ӘОЖ 512.623.3

Логарифмдік теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу

Ерке Ү.Б.

7М01501-Математика білім беру бағдарламасының білім алушысы,

Ш.Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті, Ақтау қ., Кзақстан

Ғылыми жетекші: Нигметова Г.Н.

Аңдатпа. Логарифмдік теңдеулер күрделі құбылыстарды бейнелеп, белгісіз шамаларды табуға мүмкіндік береді. Мұндай теңдеулер ІТ саласында, биологияда және статистикалық зерттеулерде кеңінен қолданыс табады. Логарифмдік функциялар экспоненциалды өзгерістерді талдауда маңызды рөл атқарады. Осы себепті логарифмдік теңдеулерді шешу жолдарын игеру математикалық білімнің ажырамас құрамдас бөлігі болып есептеледі.

Түйін сөздер: Логарифм, логарифмдік теңдеулер, логарифмдік теңдеулер жүйесі, стандартты әдістер.

Логарифмдік теңдеулер алгебра мен математикалық анализдің маңызды бір бөлігін құрайды. Олар көптеген қолданбалы есептерде, физикада, экономикада және инженерияда жиі кездеседі. Логарифмдік теңдеулердің көмегімен күрделі процестерді сипаттап, белгісіз айнымалыларды анықтауға болады.[1] Бұл теңдеулер ақпараттық технологияларда, биологияда және статистикада да қолданылады. Логарифмдік функциялар экспоненциалдық өзгерістерді зерттеуде таптырмас құрал болып табылады. Сондықтан логарифмдік теңдеулерді шешу әдістерін меңгеру математикалық сауаттылықтың ажырамас бөлігі болып саналады. Бұл мақалада логарифмдік теңдеулердің негізгі қасиеттері, шешу әдістері және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шешудің тиімді жолдары қарастырылады.

Мектеп бағдарламасындағы негізгі тақырыптардың бірі болғандықтан логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбы өзектілігін жоймайды. [2]

Логарифмдік теңдеулерді шешу үшін мына әдістер кеңіне қолданылады: логарифм анықтамасын міндетті түрде қолдану, теңдіктің екі жағында бір негізге келтіру, жаңа айнымалы енгізу, жаңа негізге көшу, мүшелеп логарифмдеу әдісі. Ал логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу кезінде, көбінесе алгебралық теңдеулер жүйесін шешетін әдістер қолданылады (алмастыру тәсілі, алгебралық қосу, жаңа айнымалы енгізу және т.б.). [3]

Ендеше айтылған сөзімізді растайтын мысалдар қарастырып көрейік.

Мысал 1. Логарифмді теңдеуді шешіңіз: [3]

Логарифм анықтамасы бойынша,

Теңдеуді шешуді жеңілдету үшін жаңа айнымалы енгізіп, квадрат теңдеуді шешеміз:

a=1; b=-3; c=2

Коэффициенттер қасиеті орындалатын болғандықтан, .

X айнымалысына қайта оралып, қарапайым логарифмдік теңдеулерді шешеміз.

;

Тексеру нәтижесінде 2 және 4 сандары теңдеуді қанағаттандыратындығын көреміз. Яғни, жауабы: 2 және 4.

Мысал 2. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: . [2]

Жүйедегі теңдеулердің әрқайсысын жеке-жеке түрлендірейік.

Бірінші теңдеу үшін жаңа негізге көшу формуласын басты назарға алайық. Олай болса, .

Сонда, теңдеуіміз мына түрге келеді:

.

Теңдеуіміздің оң және сол жақ бөліктерін -ге көбейтейік, нәтижесінде

теңдеуін аламыз.

Екінші теңдеу үшін теңдігін негізге алайық. Логарифм анықтамасынан , .

Алынған теңдеулер жүйесін орын алмастыру әдісімен шешеміз:

Егер , онда . Егер болса, онда . Алынған жауаптарды теңдеуге қойып тексеріп көретін болсақ,

; теңдеуді қанағаттандыратындығын көреміз.

Қорытындылай келе, логарифмдік теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу математикалық біліктілікті қажет ететіндігін көреміз. Бұл тақырып бойынша терең білім алуда теориялық негізді түсіну және практикалық есептерді шығару аса маңызды. [4] Логарифмдік теңдеулерді меңгеру арқылы көптеген нақты өмірдегі есептерді шешу мүмкіндігі артады. Логарифмдік теңдеулер инженерлік және ғылыми есептерде маңызды рөл атқарады. Оларды игеру арқылы деректерді талдау, модельдеу және болжау процестерінде жоғары нәтижелерге қол жеткізуге болады. Әсіресе, логарифмдік теңдеулерді қолдану табиғаттағы процестерді сипаттауда, қаржы саласында өсім мен шығындарды есептеуде, демографияда және басқа да салаларда үлкен маңызға ие.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Зорич В.А. "Математический анализ. Часть 1" – М.: МЦНМО, 2018.

2. Садовничий В.А. "Курс математического анализа" – М.: Лань, 2004.

3. Гельфанд И.М., Шен Ф. "Алгебра" – М.: Физматлит, 2005.

4. ФАРАБИ ƏЛЕМІ» атты cтуденттер мен жас ғалымдардың халықаралық ғылыми конференция материалдары- Алматы, Қазақстан, 6-8 сəуір 2021 жыл.