Квадрат теңдеуді шешудің тиімді тәсілдері

Квадрат теңдеуді шешудің тиімді тәсілдері

М.Х.Дулати атындағы Тараз университетінің 4 курс студенті

Ибайханов Шамшет

Кілт сөздер: квадрат теңдеу, формула, дискриминант, график, нүкте, симметрия, коэффициент, Вьет теоремасы.

Квадрат теңдеулер – математиканың маңызды бөліктерінің бірі. Олар түрлі ғылым салаларында, инженерияда, экономикада және күнделікті өмірде жиі кездеседі. Квадрат теңдеу – бұл математиканың маңызды бөліктерінің бірі, әрі оның шешу әдістері әртүрлі. Квадрат теңдеулерді шешудің бірнеше тиімді әдістері бар және олардың әрқайсысының өзіндік артықшылықтары бар. Дискриминант формуласы стандартты және ыңғайлы әдіс болып табылады, ал факторизация, графикалық әдіс және толық квадратқа келтіру белгілі бір жағдайларда тиімді. Математикалық есептерді шешуде әртүрлі әдістерді қолдану білім мен дағдыларды тереңдетуге мүмкіндік береді.

Квадрат теңдеудің жалпы формасы мынадай:

. Квадрат теңдеуді шешудің бірнеше тиімді тәсілдері бар, оларды төменде қарастырамыз.

1. Формула арқылы шешу

Квадрат теңдеуді шешудің ең кең таралған тәсілі – дискриминант формуласы. Дискриминант мына формуламен анықтаймыз:

.

Дискриминанттың мәніне байланысты теңдеудің шешімдері мынандай болады:

• Егер болса, теңдеудің екі нақты шешімі бар:

• Егер болса, теңдеудің бір нақты шешімі бар:

• Егер болса, теңдеу нақты шешімдерге ие емес.

2. Факторизация

Квадрат теңдеуді факторизациялау – теңдеуді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешу әдісі. Егер квадрат теңдеудің коэффициенттері мен мүшелері оңай факторланатын болса, онда теңдеуді шешу әлдеқайда жеңіл болады.

Мысалы,

теңдеуін факторизациялайық:

Мұндағы шешімдер:

3. Графикалық тәсіл

Графикалық тәсіл квадрат теңдеудің шешімдерін визуалды түрде анықтауға мүмкіндік береді. Теңдеудің графигі формасында парабола болып табылады. Шешімдер -осімен қиылысу нүктелері.

• Екі қиылысу нүктесі: Теңдеудің екі нақты шешімі бар.

• Бір қиылысу нүктесі: Теңдеудің бір нақты шешімі бар.

• Қиылысу болмаса: Теңдеу нақты шешімдерге ие емес.

Мысалы,

Егер графикті сызсақ, параболасы y-осінен (−2,0) және (2,0) нүктелерінде қиылысады.

Шешімдер:

және .

4.Толық квадрат теңдеуге келтіру формуласы

Квадрат теңдеуді шешудің тағы бір тәсілі – оны толық квадрат формасына келтіру. Бұл әдіс, әсіресе теңдеудің коэффициенттері оңай болғанда тиімді.

Мысалы,

теңдеуін толық квадрат формасына келтіреміз:

Шешімдер:

және

5.Симметриялық әдіс

Квадрат теңдеулерді шешудің бір тәсілі болып табылады, ол теңдеудің коэффициенттеріндегі белгілі бір симметрияларды пайдалану арқылы шешімдер табуға мүмкіндік береді. Бұл әдіс, әсіресе, теңдеудің коэффициенттері симметриялы болғанда тиімді.Симметриялық әдісті қолдану үшін теңдеудің құрылымын, әсіресе, оның коэффициенттерін және мүшелерінің қатынасын талдау қажет.

1. Коэффициенттерді талдау

Егер квадрат теңдеудің коэффициенттері симметриялы болса, яғни, болған жағдайда, теңдеудің шешімдері бірдей болады. Мұндай жағдайда теңдеудің бір шешімі болады.

Симметриялы шешімдер

Егер квадрат теңдеудің екі симметриялы шешімі болса, онда олар үшін: Теңдеуді мына түрге келтіреміз және параметрлерін табамыз

p және q. x=p+r және x=p−r түрінде шешімдерді белгілеңіз.

Мысалы,

1. Дискриминантты есептеу:

, демек екі шешімі бар.

2. Шешімдерді табу:

Шешімдер:

және

Симметриялық әдіс квадрат теңдеулерді шешудің тиімді жолдарының бірі. Ол теңдеудің коэффициенттеріндегі симметрияларды пайдаланып, шешімдер табуға мүмкіндік береді. Бұл әдіс қарапайым есептерде өте тиімді және тиімділігін арттыру үшін әртүрлі теңдеулерде қолдануға болады.

5. Вьет теорамасы

түбірлердің қосындысы:

​

түбірлердің көбейтіндісі:

Мысал,

Теңдеуді шешейік:

Коэффициенттер:

• a=2

• b=−4

• c=2

Түбірлердің қосындысы:

Түбірлердің көбейтіндісі:

Түбірлерді нақты табу:

Дискриминантты есептейік:

Дискриминант нөлге тең, демек, бір түбір бар:

Түбірлер:

Тексеру:

Квадрат теңдеулер математикадан бөлек салаларда:

Физика: Квадрат теңдеулер механикада, электротехникада және термодинамикада қолданылады. Мысалы, еркін түсу қозғалысында дененің биіктігін немесе уақытын анықтауда.

Экономика: Квадрат теңдеулер экономикалық модельдерде, мысалы, табыс және шығын функцияларын анықтауда немесе максимизациялау және минимизациялау проблемаларында қолданылады.

Инженерия: Квадрат теңдеулер құрылымдық анализде, динамикада және материалдар механикасында есептеулер жүргізу үшін пайдаланылады.

Геометрия: Квадрат теңдеулер координаттық жазықтықта фигуралардың (мысалы, шеңберлердің) теңдеулерін анықтау үшін қолданылады.

Компьютерлік ғылым: Алгоритмдер мен модельдерде, әсіресе графикалық өңдеу мен компьютерлік симуляциялар кезінде квадрат теңдеулер жиі кездеседі.

Статистика: Регрессиялық талдау кезінде, әсіресе квадраттық регрессияда, деректерді модельдеуге пайдаланылады.

Қорыта айтқанда квадрат теңдеулерді шешудің бірнеше тиімді әдістері бар және олардың әрқайсысының өзіндік артықшылықтары бар. Дискриминант формуласы стандартты және ыңғайлы әдіс болып табылады, ал факторизация, графикалық әдіс және толық квадратқа келтіру белгілі бір жағдайларда тиімді. Математикалық есептерді шешуде әртүрлі әдістерді қолдану білім мен дағдыларды тереңдетуге мүмкіндік береді.

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. "Математика" (автор: Р. М. Түктібаев) — 10-11 сыныптар үшін;

2. "Математиканың негіздері" (автор: Б. А. Мусин)

3. "Математика" (автор: Ж. М. Маханбетова)

4. Решебник (гдз) алгебра бойынша 10 (оныншы) сынып авторлары: Әбілқасымова, Жұмағұлова Мектеп баспасы, 2019 жыл.

5. Ә.Н.Шыныбеков, Д.Ә.Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев. Алгебра 8-сынып, 2018