Мақала Математикада туындыны есептеу әдістері

Математикада туындыны есептеу әдістері

Аннотация: бұл мақалада туынды ұғымының шығу тарихынан бастап, оны зерттеген ғалымдар туралы, сонымен қатар туындының анықтамасы және есептеу әдістері туралы баяндалады. Қарапайым функциялардың туындылары мен күрделі функциялардың туындылары түсінікті әрі нақты түрде шығарылып көрсетілген.

Кілт сөздер: туынды, дифференциал, геометрия, пропорция, функция.

Туынды ұғымының тарихы математикалық талдау мен есептеудің дамуымен тығыз байланысты. Туынды ұғымы қазіргі математикада маңызды орынға ие болғанымен, оның қалыптасуы ұзақ уақыт пен бірнеше ұлы математиктердің еңбегін талап етті. Ендеше туынды ұғымының тарихына қысқаша шолу жасап өтейік:

1. Ежелгі дәуірде (б.з.д. 300) грек математигі Евклидтің геометриясында пропорцияларды есептеп шығару кейбір туындыға ұқсас концепцияларды қамтыған.

2. Туынды ұғымының нақты анықтамасы 17 ғасырда пайда бола бастады. Сол себепті 17 ғасырды дамудың маңызды кезеңі деп атады.

Исаак Ньютон (1642–1727) және Готфрид Лейбниц (1646–1716): Есептеу саласының негізін қалаушылар ретінде Ньютон мен Лейбниц туынды ұғымының математикалық негіздерін қалаған. Ньютон механикадағы жылдамдық пен үдеу ұғымдарын зерттеп, туындыны физикалық процестерге қолданды. Лейбниц өз кезегінде дифференциалдық есептеуді математикалық тұрғыдан дамытты және біз әлі күнге дейін қолданатын туындының символдық жазылу жүйесін ұсынды.

3. 18-19 ғасырларда туындының идеяларын түсініп алған соң ғалымдар теориялық дамуға көбірек назар аудара бастады:

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813): Лагранж туынды ұғымын математикалық тұрғыдан әрі қарай дамытып, оны талдаудың жалпы әдісі ретінде қарастырды. Ол функциялардың туындысын табу әдістерін жетілдірді.

Августин Луи Коши (1789–1857): Коши математикалық анализді қатты негіздеді және туындыны шек ұғымы арқылы анықтады. Оның арқасында туындының қатаң математикалық анықтамасы жасалды, бұл қазіргі кездегі талдау теориясының негізі болды.

Карл Вейерштрасс (1815–1897): Вейерштрасс шектерге негізделген талдау әдістерін енгізді және функциялардың үздіксіздігі мен дифференциалданушылығын зерттеді. Ол туындыны анықтаудың заманауи көзқарастарын қалыптастырды.

Туындының тарихы математиканың біртіндеп дамуымен бірге жүрген ұзақ процесс болды. Ежелгі грек математиктерінің идеялары кейінгі ғасырлардағы ұлы ғалымдар арқылы жетілдіріліп, қазіргі математикалық талдаудың маңызды құралдарының біріне айналды. Бүгінгі таңда туынды физикада, экономикада, инженерияда және басқа да көптеген ғылымдарда кеңінен қолданылады.

Анықтама. нүктесіндегі функция өсімшесі -тің аргумент өсімшесі -ке қатынасының -тің нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда ол шекті функциясының нүктесіндегі туындысы деп атайды да символдарының бірімен белгілейді. Демек,

(1)

туындысы бар болуы үшін және туындыларының бар болуы және өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

Функцияның туындысын табу амалы дифференциалдау деп, нүктесінде туындысы бар функцияны осы нүктеде дифференциалданатын функция деп атайды. Аралықтың әрбір нүктесіндегі дифференциалданатын функция осы аралықта дифференциалданатын функция деп аталады. Егер аралық кесіндісі болса, онда а нүктесінде оң жақ, b нүктесінде сол жақ туынды болуы тиіс.

Туынды табудың негізгі ережелері:

Егер және функциялары нүктесінде дифференциалданатын функциялар, ал С-тұрақты шама болса, онда:

Ең қарапайым функциялар туындылары:

Енді осы кестенің көмегімен шығарылатын мысалдар қарастырайық.

1-мысал: функциясының туындысын таблицалық туындылар көмегімен табу керек.

Шешуі: Кестедегі формула бойынша есебімізді шығарып көрейік:

2-мысал: функциясының туындысын табу керек.

Шешуі: Бұл түрде берілген функция күрделі функция деп аталады. Туындысын табу үшін алдымен дәреже арқылы, содан кейін барып жақша ішінен туынды аламыз:

3-мысал: функциясының туындысын табу керек.

Шешуі: Біз жоғары жақта туынды табудың негізгі ережелері туралы айтып өткен болатынбыз. d формуласы бойынша есебімізді шығарып көрейік:

4-мысал: функциясының туындысын табу қажет болсын.

Шешуі: Есептің алымында х болмағандықтан 2 саны жәй ғана тұрақты сан. Ал бөлімінде тұрған өрнекті алымына теріс дәрежемен шығара аламыз. Содан кейін ғана күрделі функцияны туындылап, есебіміздің жауабын аламыз:

Қолданылған әдебиеттер

1. Махмеджанов Н.М. Жоғары Математика есептерінің жинағы. –Алматы: Дәуір, 2008. –392 б.

2. Жəутіков О.А. Математикалық анализ курсы.– Алматы: Экономика, 2014. - 832 б.

3. Отаров Х.Т. Математикалық анализ: Оқулық. –Алматы: Экономика, 2012. –536 б.