Математикалық сауаттылық

Ө. Сұлтанғазин атындағы
Қостанай мемлекеттік педагогикалық университеті
Жаратылыстану-математика факультеті
Физика-математикалық пәндер кафедрасы












Асқанбаева Ғ.Б., Беркімбай Р.Ә.

Аналитикалық геометрия

Есептер жинағы



















Қостанай
2019

2
ӘОЖ 514.7(075.8)
КБЖ 22.151 я73
А 88

Құрастырушылар:
Асқанбаева Ғ.Б. – физика-математикалық пәндер кафедрасының аға
оқытушысы,
Беркімбай Р.Ә. – физика-математикалық пәндер кафедрасының аға
оқытушысы

Сын пікір берушілер:
Ысмағұл Р.С. – ф-м.ғ. кандидаты (А. Байтұрсынов атындағы ҚМУ,
математика кафедрасының доценті)
Калжанов М.У. – ф-м.ғ. кандидаты (ҚМПУ, физика-математикалық
пәндер кафедрасының доценті)


А 88
Асқанбаева Ғ.Б., Беркімбай Р.Ә.
Аналитикалық геометрия: оқу құралы /
Ғ.Б. Асқанбаева, Р.Ә. Беркімбай – Қостанай, 2019. – 148 б.

ISBN 978-601-7601-07-2

Оқу құралында аналитикалық геометрияның барлық бөлімдері қамтылған.
Пәннің әрбір тарауы үшін қысқаша теориялық мәліметтер беріліп, есептер
жинағы ұсынылған. Оқу құралының соңында есептер дің жауаптары
келтірілген.
Оқу құралы 6В01501 – Математика білім беру бағдарламасы бойынша
оқитын студенттерге арналған.

ӘОЖ 514.7(075.8)
КБЖ 22.151 я73

Қостанай мемлекеттік педагогикалық университетінің
ғылыми кеңесінің шешімімен баспаға ұсынылады

ISBN 978-601-7601-07-2



© Асқанбаева Ғ.Б., Беркімбай Р.Ә., 2019
© ҚМПУ, 2019

3
МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ.................................................................................................. 5
1 БӨЛІМ. Жазықтықтағы аналитикалық геометрия
1 Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның қарапайым
есептері

1.1 Түзудегі декарттық координаталар.................................... 6
1.2 Жазықтықтағы декарттық координаталар......................... 8
1.3 Полярлық координаталар.................................................... 9
1.4 Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.......... 12
1.5 Үшбұрыштың ауданы.......................................................... 18
1.6 Координаталарды түрлендіру............................................. 19
2 Жазықтықтағы сызықтың теңдеуі
2.1 Екі айнымалы функция....................................................... 22
2.2 Сызықтың теңдеуі ұғымы. Сызықты теңдеу көмегімен
беру........................................................................................

23
2.3 Берілген сызықтың теңдеуін құру...................................... 26
2.4 Сызықтың параметрлік теңдеуі.......................................... 30
3 Бірінші ретті сызықтар
3.1 Түзудің жалпы теңдеуі. Түзудің бұрыштық
коэффиценті бар теңдеуі.....................................................

31
3.2 Түзудің толық емес теңдеулері. Түзудің «кесінділік»
теңдеуі...................................................................................

38
3.3 Түзудің нормальдық теңдеуі. Нүктеден түзуге дейінгі
арақашықтық........................................................................

41
3.4 Түзулер шоғының теңдеуі................................................... 45
4 Екінші ретті қисықтардың геометриялық қасиеттері
4.1 Шеңбердің теңдеуі............................................................. 48
4.2 Эллипстің теңдеуі, қасиеттері............................................. 53
4.3 Гиперболаның теңдеуі, қасиеттері..................................... 62
4.4 Параболаның теңдеуі, қасиеттері....................................... 70
4.5 Эллипс, гипербола және параболаның полярлық
теңдеулері.............................................................................

74
4.6 Екінші ретті қисықтардың диаметрлері............................. 76
2 БӨЛІМ. Кеңістіктегі аналитикалық геометрия
5 Кеңістіктегі аналитикалық геометрияның қарапайым
есептері

5.1 Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар....... 79
5.2 Кеңістіктегі екі нүкте арасындағы қашықтық. Кесіндіні
берілген қатынаста бөлу......................................................

80
6 Векторлық алгебра

4
6.1 Вектор түсінігі. Вектордың оське проекциясы................ 82
6.2 Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар............... 84
6.3 Векторлардың скалярлық көбейтіндісі.............................. 88
6.4 Векторлардың векторлық көбейтіндісі.............................. 92
6.5 Векторлардың аралас көбейтіндісі.................................... 94
7 Беттің теңдеуі және сызықтың теңдеулері
7.1 Беттің теңдеуі....................................................................... 97
7.2 Кеңістіктегі сызықтың теңдеуі. Үш беттің қиылысуы
туралы есеп...........................................................................

