4-дәріс

Рационал функцияларды қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеу арқылы интегралдау. Тригонометриялық функцияларды интегралдау. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау.

1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау

Кез келген рационал функцияны рационал бөлшектер түрінде жазуға болады, яғни, екі көпмүшеліктің бөліндісі ретінде жазуға болады:

Бұл көпмүшеліктердің ортақ түбірлері жоқ деп алайық.

Егер алымындағы көпмүшеліктің дәрежесі бөліміндегі көпмүшеліктің дәрежесінен кіші болса, онда бұл дұрыс бөлшек деп аталады, кері жағдайда, бұрыс бөлшек деп аталады.

Егер бөлшек бұрыс бөлшек болса, онда оның алымындағы көпмүшелікті бөліміндегі көпмүшелікке бөлу арқылы (көпмүшелікті көпмүшелікке бөлу ережесі), оның бүтін бөлігін бөліп аламыз. Сонда берілген бөлшек оның бүтін бөлігі мен дұрыс бөлшектің қосындысына тең болады:

мұндағы - көпмүшелік, ал - дұрыс бөлшек.

Мысал 1. Бұрыс бөлшек берілсін

.

Онда оның алымындағы көпмүшелікті бөліміндегі көпмүшелікке бөлу арқылы (көпмүшелікті көпмүшелікке бөлу ережесі), мынадай қосындыны аламыз:

,

Көпмүшелікті интегралдау қиындық туғызбайды, ал негізгі қиындық дұрыс бөлшекті интегралдауда.

Анықтама. Дұрыс рационал бөлшектер:

1. 

2. ( 2 бүтін оң сан)

3. (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, яғни, ).

4. ( 2 бүтін оң сан; бөлімінің түбірлері комплекс сандар)

I, II, III и IV типтегі қарапайым бөлшектер деп аталады.

I, II и III типтегі қарапайым бөлшектерді интегралдау үлкен қиындық туғызбайды:

IV түрдегі интегралды табу үшін де жоғарыдағыдай түрлендірулердің көмегімен мынадай түрдегі интегралға келеді: . Бөліктеп интегралдау әдісін қолданып, рекуррентті формуланы аламыз: , осы әдісті қайта-қайта қолдана отырып, кестелік интегралға келеміз.

2 Рационал бөлшектерді қарапайым бөлшектерге жіктеу

Кез келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеуге болатынын көрсетелік. Бізге дұрыс рационал бөлшек берілсін Бұл көпмүшеліктердегі коэффициенттер нақты сандар және берілген бөлшек қысқармайтын бөлшек деп алайық.

Теорема 1. саны бөлімінің еселі түбірі болсын, яғни, мұндағы онда берілген дұрыс бөлшек -ті басқа екі дұрыс бөлшектердің қосындысы ретінде былай жаза аламыз:

(1)

мұндағы - нөлге тең емес тұрақты сан, - дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болатын көпмүшелік.

Ары қарай, бөлімінің түбірлері комплекс сандар болатын жағдайды қарастырамыз. Коэффиценттері нақты сандар болатын көпмүшеліктің комплекс түбірлері әрқашанда қос-қостан түйіндес.

Көпмүшелікті нақты коэфицентті көбейткіштерге жіктегенде комплекс түбірлердің әрбір жұбына түріндегі өрнек сәйкес келеді. Егер де комплекс түбірлердің еселігі -ға тең болса, онда оған түріндегі өрнек сәйкес келеді.

Теорема 2. Егер мұндағы көпмүшелігі көпмүшелігіне бөлінбейтін болса, онда дұрыс рационал бөлшегін басқа екі дұрыс бөлшектердің қосындысына жіктеуге болады:

(3)

мұндағы - дәрежесі көпмүшелігінің дәрежесінен кіші көпмүшелік.

Теорема 1 мен 2-нің нәтижелерін дұрыс бөлшегіне қолданып, бөлімі -тің барлық түбірлеріне сәйкес барлық қарапайым бөлшектерді бөліп аламыз. Сонымен, алдыңғы айтқандардан мынадай нәтижелер шығады.

Егер

болса, онда бөлшегін былай жаза аламыз:

(5)

коэффиценттерін табу үшін: жоғарыдағы теңдік тепе-теңдік болғандықтан, теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіре отырып, оң жағы мен сол жағы өзара тең бөлшектер аламыз. Оның бөлімдері тең болғандықтан, алымдарын теңестіреміз. -тің бірдей дәрежелі коэффиценттерін теңестіріп, белгісіз коэффициенттері бар теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл әдіс белгісіз коэффиценттер әдісі деп аталады.

Коэффициенттерді анықтауда мынадай ескертуді ескерген жөн: оң жағын ортақ бөлімге келтіргеннен кейінгі оң жағы мен сол жағының алымдары тепе-тең болғандықтан, олар -тің кез келген мәнінде де тепе-тең болуы керек. -ке дербес мәндер беру арқылы коэффициенттерді анықтайтын теңдеулер аламыз.

Сонымен, кез келген рационал дұрыс бөлшекті қарапайым рационал бөлшектердің қосындысы түрінде жаза аламыз.

Мысал 2. бөлшегін қарапайым бөлшектерге жіктейік.

(5) негізінде: аламыз. Ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын теңестірсек: (6)

немесе

(бос мүше) коэффиценттерін теңестіре отырып, мынадай теңдеулер жүйесін аламыз:

Жүйені шешсек: .

