Дайындаған: Маңғыстау облысы, Ақтау қаласы«№18 жалпы білім беретін мектеп» КММ-нің математика пәні мұғалімі - Көшербаева Нұрсая Базарбекқызы

Тaқыpыбы: «Математиканың бастапқы курсындағы комбинаторика»

MAЗМҰНЫ

KIPICПE.......................................................................................................................3-4

I. КОМБИНАТОРИКАНЫҢ ҰҒЫМЫ МЕН БӨЛІМДЕРІ

1.1 Комбинаторика туралы түсінік.............................................................................5-7

1.2 Алмастырулар мен терулер...................................................................................8-9

1.3 Орналастырулар.......................................................................................................10

II. КОМБИНАТОРИКАНЫҢ САЛАЛАРМЕН БАЙЛАНЫСЫ ЖӘНЕ ЕСЕПТЕРДЕ ҚОЛДАНЫЛУЫ

2.1 Комбинаторика математиканың басқа салаларында...........................……...11-14

2.2 Қосынды ережесі мен көбейтінді ережесі.......................................................15-16

2.3 Комбинаторикаға байланысты мысалдар мен оны шығару жолдары..........17-20

ҚOPЫТЫНДЫ.......................................................................................................21-22

ӘДEБИEТТEP..............................................................................................................23

KIPICПE

Курстық жұмыстың өзектілігі: Айналамызға көз жүгіртер болсаңыз әлемдегі кез келген нәрсенің немесе заттардың әртүрлі орналасуларын көретініміз белгілі. Адамға іс жүзінде (практикада) осы нәрселердің бәрінің орналасуының барлық жағдайларын есептеуге немесе оны орындауға қажетті мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келері анық. Мысалы, айталық 9 алманы 2 балаға неше түрлі тәсілмен үйлестіріп беруге болады немесе волейболдан жартылай финалға шыққан 5 топтың арасында алтынды, күмісті, қола медальдарды неше тәсілмен иемденетінін анықтау керек және тағы сол сияқты өмірде кездесетін жағдайлар бар. Мұндай жағдайлар кездескенде заттардың орналасуының немесе іс-әрекеттің комбинациялары қарастырылады. Сондай жағдайларда біз заттардың орналасуының комбинацияларын оңай есептей білуіміз керек.

Курстық жұмыстың мақсаты: әлдеқайда қиын есептерді шешуде логиканы және әртүрлі оңай әдістерді қолдану.

Курстық жұмыстың міндеті: Комбинаторлық есептерді шешуде дұрыс тәсілді қолдануды, бірнеше элементтердің комбинациясын санауды зерттеу; Ықтималдық теория бөліміндегі элементар оқиғалардың сандарын комбинаториканың формулалары арқылы есептеуді зерттеу; Ықтималдықтар теориясындағы оқиға ықтималдылығының классикалық анықтамасы бойынша есептер шығaруды зерттеу;

Курстық жұмыстың құндылығы: Комбинаторикалық есептермен адамдар әуел бастан-ақ таныс болған. Оған дәлел ретінде бірнеше мың жыл бұрын Ежелгі Қытай жерінде кең таралған сиқырлы шаршылардың құрастырылуын, дойбы, домино ойындарын айта аламыз. Математиканың комбинаторика бөлігі арқылы ойындарды ойнай отырып, есеп шығаруға, логикалық ойлау қабілеттерін дамытуға болады.

Курстық жұмыстың теориялық маңыздылығы: “Математика-барлық ғылымдардың патшасы” демекші бұл ғылым ізденушілікті, шапшаңдықты талап етеді. Қазіргі кезде бәріміз білетіндей, комбинаторикалық есептер емтихандарда, ҰБТ есептерінде де кездесіп жатады. Сондықтанда, мұндай есептерді шығару балалардың дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады. Оған қоса, комбинаторика басқа да салалармен байланысты болғандықтан, өзге салаларды дұрыс қабылдауға көмек береді.

Курстық жұмыстың құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, 2 бөлімнен, қорытынды бөлімнен және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспе бөлімінде курстық жұмыстың өзектілігі, мақсаты мен міндеті, зерттеу болжамы, құндылығы мен теориялық маңыздылығы және зерттеу әдістері қарастырылады. “Комбинаториканың ұғымы мен бөлімдері” бөлімінде комбинаториканың пайда болуы, оның элементтері, комбинаториканың бөлімдерінің математикалық формуласы туралы қарастырылады. Келесі бөлімінде комбинаториканың математиканың басқа салаларымен байланысы, сонымен қатар, комбинаторикалық есептерді шешудегі қосынды мен көбейтінді ережесінің қолданылуы және де өмірде кездесетін жағдайларға байланысты комбинаторлық есептердің мысалдарына есептер шығарылып қарастырылған.

Курстық жұмыстың зерттеу пәні - Ғылыми зерттеу/жобалық жұмыстарды ұйымдастырудың әдіснамасы

Курстық жұмыстың әдістері: тақырыпты зерттеу барысында әдебиеттерге, басылымдарға талдау жасау, әр түрлі тренинг әдістерін қолдану, педагогикалық эксперимент өткізу (кубик рубика, тоғызқұмалақ, шахмат, футбол ойындары,т.б. арқылы).

