңсіздіктер аумағы 14-суретте көрсетілген

б)

Гурвиц матрицасы ,

Гурвиц шарттары

.

Қарастырылған көпмүшеліктер үшін Гурвиц шарттары ыңғайлы, ал жоғарғы ретті көпмүшеліктер үшін қолйсыз. Көпмүшеліктер түбірлерінің нақты бөліктерінің теріс таңбалы болуының басқада белгілері қолданылады.

4-мысал. Жүйенің

нөлді шешімі a, b параметірлерінің қандай мәндерінде орнықты?

Шешуі. Жүйенің бірінші жуықтау жүйесі:

ал бұл жүйенің сипаттамалық теңдеуі , сипаттамалық көпмүшелігі . Онда Гурвиц шарттарынан , берілген теңдеулер жүйесі мәндерінде асимптотикалық орнықты дейміз.