Математика тарихы

Математика тарихы
Математика (грек.Mathematike - білім, ғылым) ақиқат дүниенің сандық қатынастары мен кеңістік формалары жайлы ғылым. Көрнектісовет математиктері А.Н.Колмогоров пен А.Д.Александров ұсынған жіктеу бойынша математиканың даму тарихы шартты түрде төрткезеңге бөлінеді.
Бірінші кезең- математиканың білім - дағдыларының қорлану, жинақталу дәуірі. Ол ерте кезден басталып б.з.б. 7-6 ғасырларына дейін созылды. Бұл дәуірде математика адамзат практикасы мен тәжірибесіне тікелей тәуелді болды, солардан қорытылған ережелер жинағынан тұрды.
Екінші кезең- математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым болып туу, қалыптасу кезеңі. Мұнда арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия айрықша теориялық пән болып қалыптасты. Бұл кезең тұрақты шамалар математикасының, кейде элементар математика кезеңі деп аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен 17 ғасырда аяқталады.
Үшінші кезең- айнымалы шамалар математикасы немесе жоғары математиканың туу, қалыптасу кезеңі. Бұл 17 ғасырда басталып, 19 ғасырдың 2-жартысына дейін созылды.
Жиындар теориясына байланысты анализдің, геометрияның және алгебраның жаңа сападағы салалары шыққаннан кейін, математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру кезеңін төртінші кезеңге жатқызуға болады. Ол- 19-20 ғасырларды қазіргі математика кезеңі.
Математиканың бастапқы мағлұматтары барлық халықтарда болған. Ғылымның дамуына әсіресе Египетте(Мысыр), Вавилонда жинақталған мәдени дәстүрлердің үлкен болды. Бұл елдерде б.з.б. 4-5 мың жылдай өзіндік мәдениет өркендеп, ғылыми ықпалы білім қорланған. Календарь жасау, құрылыс, жер суару, жер және әр түрлі ыдыс көлемін өлшеу, теңізде жүзу, жан-жақты байланыс жасау ісі математикалық білім- дағдылардың дамуын талап етті, оның бастапқы қарапайым ережелері дәлелдеусіз қалыптаса бастады. Египетте санды иероглиф арқылы кескіндеу пайда болды, бүтін, бөлшек сандарға арифметикалық төрт амал қолдану ережелері болды. Бір белгісізі бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым арифметикалық және геометриялық прогрессияларға келтірілетін есептер шығару тәжірибесі кездеседі. Египеттіктер төртбұрыштың, трапецияның, үшбұрыштың ауданын, параллепипед пен табаны квадрат пирамиданың көлемін дәл есептей білген, дөңгелек ауданын жуықтап тапқан.
Ежелгі Греция. Әр түрлі арифметикалық әдістер мен аудан, көлем табудың тәсілдері жөнінде нақты материалдар жинақталғаннан кейін ғана (б.з.б.7 ғасырдан) математика Ежелгі Грецияда дербес ғылым дәрежесіне көтерілді. Грек ғалымдарының ( Фалес, Пифагор, Детель, Гиппократ, Евдокс, Аристотель, Евклид, Архимед, Аполлоний т.б.) еңбектері арқылы математика бірте-бірте практикалық мәселелерді ғана шешуге бағытталған жалаң эмпирикалық ғылымнан өзінің нәтижелерін түпкі қағидаларын (аксиомалардан) логикалық қорытынды түрінде шығаратын дедукциялық ғылымға айналды.
Рим дәуірі. Б.з.б.3 ғасырдан бастап жеті ғасыр бойы грек ғылымының, әсіресе математикалық зертетулердің орталығы түрліше мәдениеттің тоғысқан жері Александрия қаласы болды. Александрия дәуірінің бірінші ғасыры (б.з.б.3 ғасыр) грек математикасының алтын ғасыры болып табылады. Евклид, Архимед, Эратосфен және Аполлоний Пергскийдің математикадағы жетістіктері негізінен осы ғасырға жатады.
Александриялық ұлы математиктердің алғашқы қарлығашы Евклид болды. Ол жай сандар қатарының шексіз болатынын дәлелдеп, бөлінгіштік теориясын түбегейлі түрде жасап, сандар теориясының жүйелі негізін қалады. Аполлоний Пергский Евклид геометриясын толықтырып, кейіннен математиканың дамуында елеулі роль атқарған конустық қималар ( парабола, эллипс, гипербола) теориясын жасады.