99
7.3 Жасаушысы координаталық осьтердің біріне параллель
болатын, цилиндрлік беттің теңдеуі...................................

100
8 Жазықтықтың теңдеуі
8.1 Жазықтықтың жалпы теңдеуі............................................. 101
8.2 Жазықтықтың толық емес теңдеулері. Жазықтықтың
кесінділік теңдеуі................................................................

104
8.3 Жазықтықтың нормаланған теңдеуі. Нүктеден
жазықтыққа дейінгі арақашықтық......................................

106
9 Кеңістіктегі түзу сызық
9.1 Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеуі............................. 110
9.2 Түзу мен жазықтыққа қатысты аралас есептер................ 117
10 Екінші ретті беттер
10.1 Сфера..................................................................................... 122
10.2

10.3
Жазықтықтың, түзудің және сфераның векторлық
символика арқылы теңдеулері ...........................................
Екінші ретті беттердің канондық теңдеулер....................

125
129
ЖАУАПТАР........................................................................................... 137
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ..................................... 148

5
КІРІСПЕ

Оқу құралы жоғары педагогикалық оқу орындарының аналитикалық
геометрия курсының бағдарламасына сәйкес құрылған. Онда әр тақырып
бойынша есептерді шешуге қажетті қысқаша теориялық материалдар
берілген содан соң көптеген есептер қарастыралған.
Оқу құралы жазықтықтағы және кеңістіктегі аналитикалық
геометрия атты екі бөлімнен тұрады.
Бірінші бөлім төрт тарауға бөлінген. Онда жазықтықтағы аналити-
калық геометрияның қарапайым есептері, сызық теңдеуі, бірінші ретті
сызықтар, екінші ретті сызықтардың геометриялық қасиеттері
қарастырылған.
Екінші бөлім алты тараудан тұрады. Онда кеңістіктегі аналитикалық
геометрияның қарапайым есептері, векторлық алгебра, беттердің және
сызықтардың теңдеулері, жазықтық теңдеулері, кеңістіктегі түзу
теңдеулері, екінші ретті беттердің теңдеулері қарастырылған.
Оқулықтың соңында есептердің жауаптары ұсынылған.
Оқулық «Аналитикалық геометрия» пәнін оқитын студенттерге
олардың ой-өрістерін көтеруге, шығармашылық қабілетін дамытуға, алған
білімдерін практикада қолдана білуге үйретуге, сөйтіп олардың білімдерін
тереңдетуге арналған. Сонымен қатар бұл есептер жинағын техникалық
мамандық студенттері, магистранттар, мектеп мұғалімдері өз жұмыста-
рында көмекші құрал ретінде қолдануға болады. Оқу құралы 5В010900 –
Математика мамандығы бойынша оқитын студенттерге арналған.

6
1 БӨЛІМ. Жазықтықтағы аналитикалық геометрия

1 Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның қарапайым есептері

1.1 Түзудегі декарттық координаталар

Оң бағыты таңдалған түзу ось деп аталады. Егер осы нүктелердің
қайсысы кесіндінің басы, қайсысы ұшы екені белгілі болса, онда осьтің
кейбір А және В нүктелерімен шектелген кесіндісі бағытталған кесінді деп
аталады. Басы А және ұшы В болатын бағытталған кесінді АВ
символымен белгіленеді. Бағытталған кесіндінің шамасы деп кесіндінің
бағыты осьтің оң бағытымен бірдей болса, онда кесіндінің ұзындығына
тең оң сан, ал егер кесіндінің бағыты осьтің оң бағытына қарама–қарсы
болса, онда кесіндінің ұзындығына тең теріс сан аталады. АВ кесіндісінің
шамасы АВ символымен, ал оның ұзындығы АВ деп белгіленеді. Егер А
және В нүктелері беттессе, онда олармен анықталатын кесінді нольдік деп
аталады; АВ = ВА = 0 болатыны айқын (нольдік кесіндінің бағыты
айқындалмаған деп есептеледі).
Еркін а түзуі берілсін. Онда ұзындық өлшемінің бірлігі ретінде
кейбір кесіндіні таңдаймыз, а түзуінде оң бағытты тағайындаймыз (сонда
ол ось болып шығады) және осы түзуде қандай да бір нүктені О әрпімен
белгілейміз. Сонда а түзуінде координаталар жүйесі енгізіледі.
а түзуінің (тағайындалған координаталар жүйесінде) кез келген М
нүктесінің координатасы деп ОМ кесіндісінің шамасына тең х саны
аталады: х = ОМ.
О нүктесі координаталар бас нүктесі деп аталады, оның координатасы
нольге тең. М(х) символы М нүктесінің координатасы х дегенді білдіреді.
Егер а түзуінің екі еркін нүктелері M1 (x1) және М2(x2) болса, онда
M1 M2 = x2 – x1 формуласы M1 M2 кесіндісінің шамасын,
ал M1 M2 = x2 – x1 оның ұзындығын өрнектейді.
1. Мына нүктелерді салыңыз:
А(3), B(5), С(–1), D(3
2 ), E(–7
3 ), F(2 ) және H(–5 ).
2. Координаталары мына теңдеулерді қанағаттандыратын нүктелерді
салыңыз:
1) |x| = 2; 2) |x–1| = 3; 3) |1– x|=2; 4) | 2+x| = 2.
3. Координаталары мына теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелердің
геометриялық орнын сипаттаңыз:
1) |x| >2; 2) х – 30; 3) 12– x<0; 4) 2x–30;
5) 3x–5>0; 6) 1<x<3; 7) – 2x3; 8) 1
2


