Бірінші ретті инволюциялы теңдеулерді
айқындау.
Б. Б. Ақылбекова –
«Математика» пәнінің
оқытушысы.
«Түркістан Ахмет Ясауи» кәсіби колледжі
(-1 , 1) интервалда келесі теңдеуді қарастырайық
;
(1.1.1)
Бұл жерде 
- нақты сандар, 
- берілген функция , ал
- деп 
-функциясының 
-нүктесіндегі мәнін
айтамыз.
Егер (1.1.1) – теңдікте 
нүктесін 
-нүктесімен алмастыратын болсақ, онда
;
(1.1.2)
теңдігін аламыз.
(1.1.1) және де (1.1.2) теңдіктерінің оң және сол
бөліктерін қосатын болсақ , нәтижесінде келесі өрнек
шығады;
(1.1.3)
Және осы секілді
(1.1.4)
теңдігін де аламыз.
Егер ,
, 
Белгілеулерін енгізетін болсақ, онда
(1.1.3)-теңдеуінен
, 
(1.1.5)
Олай болса, (1.1.4) – теңдеуінен ;
, 
(1.1.6)
Түріндегі дифференциалдық теңдеулерге те
боламыз. Бұл жерде берілген теңдеу өзімізге ыңғайлы болуы үшін
;
(1.1.5) және (1.1.6) – көріністегі теңдеулердің
жалпы шешімін анықтап, табу үшін келесі леммадан
пайдаланамыз;
Лемма 1.1. Егер 
-
интегралданатын функция болатын болса, онда
(1.1.7)
Теңдеуінің жалпы шешімі келесідей
формуласымен анықталады. Мұндағы
- кез-келген тұрақты
.
Осы лемманың нәтижесінен пайдаланар болсақ,,
онда (1.1.5) – теңдеуінің шешімін
,
Ал (1.1.6) - теңдуінің шешімін
формуласымен анықтауға болады , 
- тұрақты шамалар.
Егер 
болатынын ескерер болсақ, онда (1.1.1)
– теңдеуінің жалпы шешімі
Түрінде анықталады. Соңғы өрнекті
ықшамдайық. 
- деп белгілеуге
болады. Мұнымен қоса ;
Сонымен, 
теңдігінен
(1.1.8)
Енді (1.1.1) – теңдеуге қосымша
(1.1.9)
Коши шартын қарастырайық. Бұл жерде 
- берілген нақты сан.
(1.1.7)- формулада 
деп онда деп есептесек,
онда
у (1.1.9)
Демек, (1.1.1), (1.1.9) шарттарымен берілген есептің
шешуі
(1.1.10)
(1.1.10) – теңдігімен анықталған функция (1.1.1)
– теңдеуін қанағаттандыратындығын тексеріп көрелік ;
,
Бұдан,
Сонымен ,
Және
яғни (1.1.8) – формуласымен анықталатын
- функциясы (1.1.1) , (1.1.9)
есебінің берілген шарттарын қанағаттандырады.
Осы зерттеулердің негізінде біз
келесі
(1.1.11)
(1.1.12)
Түрінде берілген есепті қарастыруымызға да
болады.
(1.1.1) – теңдігінен 
нүктесін 
нүктесіне ауыстыратын болсақ,
онда,
, 
(1.1.14)
, 
(1.1.15)
(1.1.14) – теңдеудің жалпы шешімі
(1.1.16)
Формуласымен анықталады. Сол сияқты
(1.1.17)
Функциясы (1.1.15) – теңдеудің жалпы шешімі
болады. Бұл жерде 
- кез-келген түрақтылар , ал
, 
.
Олай болса,
.
Егер 
деп есептесек , онда
;
Ары қарай
.
Сонымен, (1.1.11) – теңдеудің жалпы шешімі
(1.1.18)
формуламен анықталады.
(1.1.18) – формуласымен анықталған 
функциясы (1.1.11) – теңдеуін
қанағаттандыратындығын көрсетелік.
Оның үшін 
функциясын қарастырамыз. Бұл функция
үшін ;
;
Бұдан,
Демек,
Осы шыққан нәтижені 
және 
жағдайларға қолдансақ, онда (1.1.18) –
формуламен анықталған 
функция (1.1.11) – теңдеудің жалпы
шешімі болатыны келіп шығады. Егер (11.18) – теңдікте
десек, онда
Сонымен, келесі теорема дәлелденді.
Пайдаланылған әдебиеттер:
Kopzhasarova A., Lukashov
A.L., Sarsenbi A. Spectral properties of nonself-adjoint
perturbations for a spectral problem with involution
// Abstract and Applied Analysis. - 2012. - Vol. 2012. - P.
5.
Kritskov L. V., Sadybekov
M. A.; Sarsenbi A.M. Properties in L-p of root functions for a
nonlocal problem with involution // Turkish Journal
of Mathematics, 43(1) (2019),
C.1604–1625.
Sarsenbi A.M., Tengaeva A.A. On the basis properties of
root functions of two generalized eigenvalue problems //
Differential Equations. - 2012. — Vol. 48(2). - P.
306-308.
Sarsenbi A.M. Unconditional bases related to a nonclassical
second-order differential operator // Differential Equations.
- 2010. - Vol. 46(4). - P. 509-514.