Ежелгі грек математикасының негізгі кемшіліктерінің бірі қалыптасқан иррационал сан ұғымының болмауы еді. Бұл жағдай арифметика мен геометрияны алшақтатып алгебралық есептеулердің шығуына кедергі жасады. Алайда кейінгі ғасырларда бұл қарама-қарсылыққа бұрынғыдай мән берілмей алгебраның бастамалары бой көрсете бастады. Грек ғалымы Геронның арифметикаға сүйенген есептеу геометриясының әдістерін баяндауға арналған шығармасы-Метрика (1 ғасыр)- осының айқын мысалы.Қытай мен Үндістан. Қытайдың ертедегі математикалық жетістіктері б.з.б. 2-1 ғасырларда жазылған Тоғыз кітаптағы математика атты еңбекте баяндалған. Оларда есептеу техникасы мен алгебралық жалпы әдістер жақсы дамыған; мысалы, бүтін саннан квадрат және куб түбір табу, жоғары дәрежелі теңдеулерді жуықтап шешу әдістері, п санының мәнін есептеу т.б. Үндіматематикасының өрлеген кезі (5-12 ғасырлар) Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара есімдерімен тығыз байланысты. Үнділердің математика тарихында екі негізгі жетістігі бар: санаудың ондықпозициялық жүйесін ашуы, нөлді енгізуі, тек бөлшектерді ғана емес иррационал, теріс сандарды қамтитын алгебраны жасауы. Олар тригонометрияға синус, косинус, синус- верзус сызықтарын енгізді.Орта Азия және Таяу Шығыс. Гректердің де Ежелгі Шығыс елдерінің математикадағы мұрагерлері 7-8 ғасырларда араб халифатына біріктірілген Орта Азия және Таяу Шығыс елдерінен шыққан ғалымдар болды, олар еңбектерін сол кездегі ғылыми ортақ тіл- араб тілінде жазған. 9 ғасырдың 1- жартысында Орта Азия ғалымы Мұхаммед ибн Мұса әл-Хорезми тұңғыш рет алгебраны математиканың негізгі саласы ретінде баяндады. Алгебра термині әл-Хорезмидің шығармасының атынан қалыптасқан (әл-жебр). Әбу Наср әл-Фараби математиканы ірі-ірі 7 тарауға бөліп, бұл пәннің мазмұнын анықтауға тырысты; сан ұғымын нақты сандарға дейін кеңейту идеясын ұсынып, осы негізде грек ғылымы аяқтай алмай кеткен (үлгермеген) проблеманы шешуге- бөлек- бөлек жүрген сандық алгебраның бастамаларын, астрономиядағы тригонометрияны және ғылыми тұрғыдан негізделмеген Геронның есептеу геометриясының басын біріктіруге талпынды.16 ғасырға дейінгі Батыс Еуропа. 12-15 ғасырлар Батыс Европа үшін негізінен ежелгі гректер мен Шығыс мұраларын игеру дәуірі болды. Осы негізде Леонардо Пизанский (Фибоначчи) кезінде үлкен беделге ие болған Абақ туралы кітап (1202) пен Геометрия практикасын (1220) жарыққа шығарды. Кітап басу ісі жолға қойылғаннан кейін оқулықтар кең тарала бастады, ғылыми ойдың орталықтары университеттерге шоғырланды. Иррационал сандардың табиғатын тереңірек зерттеу( өлшемсіз шамалар қатынасы), бөлшек, теріс және нөлдік көрсеткіштерді енгізу арқылы алгебра, тригонометрия дамытылды, жеті таңбалы тригонометриялық таблицалар жасалды (Региомонтан). 15 ғасырда математикалық символика( таңбалау) кемелдене түсті ( франц. Математигі Н. Шюке т.б.)16 ғасырдағы Батыс Европа. Бұл ғасыр Батыс Европа математикасы ежелгі дүние мен Шығыс математикасын басып озған бірінші ғасыр болды. Итальян математиктері С.Ферро мен Н.Тарталья мүмкін емес саналып келген үшінші дәрежелі теңдеудің, ал Л. Феррари төртінші дәрежелі теңдеуді шешудің алгебралық әдістерін тапты. Дж. Кардано үшінші дәрежелі теңдеудің келтірілмейтін жағдайын зерттей келіп, комплекс сандарын ашты. Алгебраны әрі сандық дамытуда француз математигі Ф. Виет көп еңбек етті. Ол п- дәрежелі теңдеуді олардың берілген түбірлері арқылы құру әдісін көрсетті (Виет теоремасы). Виет п-дің шексіз көбейтінді түріндегі аналитикалық өрнегін алғаш рет тапты.18 ғасырға дейінгі Россия. 