x
x >0;

7
9) 2
12


x
x >1; 10) 1
2


x
x <0; 11) 2
12


x
x <1;
12) x
2
– 8x+150; 13) x
2
–– 8x+15>0;
14) x
2
+ x–12>0; 15) x
2
+x– 120.
4. Мына нүктелермен берілген кесіндінің АВ шамасын және |АВ|
ұзындығын анықтаңыз:
1) А(3) және В(11); 2) А (5) және В (2);
3) А (–1) және В (3); 4) А (–5) және В (–3); 5) А (–1) және В (–3);
6) А(–7) және В (–5).
5. Егер төмендегілер белгілі болса, онда А нүктесінің координаталарын
табыңыз:
1) В (3) және АВ = 5; 2) В (2) және АВ = – 3; 3) В (–1) және ВА = 2; 4) В
(–5) және ВА = –3; 5) В(0) және |АВ| = 2; 6) В (2) және |АВ| = 3;
7) В(– 1) және |АВ|=5; 8) В(–5) және |АВ| = 2.
6. Координаталары мына теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелердің
геометриялық орнын сипаттаңыз:
1) |x|<1; 2) |x|>2; 3) |x| 2; 4) |x|3; 5) х – 2|<3;
6) |x – 5|l; 7) х– 1|2; 8) |x–3=1; 9) |x+1|<3;
10) |x+2|>1; 11) x+5|l; 12) |x+1|2.
7. Мына мәліметтер бойынша С нүктесі АВ кесіндісін бөлетін CB
AC

қатынасын анықтаңыз: 1) А(2); В(6) және С(4); 2) А (2), В (4) және С(7);
3) А(–1), В(5) және С(3); 4) А(1), В(13) және С(5);5) А(5), В (–2) және С(–5).
8. Үш нүкте А (–7), В (–1) және С(1) берілген. Олардың әрқайсысы қалған
екеуімен шектелген кесіндіні бөлетін  қатынасын анықтаңыз.
9. Берілген М1(х1) және М2(х2) нүктелерімен шектелген M1M2 кесіндісін
М(х) нүктесі бөлетін 2
1
MM
MM
 қатынасын анықтаңыз.
10. Берілген М1(х1) және М2(х2) нүктелерімен шектелген M1M2 кесіндісін
берілген қатынаста бөлетін М нүктесінің х координатасын анықтаңыз.
11. Берілген М1(х1) және М2(х2) нүктелерімен шектелген кесіндінің
ортасының х координатасын анықтаңыз.
12. Мына жағдайлардың әрқайсысында берілген нүктелермен шектелген
кесіндінің ортасының х координатасын анықтаңыз:
1) А(3) және В(5); 2) С(– 1) және D(5); 3) M1(– 1) және M2(–3);
4) Р1(–5) және Р1 (1); 5) Q1(3) және Q2(–4).
13. Егер төмендегілер белгілі болса, онда М нүктесінің координаталарын
анықтаңыз:
1) M1(3), М2(7) және 2
2
1

MM
MM
 ; 2) A(2), B(–5) және 3
MB
AM
 ;

8
3) С(–1), D(3) және 2
1

MD
CM
 ; 4) A(–1), B(3) және 2
MB
AM
 ;
5) A(1), B(–3) және 3
MA
BM
 ; 6) A(–2), B(–1) және 2
1

MA
BM
 .
14. Екі нүкте берілген: A (5) және B (–3). Анықтаңыз:
1) В нүктесіне қарағанда А нүктесіне симметриялы болатын М нүктесінің
координатасын;
2) А нүктесіне қарағанда В нүктесіне симметриялы болатын N нүктесінің
координатасын.
15. A (–2) және 5(19) нүктелерімен шектелген кесінді тең үш бөлікке
бөлінген. Бөлу нүктелерінің координаталарын табыңыз.
16. Кесінді Р(–25) және Q(–9) нүктелерімен тең үш бөлікке бөлінген.
Кесіндінің шеткі A және B нүктелерінің координаталарын табыңыз.

