Математикалық индукция методын сан қатарының қасиеттерін оқып білуде қолдану

Математикалық индукция методын сан қатарының

қасиеттерін оқып білуде қолдану

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар сан тізбегіне жай мысал бола алады. Тағы да бір сан тізбегін қарастырайық, бүтін қатардың касиетіне ие болатын.

Итальян математигі Фибоначчи өзінің жұмыстарының бірінде мынадай есеп карастырды: «Қояндар жұбы әр айда бір рет екі көжек туады, сонымен қатар бұл көжектер туылғаннан екі айдан кейін тағы да ұрпақ әкеледі. Бір жылдан соң қанша кояндар дүниеге келеді, егер жылдың басында жаңадан туылған бір қояндар жұбы болса?» Есептің берілуінен, бір айдан соң кояндардыц бір жұбы болады, екі айдан соң екі жұп, үш айдан соң бірінші жұп қанша ұрпақ береді және қояндардың үш жұбы болады. Ал бір айдан соң бастапқы қояндар жұбы және екі ай бұрын пайда болған қояндар жұбы үрпақ береді, сол себепте барлығы бес жұп кояндар болады. Жыл басынан бастап п айда пайда болған қояндар жұбының санын деп белгілейміз. Біз көріп отырғанымыздай, айдан соң жұп және тағы да осынша жаңадан туылған қояндар жұбы болады, -ші айда қанша жұп болса, яғни тағы да жұп кояндар. Басқа сөзбен айтқанда, рекуренттік қатыста болады . Келісім бойынша ; онда тізбектен табатынымыз:

саны Фибоначчи сандары деп аталады. Сан тізбегі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 23, ... Фибоначчи қатары деп аталады. Біздің жоғарыдағыдан байқағанымыздай, бұл сан тізбегі төмендегіше анықталады:

Енді осы тізбектің бірнеше қасиетін карастырайық.

Мысал 1: Фибоначчи катары төмендегі қасиетке ие болатынын дәлелде.

Шешуі: болсын. Сонда а

Ендеше үшін тұжырымдау орынды. Бұл үшін де орынды деп ойлайық, яғни

(1)

Онда бұл үшін орынды болатынын дәлелдейік, яғни

Шынында да, Фибоначчи қатарының анықтауы бойынша аламыз. Енді (1) индукциялық болжамды пайдаланып,

аламыз. Дәлелдеу керегі де осы болатын.

Мысал 2. , , ,..., сандық тізбек , шарты бойынша анықталады.

екенін дәлелдеу керек.

Шешуі: үшін тұжырымдау орынды екенін оңай байқауға болады. Бұл тұжырымдау барлық үшін орынды деп ойлайық. Сонымен, оның үшін орынды болатынын дәлелдейік, яғни шынында да, тізбекті анықтаудан шығатыны

Индукциялық болжамның күшіне сүйеніп алатынымыз:

Ендеше,

Енді біз математикалық индукция принципіне сүйеніп барлық n-дер үшін тұжырымдау дәлелденді деп айта аламыз.

Мысал 37. Пар сандардың тізбегі берілген: , ,..., бұл парлар келесі ережелер бойынша құрылған:

(2)

болатынын дәлелдеу керек.

Шешуі: болсын. Сонда,

болғандықтан,

Екінші жағынан,

.

Сондықтан,

(2) формуласы үшін орынды екені дәлелденді, болғанда,

(3)

болсын. Сонда болғанда,

болатынын дәледейік. Келісуіміз бойынша . (3) формуласын қолдана отырып, алатынымыз:

Әрі қарай, келісуіміз бойынша (3) индукциялық болжамын пайдалана отырып және жаңа ғана үшін дәлелдеген формуланы қолданып, алатынымыз:

Тұжырымдау дәлелденді.