9-13 ғасырларда Россияда математика деңгейі басқа алдыңғы қатарлы Европа елдерімен шамалас болды. Монғол шабуылы мәдениет пен ғылымның дамуына ұзақ уақыт кесірін тигізді.15-16 ғасырларда математикалық қолжазбалар көптеп таралды. Бізге белгілі ең көне математикалық шығарма-1136 жылы Новгород монахы Кириктің қолынан шыққан арифметика- хронологиялық есептеуге арналған қолжазба кітап. 6-17 ғасырлардағы математикалық қолжазбалардың мазмұны күрделірек болып келеді ( көбінесе практикалық есептер). 1703 жылы орыс математигі Л.Ф.Магницкий өзінің әйгілі Арифметикасын бастырды.Айнымалы шамалар математикасы кезеңі. 17 ғасыр. 17 ғасырдан бастап математиканың дамуында негізінен өзгеше кезең басталды. Енді математика зерттейтін сандық қатынастар мен кеңістік формаларының ауқымы сандар, шамалар және геометриялық фигуралармен шектелмейді,алғы шепке функция ұғымы шығады, өйткені математикаға қозғалыс, өзгеріс идеясы ашық енгізіледі.Математеканың дамуындағы бұл кезең 17 ғасырдағы математикалық жаратылыс танудың (ең әуелі механика, оптика) дамуына тікелей байланысты туды, жекелеген табиғат құбылыстарының ағымын жалпы, математикалық жолмен тұжырымдалған табиғат заңдары түрінде өрнектеу қажет болды.17 ғасырдағы математикалық жетістіктері логарифмдердің ашылуынан басталды. 1637 жылы Р. Декарт Геометрия атты еңбегін жариялады. Ол мұнда сол дәуірдегі бүкіл математикаға дерлік алгебраны арқау етіп аналитикалық геометрияны жасады. Осының арқасында математикалық анализдің түрлі салаларының- дифференциалдық интегралдық, вариациялық есептеулердің тууын дайындаған жалпы әдіс жасады. Декарттың бұл әдісі екі идеяға- координаталар мен айнымалы шамалар идеясына негізделді. Математикалық анализдің бастамаларын жасауда П.Ферма, И. Кеплер, Б. Паскаль, ағылшын математигі Дж. Валлис т.б. көп еңбек сіңірді. р (х)=0 теңдеуінің түбірлерін y=p(х) қисық сызығы мен абцисса осінің қиылысу нүктелері арқылы кескіндеу мүмкіндігіне тығыз байланысты алгебрада кез келген дәрежелі теңдеудің нақты түбірлерін зерттеу қолға алынды (Р. Декарт, И. Ньютон, француз математигі М. Ролль). И. Ферманың максимум және минимумдар, қисық сызықтарға жанама жүргізу жөніндегі зерттеулерінде дифференциалдық және интегралдық есептеулердің әдістері кездеседі (бірақ дараланып бөлінбеген). Шексіз аз шамалар анализінің тағы бір көзі И. Кеплер (1615) мен Б. Кавальери (1635) еңбектеріндегі айналу денелерінің көлемін және басқа есептерді шешуге қолданылған бөлінбейтіндер методы болып табылады. 17 ғасырдың аяғына таман И. Ньютон мен Г. Лейбниц еңбектерінде дәл мағынасындағы дифференциалдық және интегралдық есептеулердің негізі қаланды. Олар алғаш рет жаңа есептеудің негізгі амалдары дифференциалдау мен интегралдауды жалпы түрде қарастырып, олардың өзара байланысын тағайындады ( Ньютон- Лейбниц формуласы). Алайда Ньютон мен Лейбниц бұл мәселеге қатысы әр түрлі көзқараста болды. Ньютон үшін бастапқы ұғымдар- механикалық есептерден келген флюента (айнымалы шама) және оның флюксиясы (айнымалы шаманың өзгеру жылдамдығы). Флюксияларды және флюенталар бойынша флюнсиялар арасындағы қатыстарды (дифференциалдау және дифференциалдық теңдеулер құру) табуды көздеген тура есепке Ньютон флюнсиялар арасындағы қатыстар бойынша флюенталарды табу жайлы кері еспті, былайша айтқанда дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың жалпы есебін қарсы қойды. Лейбниц болса әсіресе шекті шамалар алгебрасынан шексіз аз шамалар алгебрасына көшуге көп көңіл болды, ол интегралды ең әуелі саны шексіз көп шексіз аз шамалардың қосындысы ретінде, ал дифференциалдық есептеулердің негізгі ұғымын айнымалы шамалардың шексіз өсімшесі түрінде қарастырды.