I. КОМБИНАТОРИКАНЫҢ ҰҒЫМЫ МЕН БӨЛІМДЕРІ

1.1 Комбинаторика туралы түсінік

Жан – жағымызға қарасақ кез келген нәрсенің, заттың орналасуларының әртүрлі жағдайда екенін көреміз. Адамға осы нәрселердің бәрінің орналасуының, іс жүзінде барлық жағдайларын есептей білуге немесе оны орындауға қажетті мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келері айдан анық. Мұндай кезде заттардың орналасу жағдайлары немесе іс-әрекеттің комбинациялары қарастырылады. Осындай заттардың комбинациялары қарастырылатын есептерді математика саласында біз комбинаторлық есептер деп атаймыз.

Ендеше, комбинаторикалық есептер деген ұғымға тоқталып өтелік. Комбинаторикалық есептер дегеніміз математикада шектелінген белгілі бір жиынның элементтерінен қандай да бір ережелерге бағына отырып, әртүрлі комбинациялар құрастырылатын, сонымен қатар сол ережелер бойынша саны табылатын есептер.

Комбинаторикалық есептерді шешуде қолданылатын математиканың бір бөлігі комбинаторика деп аталады. Комбинаториканың кейбір элементтері мен ұғымдары біздің заманымызға дейінгі 2 ғасырдың өзінде-ақ Үндістанда белгілі болған. Ол 17 ғасырда ғана ғылым ретінде қарастырыла бастады. “Комбинаторика” термині латынның combina “біріктіру”,“біріктіре алу” деген сөзінен шыққан. Француз математиктері Паскаль мен Ферма және неміс математигі Лейбництер жемісті еңбек етіп комбинаториканың негізгі ұғымдарын дайындаған. Бұл термин 1666 жылы неміс математигінің Готфрид Лейбництің бірігулер мен ауыстырулар ілімі ғылыми негіз болып табылатын “Комбинаторика өнері туралы толғам ” деген еңбегінен кейін қолданыла бастады. Комбинаторикалық есептермен адамдар ерте кездің өзінен-ақ таныс болған. Оған дәлел ретінде бірнеше мың жыл бұрын Ежелгі Қытай жеріндегі сиқырлы шаршылардың құрастырылуынан, дойбы, домино ойындарын айта аламыз.

Комбинаторикалық есептерді шешу барысында, математиканың басқа салаларында кездескенде қолдананылатын бірқатар заңдылықтар мен формулалар жиынтығы бар. Комбинаторикалық есептер “факториал (!) ” бойынша шығарылады. Факториал дегенімізді математика саласындағы 1-ден бастап n-ге дейінгі сандардың көбейтіндісі деп түсіндіруге болады. Ол n! деп белгіленеді. Мұнда бір ескерер нәрсе:

0!=1 .

0 факториалдың 1-ге тең болатынын 1656 жылы ағылшын математигі Джон Валлис “Шексіздіктің арифметикасы” кітабында айқын көрсеткен. Факториал (!) белгісі 1808 жылы енгізіліп, француз математигі Христиан Крамптың бір кітабында бұл ұғымның шығу тегі латынның factor “көбейткіш” сөзінен енгізілген делінеді.

Комбинаторканы дамытуда Паскальдың “Арифметикалық үшбұрыш туралы трактатының” маңызы зор деп айта аламыз. Себебі ол, арифметикалық үшбұрыш туралы трактатында теру сандарының кестесін үшбұрыш түрінде жазады.

Төменде теру сандарының кестесін бейнелей алатын Паскаль үшбұрышы көрсетілген:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Мұнда, бүйір қабырғаларының бірлік сандарынан құралғанын байқай аламыз. Ал төмендегі сан жоғарыдағы екі санның қосындысы екені айтпаса да түсінікті. Бұл үшбұрышты кейде арифметикалық үшбұрыш деп те атайды. Көбінесе арифметикалық үшбұрыш немесе Паскаль үшбұрышы комбинаторлық есептерді шешуде қолданылып жүр.

Бұрыннан белгілі мультипикативті жіктелуді Блез Паскаль толық математикалық принциптің көмегімен жалпы түрде дәлелдей білген. Комбинаторика элементтері және бөлімдері тақырыбы алғаш рет 1973 – 1975 жылдары мектептерде қосымша сабақ жұмыстарында жүзеге асырыла бастады. Одан кейін, XX ғасырдың 70 жылдары оқу жылынан бастап, “комбинаторика элементтері және бөлімдері” тақырыбы жалпыға бірдей міндетті жаңа бағдарлама бойынша әр мектепте оқытыла бастады. XX ғасырдың 80 жылдан бастап көптеген жерлерде математиканың бұл бөлімі (яғни, комбинаторика бөлімі) алынып тасталынып, 25 жылға жуық уақыт мектептерде де, оқу орындарында да оқылмай қойды. Дегенменде,практика жүзінде өз маңызын ешқашан жойған емес.