Мысал 3.

-тың коэффиценттерін теңестірсек:

Жоғарыдағы айтылғандардан, біз кез келген рационал функцияның элементар функциялар арқылы интегралданатынын анықтадық.

3. Тригонометриялық функцияларды интегралдау

Бұл бөлімде біз

,

түріндегі интегралды табу әдістерін қарастырамыз, мұндағы - - ға қатысты рационал функция.

Мұндай түрдегі интегралдар айнымалыны универсал ауыстыру көмегімен

,

рационал функцияларды интегралдауға әкелеміз. Шынында да,

бөлшектің алымы мен бөлімін -қа бөлеміз = .

.

болғандықтан, .

Нәтижесінде:

мұндағы - рационал функция.

Мысал 4.

.

Көрсетілген әдіс интеграл астындағы өрнек және айнымалыларын ұстайтын кез келген функция үшін қолданылмайды, себебі кей жағдайларда бұл белгілеу өте үлкен өрнектерге әкеп соғуы мүмкін. Онда біз мынадай белгілеуді қолданамыз.

. Егер интеграл астындағы функция косинус бойынша тақ болса, яғни, болса, онда оны мынадай түрлендіруге әкелеміз:

,

одан кейін интегралда жаңа айнымалысын енгізсек, ол рационал функцияға тәуелді интегралға әкеледі:

.

Мысал 5.

.

. Егер интеграл астындағы функция синус бойынша тақ болса, яғни,

болса,

онда оны мынадай түрлендіруге әкелеміз:

,

одан кейін интегралда жаңа айнымалысын енгізсек, ол рационал функцияға тәуелді интегралға әкеледі:

.

. Егер интеграл астындағы функция

теңдігін қанағаттандырса, онда оны мынадай түрлендіруге әкелеміз:

,

одан кейін интегралда айнымалыны ауыстырсақ:

, , ,

Онда рационал функцияның интегралына әкеледі.

Мысал 6.

.

4⁰. Мына түрдегі интегралдар:

, мұндағы m, n – тұрақты сандар, берілсе, онда интеграл астындағы функция мына формулалардың көмегімен синус пен косинустардың қосындысына келеді:

Мысал 7.

5⁰. түріндегі интеграл, мұндағы m және n – кез келген бүтін көрсеткіштер.

1). Егер тым болмағанда m немесе n көрсеткіштерінің біреуі тақ бүтін оң сан болса, мысалы , онда деп белгілейміз:

Пример 8.

2) Егер m және n көрсеткіштерінің екеуі де жұп, оң, бүтін сан болса, онда мына формулаларды қолданған жөн:

.

Мысал 9.

.

4. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау

Рационал емес функциялардың интегралдарын айнымалыны ауыстыру арқылы рационал функцияларға келтіруге болатын жағдайларды қарастырамыз.

1 жағдай. есепте, мұндағы a,b,c,d – тұрақты сандар, m- натурал сан, ad-bc≠0, R(x,y)- рационал функция.

белгілеуі интеграл астындағы өрнекті рационал функцияға әкелетіндігін көрсетеміз. Шынында да, болғандықтан,

, мұндағы - рационал функция.

Мысал 10. интегралын есепте.

Мынадай белгілеу енгіземіз: нәтижесінде:

Бұл түрдегі интегралдарға интегралы да жатады, белгілеуінің арқасында интеграл астындағы өрнек рационал функцияға келеді, мұндағы k – барлық х бөлшек көрсеткіштерінің ортақ бөлімі.

Мысал 11. тап. Мынадай белгілеу енгізсек:

х айнымалысына қайта оралсақ, ізделінді интегралдың жауабына келеміз:

2 жағдай. Мына түрдегі интеграл астындағы иррационал функцияны тригонометриялық ауыстыруларды қолданып, рационал функцияның интегралына әкелеміз:

;

;

Мысал 12.

3 жағдай. Интеграл интегралын шешу үшін белгілеуін енгіземіз.

Мысал 13. тап.

Мына белгілеулерді енгізсек , онда

Аудиториялық жұмыстар

I. Келесі интегралдарды есепте:

1. ; ( Жауабы: )

2. ; ( Жауабы: )

3. ; ( Жауабы: )

4. ; ( Жауабы: )

5. ; ( Жауабы: )

II. Анықталмаған интегралдарды есепте.

1.

2.

3.

4.

5.

III. Берілген анықталмаған интегралдарды есепте.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

5. Өз бетімен шығаруға арналған есептер

I. Интегралдарды есепте:

1. ; ( Жауабы: )

2. ; (Жауабы: )

3. ; (Жауабы: )

4. ; (Жауабы: )

II. Анықталмаған интералдарды тап.

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

III. Анықталмаған интералдарды тап.

.

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

Сұрақтар

1. Қарапайым бөлшектерді интегралдау.

2. Рационал функцияларды интегралдау.

3. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

4.Кейбір алгебралық иррационал функцияларды интегралдау.

Әдебиеттер

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.:Наука, 1988г.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.:Наука, 1985г.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2, М.: Высшая школа, 1981г.

4. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров.М.: Высшая школа,1997 .

5. ИДЗ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Под редакцией Рябушко А.П., ч.1,2 Минск, «ВШ», 2002г.