Бұл салада ұлы математиктер Л. Эйлер мен Ж. Лагранж ерекше еңбек сіңірді. Осы ғалымдар мен француз математигі А. Лежандр еңбектерінде сандар теориясы алғаш рет жүйелі ғылым санатына қосылды. Алгебрада швейцар математигі Г. Крамер (1750) сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін анықтауыштарды енгізді. Ағылшын математигі А. Муавр мен Л. Эйлердің көрсеткіштік және тригонометриялық функциялардың байланысын көрсететін формулалары комплекс сандардың математикадағы қолдану өрісін кеңейте түсті. И. Ньютон, шотланд математигі Дж. Стирлинг, Л. Эйлер және П. Лаплас шектеулі айырымдарды есептеудің негізін қалады. К. Гаусс1799жылы алгебраның негізгі теоремасының бірінші дәлелін жариялады.
Математикалық анализ әсіресе дифференциалдық теңдеулер әдістері механика мен физиканың, сондай-ақ техникалық процестердің заңдарын, математикалық өрнектеудің негізін қалады; жаратылыс тану мен техниканың ілгерілеуі осы әдістерге тікелей байланысты болды. Ағылшын математигі Б. Тейлор (1715) кез келген функцияларды дәрежелік қатарға жіктеу жөніндегі өзінің формуласын ашты. 18 ғасыр математиктері үшін қатарлар анализдің ең бір қуатты, икемді құралына айналды. Л. Эйлер, Ж. Лагранж бірінші ретті, ал Л. Эйлер, Г. Монж, П. Лаплас екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясының негізін қалады. Математикалық анализдің ықпалымен аналитикалық механика, математикалық физика т.б. жаңа салалар қалыптаса бастады; математикалық анализдің айрықша бір бұтағы- вариациялық есептеу қалыптасып, маңызды қолданыс тапты. Ағылшын математигі А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас 17-18 ғасырлардағы жекелеген нәтижелерге сүйеніп ықтималдықтар теориясының негізін қалады.Геометрия саласында Л. Эйлер элементар аналитикалық геометрия жүйесін жасауды аяқтайды. Л. Эйлер, француз математигі А. Клеро, Г. Монж еңбектерінде кеңістіктегі қисық сызықтар мен беттердің дифференциалдық геометриясының негізі салынды. Неміс ғалымы Ламберт перспектива теориясын дамытты, ал Г. Монж сызба геометрияны аяқталған түрге келтірді.Қазіргі математика дәуірі. 18 ғасырдың аяғы мен 19 ғасырдың бас кезінен бастап математиканың дамуында бірсыпыра жаңа белгілер мен сипаттар орын алды.
Математиканы негіздеудің көптеген мәселелеріне сын көзбен қайта қарау әрекетіне тоқтайық. Ол ең әуелі математиканың жаңа тарауларын қамтиды. Шексіз аз шамалар жайлы бұрынғы анық емес бұлдыр түсініктің орнына шек ұғымын дәл анықтайтын тұжырымдар пайда болды (О. Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс). Бұл нақты иррационал сандар теориясын жасауды, функциялар ұғымын қайта тексеруді т.б. зерттеулерді қажет етеді. Математикалық анализді негіздеу жөніндегі зерттеулер математиканың жаңа салалары- жиындар теориясы ( неміс математигі Г. Кантор) мен нақты шамалар функциялары теориясының шығуына себепші болды ( француз математиктері К. Жордан, Э. Борель т.б.). Функциялар теориясының тың және жемісті бір саласы функциялардың конструктивтік теориясы П. Л. Чебышев пен оның шәкірттерінің жұмыстарынан басталдыОсымен қарбалас геометрияның да негізгі ұғымдары жан- жақты терең сарапқа салынды. Бұл жөніндегі аса үлкен оқиғалар қатарына бүкіл математиканы түсінуде үлкен бет бұрыс жасаған евклидтік емес геометрия туралы Н. И. Лобачевский мен Я. Больяйдің жұмыстары жатады. Геометрия негіздері туралы осыдан кейінгі зерттеулер геометрия аксиомаларының толық тізімін жасауға әкеп тіреді ( Д. Гильберт), Б. Риман кез келген элементтерден тұратын жаратылыстағы объектілерді қамтитын кеңістіктің жалпы ұғымын берді, мұндай кеңістіктердің қасиеттерін зерттеуге 19 ғасырда дамыған дифференциалдық геометрия әдістерін қолданудың жолдарын көрсетті. 20 ғасыр дифференциалдық- геометриялық көп бейнеліктерді тұтас қарастыру саласында үлкен жетістіктерге қол жетті. Фигуралар мен кеңістіктердің жалпы қасиеттерін зерттеу барысында математиканың жаңа саласы- топология пайда болды ( Б. Риман, А. Пуанкаре). 19 ғасырда алгебрадан алгебралық теңдеулерді радикал арқылы шешу мәселесі айқындалды.