1.2 Жазықтықтағы декарттық координаталар

Жазықтықтағы тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі
ұзындықты өлшеу үшін сызықтық бірлік және қандай да бір ретпен
нөмірленген өзара перпендикуляр екі ось берілуімен анықталады.
Осьтердің қиылысу нүктесі координаталар бас нүктесі, ал осьтердің
өздері координаталық осьтер деп аталады. Координаталық осьтердің
біріншісі абсцисса осі, ал екіншісі ордината осі деп аталады.
Координаталар бас нүктесі О әрпімен, абсцисса
осі Ох, ордината осі Оу символдарымен белгіленеді.
Берілген жүйеде М нүктесінің координаталары деп х
= ОМx, у = ОМу сандары аталады (1–сурет), мұнда Мх
және My нүктелері М нүктесінің сәйкес Ох және Оу
осьтеріне проекциялары. Абсцисса осіндегі ОМх
кесіндісінің шамасын ОМх, ал ордината осіндегі ОМу
кесіндісінің шамасын ОМу деп белгілейді. х саны М нүктесінің
абсциссасы, ал у саны осы нүктенің ординатасы деп аталады. М(х;у)
символы М нүктесінің абсциссасы х, ал ординатасы у дегенді білдіреді. Оу
осі бүкіл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі, оның Ох осінің оң
бағытында орналасқан бөлігі оң деп, ал екіншісі сол деп аталады. Дәл осы
сияқты Ох осі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі, оның Оу осінің
оң бағытында орналасқан бөлігі жоғары деп, ал екіншісі төменгі деп
аталады.
Екі координаталық осьтер бірігіп жазықтықты төрт ширекке бөледі,
оларды келесі ереже бойынша нөмірлейді: бірінші координаталық ширек
деп жоғары жарты жазықтықтың оң жақ бөлігі, екінші – жоғары жарты

9
жазықтықтың сол жақ бөлігі, үшінші – төменгі жарты жазықтықтың сол
жақ бөлігі, төртінші – төменгі жарты жазықтықтың оң жақ бөлігі аталады.
17. Нүктелерді салыңыз:
A(2; 3), В(–5; 1), С(–2; –3), D(0; 3), E(–5; 0), F(–3
2
;
3
1 )
18. Нүктелердің абсцисса осіне проекцияларының координаталарын
табыңыз:
A(2: –3), В(3;–1), С(–5;1), D(–3;– 2), E(–5; –1).
19. Нүктелердің ордината осіне проекцияларының координаталарын
табыңыз:
A(–3;2), В(–5; 1), С(3; –2), D(– 1; 1), E(–6; –2).
20. Төмендегі нүктелерге Ох осіне қарағанда симметриялы нүктелердің
координаталарын табыңыз:
1) A(2; 3); 2) В(–3; 2); 3) С(–1; –1);
4) D(–3; –5); 5) E(–4; 6); 6) F(a; b).
21. Төмендегі нүктелерге Оу осіне қарағанда симметриялы нүктелердің
координаталарын табыңыз:
1) A(–1; 2); 2) В(3; –1); 3) С(–2; –2);
4) D(–2; 5); 5) E(3; –5); 6) F(a; b).
22. Төмендегі нүктелерге координаталар бас нүктесіне қарағанда
симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:
1) A(3; 3); 2) В(2; –4); 3) С(–2; 1);
4) D(5; –3); 5) E(–5; –4); 6) F(a; b).
23. Төмендегі нүктелерге бірінші координаталық бұрыштың биссектри-
сасына қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:
1) A2; 3); 2) В(5; –2); 3) С(–3; 4).
24. Төмендегі нүктелерге екінші координаталық бұрыштың биссектри-
сасына қарағанда симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:
1) А(3; 5); 2) В(–4; 3); 3) С(7; –2).
25. М(х; у) нүктесі қай координаталық ширектерде орналасуы мүмкін
екенін анықтаңыз, егер:
1) xy > 0; 2) xy < 0; 3) x–у = 0; 4) x+y = 0;
5) x+y = 0; 6) x+у < 0; 7) x – y > 0; 8) x–y < 0;

1.3 Полярлық координаталар

Полярлық координаталар жүйесі полюс деп аталатын қандайда бір О
нүктесі, осы нүктеден шығатын полярлық ось деп аталатын ОА сәулесі
және ұзындықты өлшеу үшін масштаб берілуімен анықталады. Сонымен
қатар полярлық жүйе берілгенде О нүктесі айналасындағы қай бұрылу оң
(чертежде әдетте сағат тіліне қарсы бұрылу оң деп саналады) деп