1.2. Алмастырулар мен терулер

Комбинаторика ұғымын қарастырған кезде оған орналастырулар, алмастырулар, терулер, есептеу математикасы, дискретті математика, тағы да басқа бөлімдерін жатқызамыз. Бөлімдерінің әрқайсысына жеке-жеке тоқталатын болсақ:

Комбинаториканың бөлімдерінің бірі алмастырулар деп аталады. Алмастыру дегеніміз элементтердің бір ретті қайталамай әр түрлі орналасуы. Демек, алмастырулардың топтары бір-бірінен тек элементтерінің орналасу ретімен ғана ерекшеленеді. Алмастыруды математика саласында “P_n” әріпімен белгілейді. Мұндағы “n” әріпі натурал сан дегенді білдіреді. Мысалы: алмастыруды

P₆=6!=1 2 3 4 5 6 =720

деп есептейміз.

P(n₁ , n₂ , …, n_k) – n элементтен тұратын қайталанатын алмастырулар (элементтердің бірдей болып келуі) саны бірінші элемент n₁ рет,екінші элемент n₂ рет және тағы сол сияқты к - элемент n_k рет қайталанады:

P(n₁ , n₂ , …, n_k)= , мұндағы n = n₁ + n₂ + … + n_k

Ал, қайталанбайтын алмастыруда элементтер әртүрлі болып келеді.

Комбинаториканың келесі бөлімі терулер деп аталады. Теру дегеніміз бір - бірінен құрамы арқылы ерекшеленетін, айрықшаланатын бірнеше элементтерден тұратын комбинациялар тобы. Терудің белгіленуін 19 ғасырда әртүрлі ғалымдар енгізе бастаған. Бүгінгі таңда математикада терулер әріпімен белгіленеді деп енгізілген. Апиан, Штифель мен Тартальяға тәуелсіз француз математигі Эригон өзінің “Практикалық арифметкасында” (XVII ғасырдың 30 жылдары) – і анықтайды. Мұндағы m әрпі әрбір топқа кіретін элементтер санын, ал n әрпі берілген элементтер саны білдіреді. Терулердің әр элементі үшін алмастырулар P_m орындалады.

Теруді мына формула бойынша есептейміз:

Есептерде n элементтен тұратын М жиыны берілген делік. Осы М жиынының элементтерінен құрылған барлық элементтердің қосындысы m-ге тең болсын. Олардың ішінен құрамдары бірдейлерін бір класқа жатқызайық. Ендеше,осындай n элементтен алынған m арқылы алынған теруді қайталанбалы теру деп атаймыз.

Ал, қайталанбалы теру төмендегі формула бойынша анықталынады:

Комбинаторикалық есептерінде қайталанбалы теруді, я болмаса, қайталанбалы алмастыруды қолданған кезде мына ережені мұқият есте сақтаңыз. Алдымен есепте нені анықтау керектігін біліп алыңыз:

• Құрамдағы жолдар санын ба;

• Берілген ұзындықтардағы барлық сан түрін бе.

Берілген есепте құрамдағы жолдар санын табатын болсаңыз, P(n₁ , n₂ , …, n_k)= осы формуланы қолданасыз;

Ал екінші жағдай бойынша, берілген ұзындықтардағы барлық сан түрін табатын болсаңыз, осыны қолданасыз.

1.3.Орналастырулар

n элементтерден әр топта m элемент болатын топтарының бір-бірінен өзгешелігі ең болмағанда элементтерінің біреуінің өзгешелігінде немесе элементтерінің алыну реттерінде болатын комбинация топтарын орналастырулар деп атаймыз.

“Орналастыру” ұғымын алғаш рет Швейцариядан шыққан әйгілі математик Якоб Бернулли өзінің 1713 жылы жарық көрген атақты “ARS сonjestandі”(Болжау өнері) кітабының II бөлімінде қарастырады.

Орналастыруды математикада арқылы белгілейді. Ол мына формула бойынша орындалады:

Орналастырулардың бірнеше түрлері бар: қайталанбалы орналастырулар және қайталанбайтын орналастырулар. Қайталанбайтын орналастырулар дегеніміз белгілі бір жағдайда жиыннан орналастырулар жасағанда, алынған элемент жиынға енбейтін орналастыру түрі. Мәселен, Х жиыны n элементтен құралған жиын болсын. Онда Х-тің элементтерінен құралған, k - ға тең элементтері қайталанбайтын әрбір шеруді n - нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп атайды. Қайталанбайтын орналастыруда мына заңдылық орындалуы тиіс :

n k.

Ал,кей жағдайда әрбір элемент комбинацияға бірнеше рет кіруі мүмкін.Мұны қайталанбалы орналастыру дейміз. Қайталанбалы орналастыруда жиынның n элементтері мен k ұзындықтары кез келген натурал сан болуы мүмкін. Қайталанбайтын орналастыруда n=k болса, мұндай орналастыру n элементтің алмастыруы дейміз.