( Н. Абель, Э. Галуа). Сонымен қатар алгебралық амалдардың жалпы қасиеттері мұқиет зерттеле бастады. Бұл жағдайда 20 ғасырда алгебраның жаңа бұтағы- абстрактілі немесе жалпы алгебраның жасалуына әкеп соқтырды. Осыған байланысты енгізілген топ, сақина, өріс ұғымдары математика мен жаратылыс танудың әр түрлі салаларында кеңінен қолданыс тапты. Алгебра мен геометрияның шекарасында норвег математигі С. Ли (1873 жылдан бастап) қазіргі физикада мәні зор үздіксіз топтар теориясын жасады.
19 ғасырда математикалық анализдің қолданылу өрісі едәуір кеңейді. Механика мен физиканың жаңа салаларының ( үздіксіз орта механикасы, баллистика, электродинамика, магнетизм теориясы, термодинамика) негізгі аппараты ретінде дифференциалдық теңдеулер теориясы жедел дамыды. 18 ғасырда мұндай түрдегі кейбір теңдеулер ғана шешілген болса, жалпы әдістер тек 19 ғасырда ғана дамытылды, физика мен механиканың есептеріне байланысты қазір де дамытылуда. Аспан механикасының есептерінде дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясы қолданыс тапты (А. Пуанкаре, А.М.Ляпунов). Дифференциалдық теңдеулермен қатар интегралдық теңдеулер теориясы да дамытыла бастады.Математикалық анализ бен математикалық физика дамуының геометрия мен алгебрадағы жаңа идеялармен түйіндесуі нәтижесінде математика мен оның қолдануында ерекше маңызды қызмет атқарып отырған математиканың үлкен бір жаңа саласы- функционалдық анализ жасалды. Статистикалық физика мен әр түрлі мәселелерді зерттеуге статистикалық әдістерді кең қолдану әрекеті ықтималдықтар теориясының алдына көптеген жаңа міндеттер қойды. Осы негізде бұл теория 19-20 ғасырларда күшті қарқынмен дамытылды.19-20 ғасырлар бойы математиканың көне салалары да жаңа идеялармен, нәтижелермен толығып, дамып отырды. Мысалы, сандар теориясына математикалық анализ әдістерін қолдану бұрын элементар әдістер арқылы шешілмей келе жатқан көптеген мәселелерді шешуге мүмкіндік берді(мысалы, Гольдбах прблемасы).
Теориялық математиканың зерттеулер нәтижесін практика жүзінде қолдану шешілуге тиісті есепке ( мәселеге) сан түрінде жауап алуды талап етеді. Осыған байланысты 19-20 ғасырларда математикадағы сандық әдістер оның дербес бір тармағына айналды. Көп еңбек тілейтін есептеуді қажет ететін мәселелерді шешуді жеңілдету, жеделдету ісі әуелі механика-математикалық машиналар мен аспаптарды, ал 20 ғасырдың 40 жылдарынан бастап тез әрекетті электрондық есептеуіш машиналарды талап етті. 19-20 ғасырларда дамытылған математиканың бір тармағы математикалық логика басқару туралы ғылым- кибернетикада және есептеу техникасында қолданыла бастады. Есептеу техникасының кең қолданылуына байланысты программалау теориясы пайда болды.19 ғасырдың 2- жартысынан бастап математика тарихын қарастыру жедел қолға алынды. 20 ғасырдың 50 жылдарынан бастап математика ғылымының басқару теориясы, кибернетика, алгебралық геометрия, информация теориясы т.б. көптеген жаңа салалары пайда болды. Математиканың осылай қауырт дамуына жаратылыс тану ғылымдары мен техниканың математика алдына қойып отырған талаптары түрткі болды. Мысалы, өндірістік процесті автоматтандыру басқарудың математикалық теориясының тууына себепкер болды.