10
есептелетіні айтылуы қажет. Еркін М (берілген жүйеге қарағанда)
нүктесінің полярлық координаталары деп  = ОМ және  =  АОМ
сандары аталады. Мұнда  бұрышын тригонометрияда сияқты түсіну
керек.  саны М нүктесінің бірінші координатасы немесе полярлық
радиус, ал  саны екінші координата немесе полярлық бұрыш деп аталады
( санын амплитуда деп те атайды).
М (; ) символы М нүктесінің полярлық координаталары  және 
екенін білдіреді.
 полярлық бұрышының шексіз көп мәндері бар (олардың бір–
бірінен айырмашылығының шамасы ± 2n, мұнда п – бүтін оң сан). –  <
 < +  теңсіздігін қанағаттандыратын полярлық бұрыштың мәні бас мән
деп аталады.
Декарттық және полярлық координаталар жүйесін бір уақытта
қарастырған кезде мынаған келісеміз: 1) бірдей масштабты қолдану; 2)
полярлық бұрышты анықтағанда абсциссаның оң жарты осін ординатаның
оң жарты осіне беттестіретін ең қысқа жол бағытындағы бұру оң деп
есептелу (сонымен, егер декарттық жүйенің осьтері кәдімгі жағдайда
болса, яғни Ох оң жаққа, ал Оу осі жоғары жаққа бағытталған, онда
полярлық бұрышты есептеу де кәдімгі, яғни сағат тіліне қарсы бағыттағы
бұрыштар оң деп есептелу керек).
Егер полярлық координата жүйесінің полюсі тікбұрышты декарттық
координаталар жүйесінің бас нүктесімен, ал полярлық ось абсциссаның оң
жарты осімен беттессе, онда еркін нүктенің полярлық координаталарынан
осы нүктенің декарттық координаталарына көшу мына формула бойынша
жүзеге асады:
х =  cos , у =  sin .
Бұл жағдайда 22
yx
, x
y
tg
декарттық координатадан полярлық координатаға көшу формулалары
болады.
Екі полярлық координаталар жүйесін бір кезде қарастырғанда оң
бұру бағыттарын және масштабты екі жүйе үшін бірдей деп есептеуге
келісеміз.
26. Полярлық координаталармен берілген нүктелерді салыңыз:
A(3; 2
 ), B(2;  ), С(З; –4
 ), D(4; 37
1 ), Е(5; 2) және F(1; – 1)
(D, Е және F нүктелері үшін салуды транспортирмен қолданып жуықтап
орындаңыз).

11
27. Полярлық координаталар жүйесінде берілген
M1(3; 4
 ), M2 (2;–2
 ), M3 (3;–3
 ), M 4(1; 2) және Ms(5; –1)
нүктелеріне полярлық оське қарағанда симметриялы нүктелердің
полярлық координаталарын анықтаңыз.
28. Полярлық координаталар жүйесінде берілген
M1(1; 4
 ), M2 (5;–2
 ), M3 (2;–3
 ), M 4(4; 
6
5 ) және Ms(3; –2)
нүктелеріне полюске қарағанда симметриялы нүктелердің полярлық
координаталарын анықтаңыз.
29. Диагональдарының қиылысу нүктесі полюспен беттесетін ABCD
параллелограмының екі төбесі A(3; –
9
4 ) және B(5;
13
3 ) полярлық
координаталар жүйесінде берілген. Осы параллелограмның қалған екі
төбесін анықтаңыз.
30. Полярлық координаталар жүйесінде А( 8;–
3
2 ) және B(6;3
 ) нүктелері
берілген. А және В нүктелерін қосатын кесіндінің ортасының полярлық
координаталарын есептеңіз.
31. Полярлық координаталар жүйесінде А(3;2
 ), B(2;–4
 ), С(1; ),
D(5;
4
3 ), Е(3; 2) және F(2; – 1) нүктелері берілген. Полярлық осьтің оң
бағыты қарама–қарсы өзгертілген. Осы нүктелердің полярлық
координаталарын жаңа жүйеде анықтаңыз.
32. Полярлық координаталар жүйесінде M1(3; 3
 ), M2 (1; 
3
2 ), M3 (2; 0),
M 4 (5;4
 ), Ms (3; –
3
2 ) және M6 (1; 
12
11 ) нүктелері берілген. Полярлық ось
жаңа жағдайда М1 нүктесінен өтетіндей етіп бұрылған. Берілген
нүктелердің жаңа (полярлық) жүйеде координаталарын анықтаңыз.
33. Полярлық координаталар жүйесінде М1 (12; 
9
4 ) және М2 (12; –
9
2 )
нүктелері берілген. M1 және М2 нүктелерін қосатын кесіндінің ортасының
полярлық координаталарын есептеңіз.
34. Полярлық координаталар жүйесінде M1(1; 1) және М2 (2; 2)
нүктелері берілген. Олардың d арақашықтығын есептеңіз.
35. Полярлық координаталар жүйесінде M1(5; 4
 ) және М2 (8; –12
 )
нүктелері берілген. Олардың d арақашықтығын есептеңіз.
36. Полярлық координаталар жүйесінде квадраттың сыбайлас екі төбесі
М1(12; –10
 ) және М2 (3; 15
 ) берілген. Оның ауданын табыңыз.