Заттардың орналасу реті ескерілсе, оны реттелінген таңдама деп атаймыз. Ал, орналасу реті ескерілмесе, ол таңдаманы математикада реттелінбеген таңдама деп атаймыз.

Комбинаториканың алмастыру, теру, орналастыру бөлімдері мына теңдікпен тікелей байланысты:

II. КОМБИНАТОРИКАНЫҢ САЛАЛАРМЕН БАЙЛАНЫСЫ ЖӘНЕ ЕСЕПТЕРДЕ ҚОЛДАНЫЛУЫ

2.1.Комбинаторика математиканың басқа салаларымен байланысы

Қазіргі кезде комбинаторика кездейсоқ алгебрасы және статистика теориясы элементтері бастамалары республикамыздағы бірқатар авторлардың алгебра оқулықтарында жиі – жиі кездеседі. Комбинаторика математиканың көп салаларымен – алгебрамен, ықтималдықтар теориясымен, геометриямен, Бернулли теоремасымен, Ньютон биномымен және генетика, статистикалық физика, информатика салаларында да қолданылады.

Комбинаторикалық сипаттағы идеялар ықтималдық теориясы, алгебра тәрізді математикалық бөлімдерінде кең өріс тапқан. Ендеше, ықтималдықтар теориясы ұғымына тоқталып өтейік.

Құмарлық ойындарында ойыншылардың арасындағы үлестің тең бөлінуі ұзақ уақыт бойы математикатерді ойландырып келген. Оларды математиктер зерттеген кезде ықтималдықтың негізгі ұғымдары пайда бола бастаған. Ықтималдық дегеніміз қандай да бір оқиғаның белгілі жағдайда пайда болу мүмкіндігінің сипаттамасы. Осы ықтималдықтар теориясынан математикалық статистика пайда болған деседі. Оқиғаның ықтималдық жағдайы оқиғаның объективті шартына емес, субъективті шартына байланысты болады. Негізінен, сақтандыру компанияларының өмірге келуі және лоторея ойындары ықтималдықтар теориясының дамуына жағдай жасады. Христиан Гюгейнс Парижге келгеннен кейін француз математитері Блез Паскаль мен Пьер Ферма жасаған ықтималдық теориясының ұғымдарымен танысқан.Соның негізінде өзінің “Құмарлық ойындарының есептері” деген еңбегін жарыққа шығарды.

Ықтималдықтар теориясын математикалық теория түрінде қалыптастырғандардың бірі голландиялық физик, әрі математик Христиан Гюйгенс. 18 ғасырда француз математитері Блез Паскаль, Пьер Ферма мен голландиялық математик Христиан Гюйгенс идеяларына сүйенген ықтималдықтар теориясы қарқынды дами бастады. Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктеріне элементар оқиғалар мен элементар оқиғалар кеңістігін айта аламыз. Элементар оқиғалар дегеніміз белгілі бір сынақтың немесе тәжірибенің қандай да бір нәтижесінің орындалуын немесе орындалмау жағдайын айтады. Ендеше мынадай мысал түрін қарастырып көрейік: ойын сүйегін тастаған кезде 1, 2, 3, 4, 5, 6 ұпайларының бірі түсуі мүмкін. Яғни ойын сүйегін лақтырған кезде элементар оқиғаның бірі орындалады деген сөз. Оны біз А₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ деп белгілеп алайық. А_k дегеніміз ойын сүйегін лақтырған жағдайда k-шы ұпай түскенін білдіреді. k=1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ендігі кезекте, элементар оқиғалар кеңістігі ұғымына тоқталайық:

Мәселен: U жиынының әрбір элементі сынақтың немесе тәжірибенің қандай да бір нәтижесін білдірсе , я болмаса осы сынақтың әрбір элементар нәтижесі U жиынының элементі болса, онда біз U жиынын элементар оқиғалар кеңістігі деп атаймыз.Мынандай мысал қарастырып көрелік:

Мұнда бір ескеретіні есептеу жеңіл болу үшін элементар оқиғалардың санын санаулы деп есептейміз.Жоғарыда көрсетілгендей, ойын сүйегін лақтырған жағдайда оқиғалар кеңістігі 6 элементтен тұрады: U ={ А₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ } деп элементар оқиғалар кеңістігін аламыз.

Ықтималдықтар теориясында осы оқиғалардың орындалуының ақиқат және жалған жағы болады. Оқиғаның күні бұрын орындалатыны белгілі болса, оны ақиқат оқиға деп атаймыз. Мысалы, ойын сүйегін бір рет лақтырған жағдайда 1-ден 6-ға дейінгі санның түсуі ақиқат оқиғаны білдіреді. Ақиқат оқиғаны U әрпімен белгілейміз. Оқиғаның ешбір сынақта немесе тәжірибеде орындалмайтыны белгілі болса, оны жалған оқиға деп атаймыз. Мысал ретінде ойын сүйегін лақтырған жағдайда 7-ден артық ұпай түсуі жалған оқиғаны білдіреді.Яғни, ондай жағдай ешқашан болмайды. Жалған оқиғаны деп белгілейміз.