Архимед (б.з.б 287-212) – ежелгі дүниенің ұлы ғалымы. Оның есімі көптеген хикаяларда айтылады. Біз ісіміз сәтті аяқталғанда дәл Архимед сияқты Эврика! деп қуанамыз. Егер оған тіреу нүктесі табылса, ол бүкіл әлемді төңкеруге шамасы бар екені баршаға мәлім. Әр кімнің көз алдында мына көрініс: семсер көтеріп тұрған кісі өлтіруші және менің сызбаларына тиіспе,-деген қария.
Архимед адамзат тіршілігіндегі ұлы данышпандардың бірі. Оның математикаға қосқан үлесі зор. Үшбұрыштың ауданын оның қабырғалары бойынша табатын формуланы да ол тапқан (ол бізге Герон формуласы ретінде белгілі). Бізді қоршап тұрған әлемнің өлшемдерін де ең алғаш Архимед есептеген болатын. Ол санының шекарасын анықтаған, ол
Тек қана бір математик оның есімі жалқы есім болуына ие болған. Егер ферматист деген сөз айтылса, онда сөз жауапсыз идеяның шешімін іздеген адам туралы. Бірақ бұл сөздің өзі Ферманың (1601-1665) өзіне еш қатысы жоқ.
Ферма тағдыры өте қызық адам, ол барлық кездегі математиктердің қазіргі терменологиясындағы профессионол математик емес, мамандығы бойынша Ферма заңгер болды. Ол үздік гуманитарлы білім алып, өнер және әдебиет саласында білікті болған. Өмір бойы ол мемлекеттік қызметте еңбек етті, соңғы 17 жыл Тулуз қаласында жергілікті парламентінің кеңесшісі ретінде қызмет еткен.
Оның математикаға ерекше сүйіспеншілігі болды, дәл осы ғылым оған адамға махаббат беретін барлық сезімдерді сездірген: сұлулық, ләззат және бақыт. Сол кезде математикалық журналдар болған жоқтын, сондықтан Ферма өз өмірінде ештеңе шығармаған. Бірақ ол өз замандастарымен көп хат алысқан, осының нәтижесінде оның кейбір жетістіктері белгілі бола бастады. Пьер Ферманың баласы әкесінің архивін өңдеп, оны баспадан шығарды.
Мен өте көп әдемі теоремалар дәлелдедім,- деген екен Ферма. Көптеген ерекше әдемі фактілерді ол өзі ашқан сандар теориясында тапқан.
Ферманың қағаздары мен хаттарында біраздаған тамаша тұжырымдамаларда аз болмаған және олардың дәлелдерін емденген, жылдан жылға осындай дәлелденбеген тұжырымдамалардың саны азайды, сонында тек
1908 жылы әуесқой математик Вольфскель Ферма теоремасын дәлелдеген адамға 100000 марка өсиет еткен. Бұл көптеген математиктер үшін нағыз пәле болды. Ферма теоремасының дәлелі бар жүздеген, мыңдаған хаттар ағыла бастады. Олардың бәрінде элементар қателер болған, бірақ оларды табу үшін біраз күш пен уақыт қажет екені рас. I дүние жүзілік соғыс кезінде бұл өсиет құнсызданды. Өтірік дәлдемелердің саны азайды, бірақ жойылған жоқ. Бұл проблема бір ғасырдан екінші ғасырға өтіп кететін сияқты болып тұрғанда 5 жыл бұрын ағылшын математигі Уайлс алғашқы рет көрсеткен өз дәлелдемесін өңдеп бітірген.
Ұлы Ферма теоремасы дәлелденгенін дүние жүзі мойындады.
Математикамен қызығушылар үшін Ферманың есімі оның ұлы теоремасына да қарамастан өте маңызды екені анық. Ол өз алыптар заманы деп атауға болатын заманында көріпкелдердің біреуі. Оны сандар теориясының негізінің қалаушысы деп атайды, ол ғылымның келешекте дамыған жаңа бағыттарына зор үлес қосқан: математикалық анализ және аналитикалық геометрия. Біз Фермаға әсемдік пен жұмбаққа толы әлемнің бетін ашқан үшін ризамыз.
Келесі теорема XVII-XVIII ғасырдағы математиканың ең жоғарғы нәтижелерінің бірі.
