ӘӨЖ 517.95

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДЕ ОПЕРАЦИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕР ӘДІСІН ҚОЛДАНУДЫҢ МАҢЫЗДЫЛЫҒЫ

Абулхаир Ә.Ж., Амангелді Б.А., Молшылықова А.Ө., М.Х.Дулати атындағы Тараз университетінің «Математика мұғалімдерін даярлау» мамандығының 4 курс студенттері, Тараз қ., abulkhairovaasel@mail.ru, balnur.almasovna@bk.ru, molshylykovaaaaa@mail.ru Чанбаева А.И., доцент міндетін атқарушы, PhD докторы, Тараз қ., ai.chanbayeva@dulaty.kz

Аннотация: Бұл мақалада операциялық есептеулер әдісінің мәні ашылып, дифференциалдық теңдеулерді шешудегі тиімділігі теориялық және практикалық тұрғыдан талданады. Лаплас түрлендіруіне негізделген әдістің ерекшеліктері мен артықшылықтары нақты мысал арқылы сипатталып, дәстүрлі әдістермен салыстырмалы талдау жасалады.

Кілтті сөздер: дифференциалдық теңдеу, операциялық әдіс, Лаплас түрлендіруі, шешу тәсілдері, тиімділік, есеп, модельдеу.

Дифференциалдық теңдеулер — математиканың және қолданбалы ғылымдардың ажырамас бөлігі. Олар физика, инженерия, экономика сияқты салаларда әртүрлі құбылыстар мен үрдістерді сипаттау үшін кеңінен қолданылады. Дәстүрлі шешу әдістерімен қатар соңғы уақытта операциялық есептеулер әдісі ерекше қызығушылыққа ие болуда. Бұл әдіс әсіресе тұрақты коэффициенттері бар сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін тиімді және жылдам шешуге мүмкіндік береді.

Операциялық есептеулер әдісінің негізі: Операциялық әдіс — Лаплас түрлендіруіне негізделген аналитикалық әдіс. Бұл тәсіл күрделі дифференциалдық теңдеулерді алгебралық теңдеулерге айналдырып, олардың шешуін жеңілдетеді. Бұл әдіс келесі қадамдардан тұрады:

1. Теңдеуді Лаплас түрлендіруі арқылы s-аймағына көшіру.

2. Алгебралық теңдеуді шешу.

3. Алынған шешуді кері Лаплас түрлендіру арқылы уақыт аймағына қайта көшіру.

Операциялық және дәстүрлі әдістердің салыстырмасы төмендегі кестеде көрсетілген.

Операциялық есептеулер әдісінің қолдану салалары:

• Электротехникада (RLC тізбектерінің талдауы),

• Механикада (тербеліс теңдеулері),

• Басқару теориясында (сигналдар мен жүйелердің жауаптарын табу),

• Автоматты жүйелер мен модельдеуде жиі қолданылады.

Дифференциалдық теңдеулерді шешудің операциялық әдісін алғаш рет XIX ғасырдың соңында О.Хевисайд инженерлік есептерге қолдана бастаған. Ол инженерлік есептерде туындайтын дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін туындыларды "оператор" ретінде қарастырып, есептеуді оңайлатуды мақсат етті. Кейіннен бұл идеяны француз математигі Лаплас жетілдіріп, теориялық негізін қалыптастырды.

Бірақ бұл тәсілдің теориялық негізі XX ғасырда Лаплас түрлендіру теориясымен толық айқындалды. Лаплас түрлендіруі уақыт аймағындағы дифференциалдық қатынастарды жиілік аймағындағы алгебралық қатынастарға айналдырады, бұл – есептеулердің негізгі артықшылығы.

Лаплас түрлендіруінің анықтамасы:

Бұл түрлендірудің көмегімен туындысы бар кез келген функцияны s-аймағында оңай қарастыруға болады.

Лаплас түрлендіру кестесі:

Лаплас түрлендіруінің қасиеттері:

Сызықтылық:

Дифференциал үшін:

Теорема (Ауыстыру теоремасы):

Артықшылықтары:

• Жоғары ретті теңдеулер үшін есептеу процесін жеңілдетеді;

• Бастапқы шарттарды есептеу кезінде ыңғайлы;

• Жүйелік модельдеуге қолайлы;

• Компьютерлік жүйелермен біріктіріп қолдану оңай.

Шектеулері:

• Лаплас түрлендіруі барлық функциялар үшін қолданылмайды (мысалы, экспоненциалды түрде шексіз өсетін функциялар);

• Физикалық мағынасы кей жағдайда интуитивті емес болуы мүмкін;

• Кері Лаплас түрлендіруін табу қиындық тудыруы мүмкін, әсіресе күрделі бөлшек рационал функциялар болғанда.

Берілген теңдеу:

Шешуі:

1. Лаплас түрлендіру қолданамыз:

2. Y(s)-ті шығарамыз:

3. Кері Лаплас түрлендіру арқылы:

Бұл шешім уақыттық доменде жүйенің резонанстық тербелісін сипаттайды. Бұл әдістің жоғары білім беру жүйесінде, әсіресе инженерлік математика және физикалық процестерді модельдеу пәндерінде үйретілуі — маңызды тәжірибелік дағды.