Ықтималдықтың классикалық ықтималдығының формуласы:

P(A) =

m≤n, m, n N, мұндағы n дегеніміз барлық мүмкін болатын байқаулардың саны, m дегеніміз А оқиғасына қолайлы байқау саны.

Тәжірибе барысында екі оқиғаның біреуі екінші оқиғаның орындалуын жоққа шығарған жағдайда,мұндай оқиғаны үйлесімсіз оқиға деп атаймыз.Бұны дәлелдеу үшін күнделікті өмірдегі тиынды алып лақтыра салса жеткілікті. Оның “елтаңба” немесе “цифрлы” жағымен түсуі үйлесімсіз оқиғаға жатады.

Комбинаторлық есептерді шығарғанда ықтималдықтың мына ережелерін есте сақтау керек:

1. Егер оқиғаның орындалуы жағдайы жалған оқиға болса, ендеше оның ықтималдығы 0-ге тең болады;

2. Егер оқиғаның орындалу жағдайы ақиқат оқиға болатын болса, мұндай оқиғаның ықтималдық жағдайы 1-ге тең болады;

3. Ал,егерде оқиғаның орындалуы жағдайы мүмкін болады да, түсу жағдайы абсолют ақиқат болмайтын жағдай болса,ол жағдайдың ықтималдығы нөл және бір сандарының арасындағы сан болады.

Есебіңіздің дұрыс немесе бұрыс шығарылғанын осы ережелерге қарап білсеңіз де болады.

Комбинаториканы ықтималдықтар теориясында қолданып көрейік.

Мысал: Қалтада 6 ақ және 4 қызыл түсті асықтар бар. Қалтадан кездейсоқ алынған асықтың қызыл түсті болуы ықтималдығын анықтаңыз.

Шығарылуы: Бұл есепті шығару үшін қалтадағы асықтардың формaлары бірдей деп аламыз. “A” әрпі арқылы қалтадан кездейсоқ алынған асықтың қызыл түсті болатынын белгілеп алайық. Ол үшін қалтада бар ақ және қызыл түсті асықтырды қосып, жалпы санын біліп аламыз: 6+4=10. Бізге кездейсоқ алынған асықтың қызыл түсті болып шығу ықтималдығын табу үшін:

P(A) =

деп аламыз. Сонда 0,4 шығады.

Яғни: Қалтадан кездейсоқ алынған асықтың қызыл түсті болуы ықтималдығы 0,4.

Комбинаторикада Бернулли теоремасының қолданылуы:

Комбинаторикадағы Бернули теоремасының қолданылуына тоқталмас бұрын Бернулли теоремасын біліп алғанымыз жөн болар:

Егер де А оқиғасының түсу ықтимaлдығы қандай да бір тәжірибеде тұрақты болса, онда n рет тәуелсіз тәжірибе жасағанда А оқиғасының k рeт түсу ықтималдығы

P_n,k(A)=

формуласымен анықталады. Мұны Бернулли теоремасы деп атаймыз. Мұндағы P_n,k(A) - n рет тәуелсіз тәжірибе жасағанда А оқиғасының k рет түсу ықтималдығы;

p - А оқиғасының ықтималдығы;

q- А оқиғасына қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы;

-терулер саны;

Мысал: А оқиғасының тәуелсіз тәжірибе саны 5, ал тұрақты ықтималдығы 0,8 болса, онда А оқиғасының 3 рет түсу ықтималдығын табыңыз.

Шығарылуы: Түсінікті болу үшін есептің берілгенін төмендегідей етіп жазып алайық

n=5

p=0,8

k=3

P_n,k(A)-?

P_5,3(A)= = =0,512 =0,2048

Комбинаторикалық есептерде Бернулли теоремасын қолданғанда, есебіңіздің дұрыс шыққандығын осы арқылы анықтауыңызға болады: “әрбір тәуелсіз тәжірибеде (сынақта) оқиғаның пайда болуының ықтималдығы тұрақты p-ға тең болатын болса, онда тәжірибе саны мейлінше үлкен болғанда, оқиғаның салыстырмалы жиілігіні ауытқу модулі бірге (1-ге) жуық аз шама болады”

Жауабы: А оқиғасының тәуелсіз тәжірибе саны 5, ал тұрақты ықтималдығы 0,8 болса, онда А оқиғасының 3 рет түсу ықтималдығы 0,2048 тең. P_5,3(A)= 0,2048

2.2.Қосынды ережесі мен көбейтінді ережесі

Кейбір жағдайларда комбинаторикалық есептерді шешуде қосынды және көбейтінді ережесі де қолданылады. Егер де екі әрекет бірін-бірі толықтыра алатын болса, оны a+b жолымен орындауға болады. А жиынының элементтер саны n(А) белгісі арқылы белгіленеді. Қосынды ережесін қолдануда мынандай теорема бар: кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін

n(А В)=n(А)+n(В)-n(А В)