12
37. Полярлық координаталар жүйесінде квадраттың қарама–қарсы екі
төбесі Р(6; –
12
7 ) және Q(4; 
6
1 ) берілген. Оның ауданын табыңыз.
38. Полярлық координаталар жүйесінде дұрыс үшбұрыштың екі төбесі
А(4; –
12
1 ) және В(8; 
12
7 ) берілген. Оның ауданын табыңыз.
39. ОАВ үшбұрышының бір төбесі полюсте, ал қалған екеуі А(1, 1) и
В(1, 1) нүктелерінде орналасқан. Осы үшбұрыштың ауданын табыңыз.
40. ОАВ үшбұрышының бір төбесі О полюсінде, ал қалған екеуі А (5; 4
 )
және В(4; 12
 ) нүктелерінде орналасқан. Осы үшбұрыштың ауданын
табыңыз.
41. Төбелері А(3; 
8
1 ), В(8; 
24
7 ), С(6; 
8
5 ) полярлық координаталармен
берілген үшбұрыштың ауданын есептеңіз.
42. Полярлық координата жүйесінің полюсі тікбұрышты декарттық
координаталар жүйесінің бас нүктесімен, ал полярлық ось абсциссаның оң
жарты осімен беттескен болсын. Полярлық координаталар жүйесінде
M1(6; 2
 ), M2 (5; 0), M3 (2; 4
 ), M 4(10; 3
 ), Ms(8; 
3
2 ) және M6(12; –6
 )
нүктелері берілген. Осы нүктелердің декарттық координаталарын
анықтаңыз.
43. Полярлық координата жүйесінің полюсі тікбұрышты декарттық
координаталар жүйесінің бас нүктесімен, ал полярлық ось абсциссаның оң
жарты осімен беттескен болсын. Полярлық координаталар жүйесінде
M1(0;5), M2 (–3; 0), M3(3 ; 1), M4(–2 ;–2 ), M6 (1;–3 ) нүктелері берілген.
Осы нүктелердің декарттық координаталарын анықтаңыз.

1.4 Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері

I. Екі нүктенің ара қашықтығы.
a) сандық осьтегі.
Бізге сандық ось берілсін. )(
11
xM және )(
22
xM – осьтегі кез келген
нүктелер болсын. 1221
xxMM  – кесіндінің шамасы. 1221)( xxdMM  –
кесіндінің ұзындығы
б) Жазықтықта тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі
берілсін(ТБКЖ).
Егер жазықтықта ),(),,(
222111
yxMyxM нүктелері берілсе, онда
d = 2
12
2
12
)()( yyxx  – жазықтықтағы екі нүктенің арақашықтығының
формуласы.

13
II. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу:
Егер М(х; у) нүктесі М1(х1, y1) және М2(х2; у2) нүктелері арқылы өтетін
түзу бойында жатса және М нүктесі М1М2 кесіндісін бөлетін қатынас  = 2
1
MM
MM
берілсе, онда М нүктесінің координаталары мына формуламен
анықталады: x = 



1
21xx ; y = 



1
21yy
Егер М нүктесі М1М2 кесіндісінің ортасы болса, онда оның
координаталары мына формуламен анықталады: x = 2
21xx ; y = 2
21yy
44. Егер кесіндінің ұзындығы d және оның оське көлбеу бұрышы  белгілі
болса, онда оның и осіне проекциясын есептеңіз:
l) d = 6,  = 3
 ; 2) d = 6,  = 3
2 ; 3) d = 7,  = 2
 ;
4) d = 5,  = 0; 5) d = 5,  = ; 6) d = 4,  = – 3
 .
45. Егер координаталық осьтерге проекциялары белгілі болса, онда
координаталар бас нүктесінен шығатын кесінділерді чертежде салыңыз:
1) Х = 3, Y = 2; 2) Х = 2, Y = – 5; 3) Х =– 5, Y = 0;
4) Х = – 2, Y = 3; 5) Х = 0, Y = 3; 6) Х = – 5, Y = – 1.
46. Егер координаталық осьтерге проекциялары белгілі болса, онда бас
нүктесі M(2; –1) нүктесінде жататын кесінділерді чертежде салыңыз:
а) Х = 4, Y = 3; б) Х = 2, Y = 0; в) Х = – 3, Y = 1;
г) Х = – 4, Y = – 2; д) Х = 0, Y = –3; е) X = 1, Y = –3.
47. M1(1; –2), M1 (2; 1), M2 (5; 0), M3 (–1; 4) және M4(0; –3) нүктелері
берілген. Мына кесінділердің координаталық осьтерге проекцияларын
табыңыз:
1) M1M2, 2) M3M2 3)M4M5, 4) M5M3.
48. М1М2 кесіндісінің координаталық осьтерге проекциялары Х= 5, Y = – 4
берілген. Кесіндінің бас нүктесі M1(–2; 3) белгілі болса, онда оның
соңының координаталарын табыңыз.
49. АВ кесіндісінің координаталық осьтерге проекциялары Х= 4, Y = – 5
берілген. Кесіндінің соңы В(1; –3) нүктесінде болатыны белгілі болса,
онда оның басының координаталарын табыңыз.
50. Координаталар бас нүктесінен шығатын кесінділерді олардың
әрқайсысының ұзындығы d және полярлық бұрышы  бойынша чертежде
салыңыз: l) d = 5,  = 5
 ; 2) d = 3,  = 
6
5 ;
3) d = 4,  = –3
 ; 4) d = 3,  = –2
 .

