Мақала: МЕКТЕПТЕГІ ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДАҒЫ ПАРАМЕТРЛІ МАЗМҰНДЫ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУ

ӘӨЖ

Акенева Асем Жумагалиевна

Ж. Болғанбаев атындағы Самар

орта мектебінің математика пәні мұғалімі

МЕКТЕПТЕГІ ГЕОМЕТРИЯ

КУРСЫНДАҒЫ ПАРАМЕТРЛІ МАЗМҰНДЫ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУ

Мектеп оқушыларының, тіпті студент – математиктердің де геометриялық есептерді нашар шығаратындығы белгілі. Оның бірнеше себебі бар. Біріншіден геометриялық есеп оқушыдан шығармашылық қасиеттерді талап етеді. Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмайды. Үшіншіден геометрияның оқулықтары мен есептіктердің мазмұнымен де байланысты.

Геометрияда параметрлік мазмұнды есептер алгебралық параметрлі есептерден өзгешелігі оның мәтініндегі сөйлемдермен, сөздермен, терминдермен айрықшаланады. Мысалы, геометриялық фигураның өлшемін білдіретін параметрдің қандай мәнінде (биіктік, қабырғасының ұзындығы, бұрыш, аудан, көлем, периметр және т.б.) деп келсе, ал екінші сипаттамасы белгілі бір шарттарды (өзара тең, ең үлкен немесе ең кіші болады, берілген аралықта жатады және т.б.) қанағаттандырады.

«Алгебралық» параметрлі геометриялық мазмұнды есептерді шешу жолдарын қарастырайық.

Есеп №1. Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі Р, ал бір қабырғасының ұзындығы а-ға тең. Үшбұрыштың екінші қабырғасының ұзындығын табыңыз. Параметр а-ның әр түрлі мәнінде есептің неше шешімі болады?

Шешуі.

1. Егер а – үшбұрыштың табаны болса, онда бүйір қабырғасы 0,5(Р-а). Үшбұрыштың теңсіздігін пайдаланып, мына жүйеге көшуге болады.

Бірінші теңсіздік үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы әрқашанда оң сан болатынын көрсетеді.

2. Егер а – үшбұрыштың бүйір қабырғасы болса, онда табаны – (Р-2а).

Жауабы: 1) 0,25Р ˂ а ˂ 0,5Р аралығында есептің екі шешімі бар:

а, 0,5(Р-а), 0,5(Р-а) және а, а, Р-2а;

2) 0 ˂ а ˂ 0,25Р аралығында есептің бір ғана шешімі болады:

а, 0,5(Р-а), 0,5(Р-а).

3) а≤0 немесе а≥0,5Р болғанда есептің шешімі жоқ.

Мұндағы параметр үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы ғана емес, оның қандай қабырға, яғни не табаны, не бүйір қабырғасын анықтауды көздейді.

Есеп №2. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышының биссектрисасы бүйір қабырғасын сүйір бұрыш жасап қияды. Үшбұрыштың бұрышын табыңыз. Параметр – ның қандай мәндерінде есептің екі шешімі болады?

Шешуі. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышын 2х деп аламыз.

1. Егер болса, онда х+2х+ =180°, бұдан шығады және ∠В=120°- . ∠В ˂ 90°, ендеше ˃ 45°.

2. Егер ∠2= болса, онда бұл бұрыш ABD үшбұрышының сыртқы бұрышы және өзімен сыбайлас емес ішкі екі бұрыштың қосындысына тең екені белгілі. Яғни, х= Бұдан шығады ∠В= , ал ∠С= Шарт бойынша ∠В˂90°, ендеше ˂135°

Жауабы: 1) болса, осы есептің екі шешімі бар: ∠А=∠В=120°-

Екі есеп те 7 сыныптағы « Тең бүйірлі үшбұрыш» тақырыбындағы жалпылау есептеріне жатады. Екінші есепте де екі параметр қарастырылған: алгебралық ( ), геометриялық (бұрыштар ∠1 және ∠2).

Есеп №3. Тең бүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы -ға тең. -ның қандай мәндерінде есептің бір, екі шешімі болады?

Шешуі.

1. Егер тең бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышының шамасы болсын. Онда табанындағы бұрыштар өзара тең, шамасы 90°-0,5 болады.

2. Егер тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышының шамасы болса, онда олар өзара тең болғандықтан, төбесіндегі бұрыштың шамасы 180°-2 болады.

Жауабы: 1) 0°˂ ˂90° аралығында есептің 2 щещімі бар:

2) 90°≤ ˂180° болғанда, есептің бір ғана шешімі бар:

.

3) ≥180° болса, есептің шешімі жоқ.

Параметр ретінде үшбұрыштың бұрышы ғана емес, оның табанындағы бұрыш, не табанына қарама-қарсы төбесіндегі бұрыш екені де ескеріледі. Алынған есеп «Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы» тақырыбына берілген есептер жүйесін жалпылау деуге болады.

Есеп №4. Гипотенузасы с тік бұрышты үшбұрыш берілген. Сүйір бұрышы -ның қандай мәндерінде үшбұрыштың ауданы ең үлкен болады?

Шешуі. АВ=с, ∠А= , ∠С=90° болсын. АС=с·cos , ВС=с·sin тең болса, онда S=

Жауабы:

«Геометриялық» параметрлі мазмұнды есептерді қарастырайық.

