Бірінші ретті инволюциялы теңдеулерді айқындау.

Б. Б. Ақылбекова – «Математика» пәнінің оқытушысы.

«Түркістан Ахмет Ясауи» кәсіби колледжі

(-1 , 1) интервалда келесі теңдеуді қарастырайық ;

(1.1.1)

Бұл жерде - нақты сандар, - берілген функция , ал - деп -функциясының -нүктесіндегі мәнін айтамыз.

Егер (1.1.1) – теңдікте нүктесін -нүктесімен алмастыратын болсақ, онда ;

(1.1.2)

теңдігін аламыз.

(1.1.1) және де (1.1.2) теңдіктерінің оң және сол бөліктерін қосатын болсақ , нәтижесінде келесі өрнек шығады;

(1.1.3)

Және осы секілді

(1.1.4)

теңдігін де аламыз.

Егер ,

,

Белгілеулерін енгізетін болсақ, онда (1.1.3)-теңдеуінен

, (1.1.5)

Олай болса, (1.1.4) – теңдеуінен ;

, (1.1.6)

Түріндегі дифференциалдық теңдеулерге те боламыз. Бұл жерде берілген теңдеу өзімізге ыңғайлы болуы үшін ;

(1.1.5) және (1.1.6) – көріністегі теңдеулердің жалпы шешімін анықтап, табу үшін келесі леммадан пайдаланамыз;

Лемма 1.1. Егер - интегралданатын функция болатын болса, онда

(1.1.7)

Теңдеуінің жалпы шешімі келесідей

формуласымен анықталады. Мұндағы - кез-келген тұрақты .

Осы лемманың нәтижесінен пайдаланар болсақ,, онда (1.1.5) – теңдеуінің шешімін

,

Ал (1.1.6) - теңдуінің шешімін

формуласымен анықтауға болады , - тұрақты шамалар.

Егер болатынын ескерер болсақ, онда (1.1.1) – теңдеуінің жалпы шешімі

Түрінде анықталады. Соңғы өрнекті ықшамдайық. - деп белгілеуге болады. Мұнымен қоса ;

Сонымен, теңдігінен

(1.1.8)

Енді (1.1.1) – теңдеуге қосымша

(1.1.9)

Коши шартын қарастырайық. Бұл жерде - берілген нақты сан.

(1.1.7)- формулада деп онда деп есептесек, онда

у (1.1.9)

Демек, (1.1.1), (1.1.9) шарттарымен берілген есептің шешуі

(1.1.10)

(1.1.10) – теңдігімен анықталған функция (1.1.1) – теңдеуін қанағаттандыратындығын тексеріп көрелік ;

,

Бұдан,

Сонымен ,

Және

яғни (1.1.8) – формуласымен анықталатын - функциясы (1.1.1) , (1.1.9) есебінің берілген шарттарын қанағаттандырады.

Осы зерттеулердің негізінде біз келесі

(1.1.11)

(1.1.12)

Түрінде берілген есепті қарастыруымызға да болады.

(1.1.1) – теңдігінен нүктесін нүктесіне ауыстыратын болсақ, онда,

, (1.1.14)

, (1.1.15)

(1.1.14) – теңдеудің жалпы шешімі

(1.1.16)

Формуласымен анықталады. Сол сияқты

(1.1.17)

Функциясы (1.1.15) – теңдеудің жалпы шешімі болады. Бұл жерде - кез-келген түрақтылар , ал , .

Олай болса,

.

Егер деп есептесек , онда

;

Ары қарай

.

Сонымен, (1.1.11) – теңдеудің жалпы шешімі

(1.1.18)

формуламен анықталады.

(1.1.18) – формуласымен анықталған функциясы (1.1.11) – теңдеуін қанағаттандыратындығын көрсетелік.

Оның үшін функциясын қарастырамыз. Бұл функция үшін ;

;

Бұдан,

Демек,

Осы шыққан нәтижені және жағдайларға қолдансақ, онда (1.1.18) – формуламен анықталған функция (1.1.11) – теңдеудің жалпы шешімі болатыны келіп шығады. Егер (11.18) – теңдікте десек, онда

Сонымен, келесі теорема дәлелденді.

Пайдаланылған әдебиеттер:

Kopzhasarova A., Lukashov A.L., Sarsenbi A. Spectral properties of nonself-adjoint perturbations for a spectral problem with involution // Abstract and Applied Analysis. - 2012. - Vol. 2012. - P. 5.

Kritskov L. V., Sadybekov M. A.; Sarsenbi A.M. Properties in L-p of root functions for a nonlocal problem with involution // Turkish Journal of  Mathematics, 43(1) (2019), C.1604–1625.
Sarsenbi A.M., Tengaeva A.A. On the basis properties of root functions of two generalized eigenvalue problems // Differential Equations. - 2012. — Vol. 48(2). - P. 306-308.
Sarsenbi A.M. Unconditional bases related to a nonclassical second-order differential operator // Differential Equations. - 2010. - Vol. 46(4). - P. 509-514.