теңдігі орындалады. Бұл “қосынды ережесі” деп аталады. Яғни, қосынды ережесі екі жиынды біріктіріп, ондағы элементтер санын табуға жағдай жасайды.

n(А В)=n(А)+n(В)-n(А В) формуласын математикалық индукция принципі бойынша бірнеше қосылғыштарға жіктеп жазып шығуға болады. А₁, A₂, ..., A_m санаулы элементтері бар жиындар үшін төмендегідей формула орындалады:

n(А₁ A₂ ... A_m ) = n(А₁)+ n(А₂)+ … + n(А_m)-n (А₁ A₂) - n (А₁ A₃)-…n(А_m-1 A_m)+ n (А₁ A₂ A₃)+ n (А₁ A₂ A₄)+…+ n (А_m-2 A_m-1 A_m)-…+(-1)^m-1n(А₁ A₂ …A_m)

Бұл формула бойынша жиындардың жұп рет кездесетін қосылғыштар “-” таңбасымен, тақ рет қиылысулары кездесетін қосылғыштар “+” таңбасымен алынған.

Егер А В= болса,онда n(А В)=n(А)+n(В) теңдігі орындала береді.

Ал, егер де әрекеттің бірінші бөлігін а жолмен, екінші бөлігін b жолмен орындайтын болсақ, ендеше әрекетті а b жолымен орындаймыз. Бұл “көбейтінді ережесі” деп аталады. Көбейтінді ережесі үшін мына теорема орындалады:

m=n(А) n(В)

Яғни бұл , кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін барлық (а;b),(а А),(b B) қос элементтер саны m осы жиындар элементтері сандарының көбейтіндісіне тең дегенді білдіреді.

Математикалық индукция принципі бойынша санаулы элементтері бар А₁, A₂, ..., A_k жиыны үшін барлық (а₁, a₂, ..., a_k),(а А, i=1,2, … , k) элементтер тізбесі саны m=n(А₁) n(A₂) n(A_k) формуласымен анықталады.

Бір оқиғаның ықтималдығы белгілі болған жағдайда екінші оқиғаның орындалу ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады.

А оқиғасының орындалғаны белгілі болса, В оқиғасының орындалуының шартты ықтималдығы былайша белгіленеді: P(B/A)

Үйлесімсіз екі оқиғаның кез келген біреуінің орындалуының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдығын қосқанда осы теореманы есте сақтаған жөн.

Тәжірибе кезінде, оның қорытындысы тек қана бір оқиғасы болатын оқиғалар жүйесін оқиғаның толық тобы дейміз. Оқиғаның толық тобы үшін оқиғалардың ықтималдық қосындысы 1-ге тең болады.

Келесі, тәжірибеде бір оқиғаның екінші бір оқиғаға тәуелді болатын жағдайлары кездесіп, жатады.Біз мұндай оқиғаны,аты айтып тұрғандай “тәуелді оқиғалар” деп атаймыз.Осы тәуелді оқиғалардың орындалу ықтималдығы бірінші болған оқиғаның ықтималдығын бірінші болған оқиғаның орындалғаннан кейінгі анықталған екінші оқиғаның ықтималдығына көбейткенге тең болады. Формуласы төменде көрсетілген:

P(AB)=P(А) P_A(В)

Мұнда, айта кететін нәрсе тәуелді оқиғалар теоремасы екі немесе одан да көп жағдайлар үшін де орындала береді:

P(AB)=P(А) P_A(В) P_AВ(В)

Бұл көрсетілген формула үш тәуелді оқиға үшін арналады. Үштен көп болған жағдайда да осылай жалғасып кете береді.

2.3.Комбинаторикаға байланысты мысалдар мен оны шығару жолдары

Комбинаторикаға байланысты заттар күнделікті өмірімізде кездесетіндіктен, бірнеше мысалды және оны шығару жолдарын қарастырайық. Ең бірінші есепті шығару үшін нені анықтау қажеттігін біліп алуымыз керек. Содан кейін қажетті формуланы пайдаланып, есепті шығара береміз.

1-мысал: 4, 8 , 9 цифрлары қайталанбайтындай жағдайда олардан қанша үш таңбалы сан жазуға болады?

Шығару жолы:

Бұл есепті шығару үшін біз алмастыру тәсілін қолданамыз. Өйткені: бұл жағдайда берілген үш цифрдың орнын ауыстыруымыз қажет: 489, 498, 894, 849, 948, 984. Бұл есепті шешудің оңай жолы математикалық ережеге бағыну. Мұнда үш цифр болғандықтан P₃ деп аламыз.

P₃= 3!

P₃=3 2 1=6.

Жауабы: Яғни, 4, 8 , 9 цифрлары қайталанбайтындай жағдайда олардан 6 үш таңбалы сан жазуға болады.

2-мысал: Сыныптағы 5 оқушыны (Арман, Гүлнәр, Мирас, Толғанай, Нұрай) екі – екіден қанша рет кезекшілікке қоюға болатынын есептеңіз.