Бірнеше алғашқы жай тақ сандарға қараңыз: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... 5, 13, 17 сандарын екі санның квадратының қосындысы ретінде көрсетуге болады: , , ал басқа сандардың 3, 7, 11, 19 бұл қасиеті жоқ. Бұны қалай түсіндіруге болады? Жауабын төмендегі теорема береді:
Сол кезде математикалық журналдар жоқ еді. Ақпарат хат арқылы алмастырылғандықтан нәтижелердің дәлелдеулері көбіне көрсетілмеген. Тек 20 жылдан соң 1659 жылы Каркавиға жазған хатта Ферма жоғарыда анықтамасы берілген теореманың дәлелдеуін бетін ашқан. Ол дәлелдеудің негізгі идеясы төмендеу әдісіне жататын айтады, бұл әдісте жай санға теореманың қорытындысы қате болса, ол сол санның 5-ке дейінгі сандарға да қате болады.
Кейіннен баспаға шыққан алғашқы дәлелдеулерді Эйлер 1742 және 1747 жылдар аралығында тапқан. Ферманы өте қатты сыйлағандықтан, осы теореманың дәлелін алғанда ол тапқанын шыңдау үшін Эйлер Ферманың идеясына сәйкес келетін дәлелді ойлап табады.
Екі ұлы ғалымның үлесін ескере отрып, біз бұл теореманы Ферма-Эйлер теоремасы деп атадық.
Өте биік. әсем тау шыңы тәрізді әр тамаша математикалық нәтижелердің бір қасиеті бар: оларға жан-жақтан шабуыл жасауға болады, осыдан қорықпаған әркім бұл жолда көптеген ләззат алады.
Квант журналында бір-біріне ұқсамайтын үш дәлелдеме көрсетілген. Біреуі (Лагранждікі) XVIII ғасырда, екіншісі Герман Минковскийдікі XIX ғасырдаойлап табылды, ал үшіншісі біздің замандасымыз Дан Цагирдікі.Бұл жерде барлығын көрсету мүмкін емес, сондықтан мен сіздерді тек алғашқысымен ғана таныстырамын.
Сандарды екі квадраттың қосындысы ретінде көрсету мәселесі келесі тұжырыммен аяқталады.
Натурал сан екі бүтін санның қосындысы ретінде көрсетіледі сонда тек сонда, егер барлық (4k+3) жай көбейткіштері бұл санның жұп дәрежелі жай көбейткіштерге бөлінгенде ғана көрсетуге болады.
Егер толық комплексті n+mi, n, m- бүтін сандар бөлінетіндігі туралы теорияны пайдаланса, Ферма-Эйлер теореманы өте әдемі дәлелденеді.
Бірде 8 сынып оқитынымда, менің сыныптас жолдасым маған Эйлердің формуласын жазып берді, осы бөлімді мен соған арнаймын. Сонда білгенім, e- бұл сан: екі бүтін, оннан жеті, Толстойдың туған жылы, Толстойдың туған жылы , әрі қарай – басқа ондық сандарды еске сақтаудың қажеті жоқ (e= 2,71281828...). Тағы білгенім,
Леонард Эйлер – ғылым тарихында ұлы адамдардың бірі. Ол әр түрлі мәселелер бойынша, 865 зерттеу жүргізген. 1909 жылы Швейцарияның ғылыми жаратылыстану қоғамы Эйлердің шығармашылығының толық баспасын шығаруға кіріскен. Одан бері Эйлердің өмірінен ұзақ мерзім өтсе де, баспа әлі аяқталған жоқ.
Эйлердің хат алмасуына 3000-нан астам хат енген. Мұның өзі ғалымның таңғажайып бейнесінің куәсі: жаман адамдарға хат жазбайды. Барша ғалымдар, Эйлердің замандастары, өз ой-пікірлерінің нәтижелерімен бөліскен, оларды қызықтырып тұрған мәселелер туралы оның пікірін айтуын сұрған және әрдайым одан жауап пен көмек алған.
Эйлердің мейірімділігі мен адамгершілігі математик деп аталған әзілде орын тапқан. Математиктің анықтамасы (осы әзіл бойынша) индуктивті. Индукцияның негізі Эйлер математик деген тұжырымнан тұрады. Әрі қарай: математик деп математикті математик атайтын адамды айтады. Сонымен қатар математикада мазмұнды бір нәрсе жасаған адам, осы анықтамаға сәйкес математик екендігіне сенуге болады.
Бірақ негізі ретінде басқа ғалымдарды алсақ, математиктер тізімі бір адамнан тұруы мүмкін...
Эйлердің жан сұлулығы оның көптеген іс-әрекеттерінде орын тапқан. Алдыңғы бөлімде Эйлердің Ферманың приоритетін негіздеуін әңгімеленгенмін. Бірде жас Лагранж (ол туралы әңгіме алда) Эйлерді өзінің вариациялық есептеулер облысындағы зерттеулермен таныстырған. Эйлер оған жазған хатында (1759 жылдың 2 желтоқсанында, ол кезде Лагранж 23 жаста) мына сөздерді келтірмеуге болмайды, ол сөздер жанның жоғарғы адамгершілігінің белгісі.