Электр тізбектерде қолдану:

Мысалы, LRC тізбегіндегі токтың уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын теңдеу:

• Механика: Соққы әсері, тербеліс теңдеулері

• Экономика: Теңгерімдік модельдерде уақытша кідіріс бар жүйелер

Бұл теңдеуді операциялық әдіспен шешу арқылы токтың уақыт бойынша заңдылығын табуға болады, бұл — электроникада сигналдарды өңдеудің негізі.

Бағдарламалық құралдарда қолдану мүмкіндіктері:

MATLAB, Maple, Mathematica, Python (SymPy) арқылы операциялық әдіспен шешім табу мысалын қосуға болады.

Салыстырмалы мысалдар бөлімі:

Мақсаты: бір теңдеуді екі әдіспен (дәстүрлі және операциялық) шешіп, салыстыру. Мысалы:

• Дәстүрлі әдіспен: сипаттамалық теңдеу, жеке және жалпы шешім.

• Операциялық әдіспен: Лаплас түрлендіру, Y(s) табу, кері түрлендіру.

• Екі әдіспен алынған шешімдерді салыстыру.

Операциялық есептеулер әдісін меңгеру — студенттердің логикалық, алгоритмдік және модельдеу қабілетін дамытады. Бұл әдіс әсіресе болашақ инженерлер мен ақпараттық жүйелер мамандарына қажет.

Студентке арналған практикалық ұсыныстар:

Бұл әдіс жоғары оқу орнында оқытылатын "Жоғары математика", "Техникалық физика", "Сигналдар және жүйелер" пәндерінде жиі кездеседі. Студенттерге дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін графикпен талдау және инженерлік есептерді модельдеу үшін MATLAB, Mathcad, Python (SymPy) сияқты құралдармен жұмыс істеу ұсынылады. Әдістің болашақтағы дамуы, цифрлық симуляцияға интеграциясы, IT саласымен байланысы жайлы ой қосу.

Практикада студенттер көбіне кері Лаплас түрлендіруді табу кезінде қиналады. Сонымен қатар, егер бастапқы шарттар нақты берілмесе немесе F(s) функциясы бөлшек-рационалды емес болса, шешім табу қиындай түседі. Сондықтан түрлендіру кестесімен жұмыс істеу және парциалдық жіктеу әдістерін жақсы меңгеру – маңызды дағды.

Дифференциалдық теңдеулер тек математикамен шектелмейді. Операциялық әдіс физикада – тербеліс пен толқындарды модельдеуде, информатикада – алгоритмдік жүйелерде, биологияда – популяцияның өсу моделі сияқты табиғи процестерді сипаттауда қолданылады. Бұл әдісті пәнаралық зерттеу дағдыларын дамыту құралы ретінде де қарастыруға болады.

Жоғарыда көрсетілгендей, операциялық есептеулер әдісі — дифференциалдық теңдеулерді тиімді шешудің қуатты құралы. Оның көмегімен инженерлік, техникалық және ғылыми есептер жеңіл әрі дәл шешіледі. Әсіресе уақыт үнемдеу мен күрделі теңдеулер жүйесін шешуде бұл әдістің орны ерекше. Болашақта бұл әдісті компьютерлік модельдеу мен цифрлық симуляциямен біріктіре отырып жаңа деңгейге көтеруге болады.

Терминологиялық сөздік (мақала соңына қосымша):

Бұл зерттеуді жүргізу барысында дифференциалдық теңдеулердің құрылымына, шешу әдістерінің ерекшеліктеріне және нақты есептеулердің мәніне терең бойлауға мүмкіндік туды. Операциялық әдіс – болашақ инженерлер мен зерттеушілерге қажетті құрал екенін байқадық.

Келешекте операциялық әдістерді жасанды интеллект жүйелерімен интеграциялау, автоматтандырылған симуляциялар жасау, жоғары ретті жүйелерге арналған әмбебап шешім әдістерін дамыту — зерттеу үшін өзекті бағыттардың бірі болмақ.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Қоңырбаева Л.М. Дифференциалдық теңдеулер және олардың қолданылуы. – Алматы: Рауан, 2020.

2. Тыныбекова Қ.Т. Математикалық анализ және дифференциалдық теңдеулер курсы. – Алматы: Білім, 2019.

3. Абдраманова А.М. Операциялық есептеулер әдісі және Лаплас түрлендіруі. // Қазақ ұлттық университетінің хабаршысы, 2022. – №2. – Б. 35–42.

4. Қарабаев Н.А. Жоғары математика курсы. – Алматы: Қазақ университеті, 2021.

5. Жұмабеков Ә. Лаплас түрлендіруі және инженерлік есептердегі қолданылуы. – Нұр-Сұлтан: Ұлағат, 2020.

6. Boyce, W.E., DiPrima, R.C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. – Wiley, 2017.

7. Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. – 10th edition. – New York: Wiley, 2011.