САНДАРДЫҢ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІЛЕРІ

1. 2 ге бөлінетін сандар - егер натурал санның соңғы цифры 2-ге бөлінсе, онда ол сан 2 ге бөлінеді.

2. 3 ке бөлінетін сандар - егер натурал санның цифрларының қосындысы 3 ке бөлінсе, онда ол сан 3 ке бөлінеді.

3. 4 ке бөлінетін сандар - егер натурал санның сонғы екі цифрынан құралған екітаңбалы сан 4 ке бөлінсе, онда ол сан 4 ке бөлінеді

4. 5 ке бөлінетін сандар - егер берілген натурал санның сонғы цифры 0 немесе 5 болса, онда ол сан 5 ке бөлінеді.

5. 6 ға бөлінетін сандар - егер натурал сан 2 ге және 3 ке бөлінсе, онда ол сан 6 ға бөлінеді.

6. 7 ге бөлінетін сандар - ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 –ге бөлінеді.

7. 8 ге бөлінетін сандар - егер натурал санның сонғы үш цифрынан құралған үштаңбалы сан 8 ке бөлінсе, онда ол сан 8 ке бөлінеді

8. 9 ға бөлінетін сандар - егер натурал санның цифрларының қосындысы 9 ке бөлінсе, онда ол сан 9 ке бөлінеді.

9. 10 ға бөлінетін сандар - егер берілген натурал санның сонғы цифры 0 болса, онда ол сан 10 ға бөлінеді.

10. 11 ге бөлінетін сандар - егер натурал санның тақ орналасқан цифрлары мен жұп орналасқан цифрларының қосындыларының айрымы 11 ге бөлінсе онда ол сан 11 ге бөлінеді

КӨБЕЙТУ ЗАҢДАРЫ

1.a·b=b·a; 2.(a·b) ·c=a·(b·c); 3.(a±b) ·c=a·c±b·c;

БӨЛШЕКТІҢ НЕГІЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ

1.

2.

ҚОСУ

1.

2.

КӨБЕЙТУ

1. 2.

БӨЛУ

1. 2. 3.

ПЕРИОДТЫ ОНДЫҚ БӨЛШЕКТЕР

Периодты бөлігінде қанша цифр болса, бөлшек бөлімінде сонша 9 және үтір мен периодтық бөлік арасында қанша цифр болса сонша 0 жазылады.

ҚАТЫНАС, ПРОПОРЦИЯ

ДӘРЕЖЕ

k рет

ҚАСИЕТІ

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

ҚЫСҚАША КӨБЕЙТУ ФОРМУЛАЛАРЫ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ТҮБІРЛЕРДІ ТҮРЛЕНДІРУ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

БӨЛШЕКТІҢ БӨЛІМІНДЕГІ ИРРАЦИОНАЛДЫҚТАН ҚҰТЫЛУ

1.

2.

3.

4.

5.

САННЫҢ МОДУЛІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСЕТТЕРІ

егер

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

ТЕҢДЕУЛЕР

1.

2.

3.

4.

СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

КВАДРАТ ТЕҢДЕУ ШЕШУ

егер егер

егер түбірі жоқ

ТЕҢДЕУЛЕР ТҮРЛЕРІ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. егер онда

9. егер онда

ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР

1. болса, онда

2. болса, онда

3. болса, онда

4. болса, онда

МОДУЛІ БАР ТЕҢДЕУЛЕР

1. болса, онда

2. болса, онда

3. болса, онда

4. болса, онда

5. болса, онда

6. болса, онда

7. болса, онда

ВИЕТ ТЕОРЕМАСЫ

онда

КВАДРАТ ҮШМҮШЕНІ КӨБЕЙТКІШТЕРГЕ ЖІКТЕУ

ТЕҢСІЗДІКТЕР

СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР

1. егер

2. егер

КВАДРАТ ТЕҢСІЗДІКТЕР

1. 2.

3. 4.

БӨЛШЕК РАЦИОНАЛ ТЕҢСІЗДІКТЕР

1. 2.

3. 4.

5. 6.

ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢСІЗДІКТЕР

1.

2.

3. a) егер

b) егер

4. a) b)

МОДУЛІ БАР ТЕҢСІЗДІКТЕР.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

8.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

ГЕОМЕТРИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ

1. 2.

3. 4. 5.

6.

|Q|<1 БОЛҒАНДАҒЫ, ШЕКСІЗ ГЕОМЕТРИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯНЫҢ ҚОСЫНДЫСЫ

ТРИГОНОМЕТРИЯ

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

1. а) б)

2. 3.

4. 5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. 12. 13. 14.

15. 16.

17.

18. 19.

20. 21.

22.

23. 24.

25.

26.

27.

28.

29.

30. 31.

32. 33.

34.

35.