Шығару жолы: Сыныптағы 5 оқушыны екіден кезекшілікке қоятын болсақ осылай болатыны белгілі:

Арман - Гүлнәр Гүлнәр - Мирас Мирас - Толғанай

Арман - Мирас Гүлнәр - Толғанай Мирас - Нұрай

Арман - Толғанай Гүлнәр - Нұрай Толғанай - Нұрай

Арман - Нұрай

Ендеше, оны есептеудің оңай жолына көшейік. Бұл есепті шығару үшін біз комбинаториканың бір бөлімі теруді қолданамыз. Өйткені: біз оқушыларды бір - бірінен құрамымен ерекшеленетіндей етіп, кезекшілікке қоямыз. Терудің формуласы бойынша деп аламыз.

Жауабы: Сыныптағы 5 оқушыны екі – екіден 10 рет кезекшілікке қоя аламыз.

3-мысал. ФРАГМЕНТ сөзінің әріптерін қолданып,егер сөз 3 әріптен тұрса, әріптері қайталанбайтындай неше сөз жасауға болады?

Шығару жолы: Бұл есепті оңай шығару үшін орналастыруды қолданамыз. Себебі: 3 әріптен тұратын сөзді құрастыру үшін әріптерді орналастыра білуіміз қажет. Ендеше орналастудың формуласы бойынша:

деп аламыз.Сондай бізде 336 шығады.

Жауабы: Демек, ФРАГМЕНТ сөзінің әріптерін қолданып, егер сөз 3 әріптен тұрса, әріптері қайталанбайтындай 336 сөз жасауға болады.

Комбинаторлық формулаларды қолдану кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуді біршама жеңілдетеді. Ықтималдық анықтамасын пайдаланып, комбинаторикалық есептерді шығарған кезде, оқиғаны белгілі бір әріппен белгілеп алу қажет:

4-мысал. 9 қабатты мекеменің 5-қабатынан лифтке 3 қызметкер мініп,жоғары көтерілді.Бұлардың әрқайсысы лифттен әр түрлі қабаттарда шығуы ықтималдығы қандай?

Шығару жолы: Мұнда 4 (қабатты) элементті 3 (қызметкерге) орынға қайталанбайтындай етіп орналастыру қажет. Сондықтанда деп аламыз:

Жауабы: Қызметкерлердің әрқайсысы лифттен әр түрлі қабаттарда шығуы ықтималдығы – ке тең.

5 – мысал. Сыныптағы 25 оқушының 15-і математика, 9-ы физика пәнінен қосымша сабаққа қатысады да , 6-ы бұл екеуінің ешқайсысына да қатыспайды. Екі қосымша сабаққа қатар қатысатын оқушылар саны қанша?

Шығару жолы: Жалпы оқушылардың санын U, математикадан қосымша сабаққа қатысатындарды А жиыны, физикадан қосымша сабаққа қатысатындарды В жиыны деп аламыз.

25-(15-9) = 19

15+9-19=5

Жауабы: Екі қосымша сабаққа қатар қатысатын оқушылар саны 5-еу.

6 - мысал. Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге керек бір сурет ғана. Конверттен кездейсоқ 10 фотосурет таңдалынып алынды.Осы алынған суреттердің ішінен бізге керекті суреттің бар болу ықтималдығын табыңыз.

Шығару жолы: Бізге 100 суреттің ішінен 10 суретті түрлі тәсілмен таңдап алуға болады.Ал егерде алынған 10 суреттің ішінен бізге қажеттісі бар болған жағдайда, онда бұл суреттің бізге 9-ы қажетсіз.Ендеше, қажетсіз 9 суретті 99 қажетсіз суреттер арасынан түрлі тәсілмен таңдап алуға болады. Онда

Жауабы: Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен таңдап алынған 10 суреттің ішінен бізге керекті суреттің бар болу ықтималдығын 0,1.

7-мысал.Егер ойын сүйегі мен тиынды лақтырса, тиынның “елтаңба” жағымен, ойын сүйегінің 5 саны жағымен түсу ықтималдығы қандай?

Шығару жолы:Бұл есепті шығару үшін көбейтінді ережесін қолданамыз. -тиындағы елтаңба жағымен, - ойын сүйегіндегі 5 санының түсу ықтималдығы.

P(AB)=P(A) P(B)= =

Жауабы: Егер ойын сүйегі мен тиынды лақтырса, тиынның “елтаңба” жағымен, ойын сүйегінің 5 саны жағымен түсу ықтималдығы – ге тең.

8-мысал. Ойын сүйегін лақтырдыңыз делік. Сол кезде жай санның түсу ықтималдығын табыңыз.

Шығару жолы: Ойын сүйегін лақтырғанда, онда 1, 2 ,3, 4, 5, 6 сандарының түсетінін білеміз. Яғни, мұнда 2, 3, 5 сандары жай сан болып табылады. Жай сан дегеніміз 2-ге бөлгенде, қалдық қалатын сандар.Формулаға салатын болсақ,

P(А)= = = 0,5.