Изометрия мәселесіндегі сенің аналитикалық шешімін мен көріп отырғандай, осы салада болуы мүмкін бәрі кіреді және өте қуаныштымын, алғашқыда өзім бастаған тек қана мен жалғыз айналысқан теория осындай дәрежеге жеткізілгенін. Бұл сұрақтың маңыздылығы мені мынаған итермеледі, сенің көрсетуінің көмегімен (зертттеулерді пайдалана отырып) мен өзім аналитикалық шешім қорытып шығардым: бірақ оны сен өз нәтижелерінді басып шығарғанша жасыруды жөн көрдім, өйткені сенің өзіңе тиісті қошаметіне таласқым келмейді.
Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) Туринде дүниеге келген, ал өмірден өткен және жерленген жері Париж. Оның тамырында француз және итальян қандары аққандықтан екі ұлт та (Талейранның сөзімен айтқанда) өз данышпандылығымен адамзатқа еңбек еткен адаммен мақтан тұта алады.
Лагранж өз ғылыми көзқарасымен өзінен үлкен ұлы замандасы Леонард Эйлерден бөлек. Эйлер өмір бойы есеп шығарған, өте көп салыстыруға келмейтін есептер шығарған, көбінесе ол әр есепке өзінің ерекше бір тәсілін таба білген. Ал Лагранж әр түрлі құбылыстардың ортақ заңдылықтарын, бөлек обьектілердің арасындағы құпия байланыстарын, қосылмайтынның бірігуін іздеген. Сонымен қатар оның көптеген тамаша табыстары бар. Соның бірі- натурал санды төрт квадраттың қосындыларын көрсетуге болатынын қазір әңгіме етеміз.
Лагранж адамзаттың есінде жарқын, мейірімді азамат болып қалды. Фурье оны былай сипаттайды: Лагранж қанша математик болса, сонша филосаф та. Ол оны өз өмірінен қарапайымдылығы, адамзаттың мүддесіне терең берілгендігі , өз әдеттерінің мейірмандылығымен , жанның көрнеттілігі және өз замандастарының еңбектерін бағалағандағы терең әділдігімен белгілі.
Ал енді Лагранж теоремасының анықтамасы мен дәлелдеуіне кірісейік.
Әдебиетте Гомер, Данте, Шекспир, Гете, Толстй және Достоевский болса, дәл солай математикалық дүниетануда Архимед, Ньютон, Эйлер, Гаусс, Риман және Пуанкаре- жан-жақтылық пен ғұламалылықтың биік шыңдары.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)- математик, оның есімі Архимед есімі тәрізді ертегі, хикаялармен байланысты. Оның көптеген сөздері мәтел болып кеткен. Жиі еске түсіретін оның девизі: Аяқталынбаған іс- істелінбеген іс. Бұл адамның бойында құдіретті интеллект, қуатты мінез және зерттеушінің құмарлығы орын тапқан. Гаусс тірі кезінде ұлы және Математика королі титулдарына ие болған. Ғұламаның мадақтаулары мен шығармашылығы кітапта жазылған.
Гаустың математикалық шығармашылығы,- Феликс Клейн ,- үлкен бір жаңалықтан басталады, осыдан кейін ол өз өмірін ғылымға ұсынады... 1796 жылдың 30 наурызында –ол он тоғыз жасар жігіт- дұрыс онжетібұрышты сызғыш және циркуль арқылы салуға болатынын көрсетті, яғни 2000 жылдан астам уақытта ешқандай нәтиже болмаған мәселеде алға шықты.
Гаустың ұрпақтары оның өсиетін орындауға бар күш-жігерін салды. Олар оған көктас орнатты (отаны Брауншвейгте), ол дұрыс онжетібұрыштан көктас еді. Бірақ бұны білмесең, оны аңғармай қалуында мүмкін: дұрыс онжетібұрыш шеңберден еш айырмашылығы жоқ.

Қолданған әдебиеттер тізімі
1. Клейн Ф. Лекции по развитии математики в XIX столетии.- М.: Наука, 1989.
2. Тихомиров В.М. Теорема Ферма-Эйлера о двух квадратах // Квант, 1991, №10.
3. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел.- М.: Мир, 1974.
4. Шнирельман Л.Г. Простые числа. М.: ГИТТЛ, 1940.