14
51. Бастары М (2;3) нүктесінде болатын кесінділерді олардың
әрқайсысының ұзындығы d және полярлық бұрышы  бойынша чертежде
салыңыз:
1) d = 2,  = –10
 ; 2) d = 1,  = 9
 ; 3) d = 5,  = –2

52. Олардың әрқайсысының ұзындығы d және полярлық бұрышы  белгілі
болса, онда олардың координаталық осьтерге проекцияларын есептеңіз:
l) d = 12,  = 
3
2 ; 2) d = 6,  = –6
 ; 3) d = 2, e = –4
 .
53. Кесінділердің координаталық осьтерге проекциялары берілген:
1) Х = 3, Y = –4; 2) Х =12, Y =5; 3) Х = –8, Y = 6. Олардың әрқайсысының
ұзындығын табыңыз.
54. Кесінділердің координаталық осьтерге проекциялары берілген:
1) X = 1, Y = 3 ; 2) X = 32 , Y = –32 ; 3) Х = – 23 , Y = 2.
Олардың әрқайсысының ұзындығын d және полярлық бұрышын  есепте.
55. М1(2; –3), М2(1; –4), М3(–1; –7) және М4(–4; 8) нүктелері берілген.
Мына кесінділердің ұзындығын және полярлық бұрышын есептеңіз:
1) M1M2, 2) M1M3 3) M2M4, 4) M4M3.
56. Кесіндінің d ұзындығы 5–ке тең, ал оның абсцисса осіне проекциясы
4–ке тең. Егер кесінді ордината осімен а) сүйір, б) доғал бұрыш жасайтын
болса, онда осы кесіндінің ордината осіне проекциясын табыңыз.
57. MN кесіндісінің ұзындығы 13–ке тең, оның басы М(3;–2) нүктесінде,
ал абсцисса осіне проекциясы 12–ге тең. Егер кесінді ордината осімен а)
сүйір, б) доғал бұрыш жасайтын болса, онда осы кесіндінің соңының
координаталарын табыңыз.
58. MN кесіндісінің ұзындығы 17–ге тең, оның соңы N (–7; 3) нүктесінде,
ал ордината осіне проекциясы 15–ке тең. Егер кесінді абсцисса осімен а)
сүйір, б) доғал бұрыш жасайтын болса, онда осы кесіндінің басының
координаталарын табыңыз.
59. Кесіндінің координаталар осьтеріне проекциялары Х = 1, Y = –3
белгілі болса, онда оның Ох осімен  = – 
3
2 бұрыш жасайтын оське
проекциясын табыңыз.
60. Екі нүкте M1(1; –5) және M 2(4; –1) берілген. M1M2 кесіндісінің Ох
осімен  = – 6
 бұрыш жасайтын оське проекциясын табыңыз.
61. Екі нүкте Р(–5; 2) және Q(3; 1) берілген. PQ кесіндісінің Ох осімен  =
arctg3
4 бұрыш жасайтын оське проекциясын табыңыз.
62. Екі нүкте М1(2;–2) және М2(7;–3) берілген. M1M2 кесіндісінің А(5;–4),
В(– 7; 1) нүктесінен өтетін және 1) А–дан В–ға; 2) В–дан А–ға бағытталған
оське проекциясын табыңыз.