Жауабы: Ойын сүйегін лақтырған кезде жай санның түсу ықтималдығы 0,5.

9-мысал. Т, ү, й, м, е деген әріптер арқылы 5 әріптен тұратын неше түрлі сөз жасауға болатынын анықтаңыз.

Шығару жолы: Есептің шығарылу түрі түсініктілеу болу үшін сөздерді жазып көрсетейік:

Мәселен: түйме, үймет, түйем, мүйет, т.с.с

Берілген әріптерден құралған барлық сөз қазақ тілінде түсінікті бола бермеуі мүмкін. Дегенменде ол сөздердің басқа елдерде мағынасы бар болатын кездер де кездеседі. Осындай әріптердің орнын алмастыру арқылы сөз жасауды біз анаграммалар деп атаймыз.Ендеше есептің шығаруына тоқталайық. Мұнда алмастырудың формуласын қолданамыз:

P₅=1 2 3 4 5=120.

Яғни, 120 cөз құрастыруға болады екен.

Жауабы: Т, ү, й, м, е деген әріптер арқылы 5 әріптен тұратын 120 түрлі сөз жасауға болады екен.

10-мысал. 3 аңшы ұшып бара жатқан үйректерді , , ықтималдықтармен атып түсіре алады.Ұшып бара жатқан үйректерді, бір мезгілде атса, оларды атып түсіру ықтималдығы қандай?

Шығару жолы: Ұшып бара жатқан үйректі атып түсіру үшін тым болмаса бір аңшының оғы дәл тиюі керек.Сондықтанда жоғарыда көрсетілген ықтималдықтың формуласын қолданамыз:

P(А)=1 - =

Жауабы: Ұшып бара жатқан үйректерді, бір мезгілде атса, оларды атып түсіру ықтималдығы – ге тең.

Қорытынды

Қазіргі ғылымдардың іргетасы - математика заманымыздың аса мәдени құбылысы, жалпы өркениетіміздің бөлінбейтін бір бөлігі болып саналады. Сондықтанда, тек қана математика пәнінің мұғалімі ғана емес, әлемдегі барлық адамның математикадан яғни, есептерден хабары болуы керек деп ойлаймын. Математиканың бір саласы комбинаторка деп аталады. Комбинаторика соңғы жылдары енгізілгенімен, айналамыздағы заттардың комбинациясын есептеуде маңызы зор сала.

Бұл курстық жұмыста “Бастапқы курстағы комбинаторика” тақырыбы толығымен қарастырылды. Курстық жұмыс барысында комбинаторика ұғымына, комбинаториканың бөлімдеріне, элементтеріне, формулаларына, көптеп кездесетін мысалдары мен шығарылу жолына аса көңіл бөлінді. Курстық жұмыстың мақсаты мен міндеттеріне есептерді шығаруда оңай жолды қарастыруды жатқызған болатынбыз. Комбинаторика формулаларын оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуге қолдануға байланысты есептер, комбинаторикада кездесетін ықтималдық жағдайларындағы оқиғалардың бір - бірімен айырмашылықтары туралы қарастырылды.

“Комбинаторика” сөзі латынның combina “біріктіру” деген сөзінен шыққан. Кейінгі жылдары Комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептеуіш техниканың дамуы шектеулі математика рөлінің артуы, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының артуы негізгі себеп болып отырғанын бәріміз білеміз. Комбинаторлық әдістерді физика, химия, биология, экономика, тағы басқа ғылымда қолдана беруге болады.

Мен осы тұрғыда мынандай ұсыныс айтқым келеді : қазіргі таңда ҰБТ есептерінде комбинаторикалық есептер көптеп кездесетіндіктен, осындай есептер тек жоғары сыныптарда ғана емес, бастауыш сыныптардан бастап үйретілсе екен. Бұл кішкентай балалардың ойлауын дамытумен қатар, есептерді жылдам, шапшаң есептеуге үйретеді.

Ерте кезде Үндістанда қиын есептерді шешуде көптеген жарыстар болған деседі. Үнді кітаптарында осы жарыстар туралы “алгебралық есептерді жылдам шығарған математиктің даңқы екінші математиктің даңқынан асып түседі”, - деген сөз жазылған. Мұнымен айтқым келген түйін: кез келген есепті шешудің оңай жолы болады. Оңай жолы арқылы жылдам шығаруға да мүмкіндік туары сөзсіз. Оны тек тауып, қолдана білуіміз маңызды!!!

Пайдаланылған әдебиеттер

1. “Алгебра және анализ бастамалары” 2014 ж. А.Е.Әбілқасымова, З.А.Жұмағұлова, К.Д.Шойынбеков, В.Е.Корчевский [155-161 бет];

2. “Математика” Ернар Мұхтарұлы Базаров [317-322 бет];

3. “Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика негіздері және өзіндік жұмыстар жинағы” 2009 ж. А.О.Бейарыстанов [5-9 бет];

4. “Математика тарихы” 1993 ж.Алматы қаласы, А.Көбесов [202-206 бет];

5. “Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер” 1970 ж. [260-270].