Есеп №5. АВ кесіндісін қамтитын түзудің бойынан АС=с, АВ=а болатындай С нүктесі алынған. ВС кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Шешуі. Түзу бойындағы үш нүктенің тек қана біреуі қалған екеуінің ортасында жатады. Сондықтан есепті шешу үшін үш жағдай қарастырылады.

1. А нүктесі В және С нүктелерінің ортасында жатсын. Кесінділерді өлшеу аксиомасы бойынша ВС=ВА+АС, бұдан шығады ВС=а+с.

2. В нүктесі А және С нүктелерінің ортасында жатсын. Онда АС=АВ+ВС, бұдан шығады ВС=с-а.

3. С нүктесі А және В нүктелерінің ортасында жатсын. АВ=АС+СВ, бұдан шығады ВС=а-с.

2,3 жағдайлар сәйкес келмеуі мүмкін, себебі кесіндінің ұзындығы әрқашанда оң сан.

Жауабы: ВС=а+с және ВС=|а-с|.

Аталмыш есептегі параметр мына қасиет «Түзу бойындағы үш нүктенің тек қана біреуі қалған екеуінің ортасында жатады»

Есеп №6. ∠(ab) төбесінен с сәулесі жүргізілген. Егер ∠(ab)= , ∠(bc)= болса, онда ∠(ас) неге тең?

Бұл есептегі ∠(ab) жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. Яғни есептің екі шешімі бар деген сөз.

Қорыта келгенде параметрлік есептерді шеше білу қазіргі таңда өзекті мәселе болап табылады. Мектептегі математика курсының барлық мазмұндық желілері параметрмен берілген есептерді қамтиды, оларды шешу көбінесе теңдеу мен теңсіздіктерді құрумен аяқталады, оны құрастыруға индуктивті де, дедуктивті де әдістер қолданылады. талқылау нәтижесінде қандай да бір формула, график, алгоритм және т.б. шығарып алғанда модельдеу ісімен айналысуға тура келеді.

Параметрмен берілген практикалық мазмұндағы есептерді зерттеу әдетте қарастырылатын объектінің барынша қарапайым математикалық моделін құрастыру мен талдаудан басталады. Бірақ, одан кейін модельді нақтылау, оны объектіге толығырақ сәйкестендіру қажеттігі жиі кезігеді. Бұл барынша дәл келу талабымен, объекті туралы математикалық модельде көрсетілуі қажет жаңа ақпар пайда болуымен, бастапқы модельдің қолданылуы шегінен шығатын параметр көлемі ұлғаюмен әртүрлі есепке байланысты туады.

Қорыта айтқанда, зерттеу жұмысының нәтижесі төмендегідей тұжырым мен ұсыныстар жасауға мүмкіндік береді:

1. Параметрлі мазмұнды есептерді шешу – негізгі мақсат емес, оқушыларды өмірде кездесетін кез-келген есептерді шешудің жалпы әдістерімен қаруландыру құралы.

2. Параметрлі мазмұнды есептерді шешудің келесі мақсаты – қарапайым құбылыстарды модельдеуді меңгеру және математикалық аппаратты есептерді шешуге қолдану мүмкіндігіне жол ашатын математикалық модельдеуді игеру.

3. Оқушылардың мұндай есептерді саналы, әрі сапалы шығаруы үшін есептер мен оларды шешу теориясының негізгі элементтерімен таныстыру. Параметрлі мазмұнды есептерді шешудің математиканы оқытудың барлық сатысында біртұтас жүйелі түрде жүзеге асыру.

4. Жұмыста келтірілгендей оқушыларды математикалық теорияны терең меңгеру, олардың шығармашылық қабілеттерін арттыру, ойлау қызметін жандандыру мақсатында өз бетімен берілген есепке кері есеп құрастыру, абстрактілі және қолданбалы есептердің бірінен екіншісіне көшу сияқты қуатты да, тиімді тәсілдерді игерту.

5. Оқушылардың кез келген есептерді қиналмай шешуі үшін негұрлым көп есеп шығару емес, әрбір есепті шешкенде жаңалық ашқандай әсер алуын, оның пайдалы және қажеттілік екенін сезінуін, жаңа іскерлікке қол жеткізуін, оны бекітуін, дамытуын, тереңдетуін қамтамассыз ету.

Сонымен қатар, параметрлі мазмұнды есептерді шешу оқушылардың тұлға ретінде дамуына жол ашатын эвристикалық әдістермен, зерттеу тәсілдерімен таныстырады. Оқушылардың қисынды ойлауы мен математикалық мәдениетін қалыптастырады. Сондықтан параметрлі мазмұнды есептерді шешу әдістерін меңгерген оқушылар басқа есептерді де оңай шешеді.

[ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Антонов Н.П. Сборник задач по элементарной математике. /Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. Москва: Наука. 1972 год.-464 стр.

2. Қаниев С Математикадан таңдамалы есептер/ Алматы: Рауан. 1993 жыл-173,202 беттер.

3. Бияров Т.Н. Элементар математика есептерінің жинағы./ Молдабеков М.М. Алматы:Кітап. 1992 жыл.-348 бет.

4. Буловацкий М.П. Как разнообразить виды задач. / Математика в школе. Москва: Педогогика. №5, 1988 год. - 6-10 стр.]