36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

КЕЛТІРУ ФОРМУЛАСЫ

x
	90º-x	90º+x	180º-x	180º+x	270º-x	270º+x	360º-x	360º+x
sinx	cosx	cosx	sinx	-sinx	-cosx	-cosx	-sinx	sinx
cosx	sinx	-sinx	-cosx	-cosx	-sinx	sinx	cosx	cosx
tgx	ctgx	-ctgx	-tgx	Tgx	ctgx	-ctgx	-tgx	tgx
ctgx	tgx	-tgx	-ctgx	Ctgx	tgx	-tgx	-ctgx	ctgx

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ МӘНДЕРІ

x	0
	0º	30º	45º	60º	90º	120º	135º	150º	180º
sinx
cosx
tgx					∞
ctgx	∞								∞

ТРИГОНОЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.

4.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ

немесе

1. жауабы: 2kπ<x< π+2kπ;

2. -π+2kπ<x< 2kπ;

3. arcsina+2kπ<x< π-arcsina+2kπ;

4. -π-arcsina+2kπ<x< arcsina+2kπ;

немесе

1. жауабы: -π/2+2kπ<x< π/2+2kπ;

2. π/2+2kπ <x< 3π/2+2kπ;

3. -arccosa+2kπ<x<arccosa+2kπ;

4. arccosa+2kπ<x<2π-arccosa+2kπ;

немесе

1. жауабы: kπ<x< π/2+kπ;

2. -π/2+kπ <x< kπ;

3. arctga+kπ<x< π/2+kπ;

4. -π/2+kπ<x<arctga+kπ;

немесе

1. жауабы: kπ<x< π/2+kπ;

2. -π/2+kπ <x< kπ;

3. kπ<x< arcctga+kπ;

4. arcctga+kπ<x<π+kπ;

АРККОСЖӘНЕНУС, АРКСЖӘНЕНУС, АРКТАНГЕНС

1.

2.

3. .

4. 5.

6. 7.

Мысал: sin(arcsin 0)=0, cos(arcos 0)=π/2,

tg(arctg 1)=π/4, ctg(arcctg 0)= π/2;

Мысал:

КӨРСЕТКІШТІ ТЕҢДЕУ

ТҮРЛЕРІ:

1.

2.

3.

4.

Мысал:

КӨРСЕТКІШТІК ТЕҢСІЗДІКТЕР

1. Егер: онда

2. Егер: онда

3. а) онда

б) онда

4. а) онда

б) онда

в) онда түбірі жоқ

5. онда

және

6. онда

және

ЛОГАРИФМ ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ

1. .

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11.

ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУ

ТҮРЛЕРІ:

1. 2.

3.

4.

5.

Мысал:

Шешуі:

ЛОГАРИФМДІК ТЕҢСІЗДІКТЕР

1.

а) Егер онда

б) Егер онда

2.

а) Егер онда

б) Егер онда

3.

а) Егер онда

б) Егер онда

4.

а) Егер онда

б) Егер онда

5. онда және

6. онда және

7. онда және

8. онда және

9. онда және

ФУНКЦИЯ

, x – тәуелсіз айнымалы шама

y – тәуелді айнымалы шама

1.Сызықтық функция-

анықталу облысы:

мәндер облысы:

2. Квадраттық функция

анықталу облысы:

мәндер облысы: мұндағы

3. Кубтық функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

4. Бөлшек рационал функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

5. Натурал көрсеткішті дәрежелік функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

6. Бүтін теріс көрсеткішті фүнкция:

анықталу облысы:

мәндер облысы:

7. Оң рационал көрсеткішті дәрежелік функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

8.Теріс рационал көрсеткішті дәрежелік функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

9.Нақты көрсеткіштік дәрежелік функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

10.Көрсеткіштік функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

11. Логорифмдық функция

анықталу облысы:

мәндер облысы:

12.Тригонометриялық функция.

ТУЫНДЫ ИНТЕГРАЛДАУ

КҮРДЕЛІ ФУНКЦИЯ

1.

МЫСАЛ:

2.

МЫСАЛ:

ФУНКЦИЯСЫНА НҮКТЕСІНЕ ЖҮРГІЗІЛГЕН ЖАНАМА ТЕҢДЕУІ

,

Мысал:

ФУНКЦИЯСЫНА НҮКТЕСІНЕ ЖҮРГІЗІЛГЕН НОРМАЛІНІҢ ТЕҢДЕУІ

АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ

1.

2.

3.

4.

5.

АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

a) Егер , онда,

b) Егер

, онда ,

c)

ЕКІ СЫЗЫҚПЕН ШЕКТЕЛГЕН АУДАН

КӨЛЕМДЕР

a) функциясы аралағында x-осінен айналдыра бұрғанда дененің көлемі:

b) функциясы аралағында y-осінен айналдыра бұрғанда дененің көлемі:

ҚИСЫҚ СЫЗЫҚ ҰЗЫНДЫҒЫ

ГЕОМЕТРИЯ

Қабырғалары:

Периметр:

Жарты периметр:

CD=h- биіктігі

L-биссектриса

DO=BO=R

Синустар теоремасы:

R- сыртай сызылған шеңбердің радиусы

r- іштей сызылған шеңбердің радиусы

ҮШБҰРЫШ АУДАНЫ

1. БИІКТІК:

2. МЕДИАНА:

3. БИССЕКТРИСА:

ГЕРОН ФОРМУЛАСЫ

ДҰРЫС КӨПБҰРЫШТАРДЫҢ АУДАНЫ

КӨПБҰРЫШТАРДЫҢ ІШКІ БҰРЫШТАРДЫҢ ҚОСЫНДЫСЫ

ПАРАЛЛЕЛОГРАМ

ТІК ТӨРТБҰРЫШ

РОМБ

КВАДРАТ

Диагональ:

Ауданы

ДҰРЫС КӨПБҰРЫШТАР

ішкі бұрыш

сыртқы бұрыш

1. Егер n=3:

2. Егер n=4:

3. Егер n=6:

4. Егер n=k:

СТЕРЕОМЕТРИЯ

КӨЛБЕУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

V=S_таб·H;

S_ПОЛ=2S_таб+S_б.б;

ТІК ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

H=c; S_таб=a·b·sinα;

S_т.б=2·(a+b)·c+a·b·sinα;

V=a·b·c·sinα;

ТІКБҰРЫШТЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

H=c; S_ОСН=a·b;

S_б.б=2·(a+b)·c;

S_т.б=2·((a+b)·c+a·b);

V=a·b·c;

БЕРІЛГЕН :X,Y,Z ДИАГОНАЛ. ТАБУ КЕРЕК : A=? B=? C=?

КУБ

a=b=c; ;

S_таб=a²; S_б.б=4·a²;

V=a³; S_тб=6·a²;

ПРИЗМА

P-табан

P = a+b+c+d+e;

1. тік призма

S_бб = P·H;

S_таб = S_{төм.таб}=S_{жоғ.таб}

S_тб = S_бб+2·S_таб;

V = S_таб·H;

2. Дұрыс призма

P=a·n;

S_бб=a·n·H;

S_тб=a·n·r/2; (r-іштей сызылған шеңбер радиусы)

S_тб=S_бб+2·S_таб=a·n·(H+r);

V=S_ОСН·H=a·n·r·H/2;

ТРАПЕЦИЯ

ШЕҢБЕР,ДӨҢГЕЛЕК,СЕКТОР,САҚИНА

(Шеңбер ұзындығы)

(Шеңбер ауданы)

(Доға ұзындығы)

сақина ауданы

OAB сектордың ауданы

сегмент ауданы

ПИРАМИДА

SA,SB,SC,SD,SE,…-бүйір қабырғасы,

AB,BC,BD,DE,…-табан қабырғалары,

SO=H-биіктік,

P=AB+BC+CD+DE+EA+…-

Табан периметірі.,

SF=k-Апофема,

α,φ-табан жазықтығы арасындағы бұрыш.

Егер AB=BC=CD=DE=EA=…=a

P=a·n (n-қабырғалар саны)

ҚИЫҚ ПИРАМИДА

ДҰРЫС ҚИЫҚ ПИРАМИДА

ЦИЛИНДР

КОНУС

ҚИЫҚ КОНУС

ШАР.СФЕРА.

S=π·R² үлкен шеңбер ауданы

S= π·r² кіші шеңбер ауданы

екі шеңбер арасындағы S=4·π·R² қашықтық

ШАР СЕКОНДАРЫ

ШАР СЕГМЕНТІ

ШАР ҚАБАТЫ

ВЕКТОРЛАР

1) Қосу

2) Азайту

ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ АМАЛДАР

Егер А(x₁;y₁) и B(x₂;y₂), то

ВЕКТОРЛАР МОДУЛІ

Егер онда -вектор модулі.

Егер және - бірлік векторлар.

АНАЛИТИКАЛЫҚ ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ ВЕКТОРЛАРҒА АМАЛДАР

және онда

1)

2) , онда

3)

СКАЛЯР КӨБЕЙТІНДІ

және онда

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) Егер , онда

9) Егер , онда

10)

11)

ЖАЗЫҚТЫҚТА ДЕКАРТТЫҚ КООРДИНАТАЛАР

Кесіндінің қақ ортасы.

Егер A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

қашықтық

1. ШЕҢБЕР ТЕҢДЕУІ:

[центр A(a,b) ,R-радиус]

2. ПАРАБОЛА ТЕҢДЕУІ: (a≠0)

3. ГИПЕРБОЛА ТЕҢДЕУІ: ( a≠0,b≠0)

4. ЭЛЛИПСТІҢ ТЕҢДЕУІ: (a≠0,b≠0)

5. ТҮЗУДІҢ ТЕҢДЕУІ:

6. (A(X₁,Y₂) ЖӘНЕ B(X₂,Y₂) НҮКТЕЛЕРІ АРҚЫЛЫ ӨТЕТІН ТҮЗУДІҢ ТЕҢДЕУІ)

Законы сложенжәнея (қосу заңдары)

1.a+b=b+a; 2.(a+b)+c=a+(b+c);