15
63. А (0; 0), В(3; –4), С(–3; 4), D(– 2; 2) және E(10; –3) нүктелері берілген.
Мына нүктелердің: 1) А және В; 2) В және С; 3) А және С; 4) С және D; 5)
А және D; 6) D және Е арақашықтығын d табыңыз.
64. Квадраттың екі сыбайлас төбелері А(3; –7) және В(–1;4) берілген.
Оның ауданын табыңыз.
65. Квадраттың екі қарама–қарсы төбелері Р(3; 5) және Q(l; –3) берілген.
Оның ауданын табыңыз.
66. Егер дұрыс үшбұрыштың екі төбесі А(–3; 2) және В(1; 6) берілсе, онда
оның ауданын табыңыз.
67. ABCD параллелограмының үш төбесі А(3; –7), В(5; –7), С(–2; 5)
берілген, ал төртінші D төбесі В төбесіне қарама–қарсы. Осы
параллелограмның диагоналдарының ұзындықтарын анықтаңыз.
68. Ромбтың қабырғасы 510 –ге тең, ал оның екі қарама–қарсы төбелері
Р(4; 9) және Q(–2; 1). Осы ромбтың ауданын есептеңіз.
69. Ромбтың қабырғасы 52 –ге тең, ал оның екі қарама–қарсы төбелері
Р(3; –4) және Q(l; 2). Осы ромбтың биіктігінің ұзындығын есептеңіз.
70. A(3; –5), В(–2; –7) және С(18; 1) нүктелері бір түзуде жататынын
дәлелдеңіз.
71. Төбелері А1(1; 1), А2(2; 3) және А3(5; –1) болатын үшбұрыштың
тікбұрышты болатынын дәлелдеңіз.
72. А(2; 2), В(–1; 6), С(–5; 3) және D(–2; –1) нүктелері квадраттың төбелері
болатынын дәлелдеңіз.
73. Төбелері M1(1; 1), М2(0; 2) және M 3(2; –1) болатын үшбұрыштың ішкі
бұрыштарының ішінде доғал бұрыш бар ма?
74. Төбелері М(–1; 3), N(1; 2) және Р(0; 4) болатын үшбұрыштың барлық
ішкі бұрыштары сүйір болатынын дәлелдеңіз.
75. А (5; 0), В(0; 1) және С(3; 3) нүктелері үшбұрыштың төбелері болса,
онда оның ішкі бұрыштарын есептеңіз.
76. А(– 3 ; 1) В(0; 2) және С(–23 ; 2) нүктелері үшбұрыштың төбелері
болса, онда оның А төбесіндегі сыртқы бұрышын есептеңіз.
77. N (2; –3) нүктесінен қашықтығы 5–ке тең болатын абсцисса осіндегі М
нүктесін табыңыз.
78. N(–8; 13) нүктесінен қашықтығы 17–ге тең болатын ордината осіндегі
М нүктесін табыңыз.
79. Екі нүкте М(2; 2) және N(5; –2) берілген. Абсцисса осінде MPN
бұрышы тік болатындай Р нүктесін табыңыз.
80. А (4; 2) нүктесі арқылы екі координаталық осьтерді жанайтын шеңбер
жүргізілген. Оның С центрін және R радиусын анықтаңыз.
81. М1(1; –2) нүктесі арқылы Ох осін жанайтын және радиусы 5–ке тең
болатын шеңбер жүргізілген. Шеңбердің С центрін анықтаңыз.

16
82. А(1; 0) және В(–1; –2) нүктелері арқылы өтетін түзуге қарағанда М1(1;
2) нүктесіне симметриялы болатын М2 нүктесінің координаталарын
анықтаңыз.
83. Квадраттың қарама–қарсы екі төбелері А(3; 0) және С(–4; 1) берілген.
Оның басқа екі төбелерін табыңыз.
84. Квадраттың екі сыбайлас төбелері А(2; –1) және В(–1; 3). берілген.
Оның басқа екі төбелерін табыңыз.
85. Үшбұрыштың төбелері М1(–3; 6), М 2(9; –10) және М3(–5; 4) берілген.
Осы үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің С центрін және R
радиусын анықтаңыз.
86. Біртекті стерженьнің шеткі нүктелері А(3; –5) және В(–1; 1) берілген.
Оның ауырлық центрінің координаталарын анықтаңыз.
87. Біртекті стерженьнің ауырлық центрі М(1; 4), ал оның бір шеткі
нүктесі Р(–2; 2) нүктесінде орналасқан. Оның екінші Q шеткі нүктесінің
координаталарын анықтаңыз.
88. Үшбұрыштың төбелері А(1; – 3), В(3; – 5) и С(5; 7) берілген. Оның
қабырғаларының орталарын табыңыз.
89. А (3; –1) және В(2; 1) нүктелері берілген. Анықтаңыз:
1) В нүктесіне қарағанда А нүктесіне симметриялы болатын М нүктесінің
координаталарын;
2) А нүктесіне қарағанда В нүктесіне симметриялы болатын N нүктесінің
координаталарын.
90. М(1; –1), N(– 1; 4) және Р(–2; 2) нүктелері үшбұрыштың
қабырғаларының орталары болады. Оның төбелерін табыңыз.
91. Параллелограмның үш төбесі А(3; –5), В(5; –3), С(– 1; 3) берілген. В
төбесіне қарама–қарсы орналасқан D төбесін анықтаңыз.
92. Параллелограмның екі сыбайлас төбелері А(–3; 5), В(1; 7) және
диагональдарының қиылысу нүктесі М(1; 1) берілген. Оның қалған екі
төбесін табыңыз.
93. ABCD параллелограмының үш төбесі А (2; 3), В(4; –1) және С(0; 5)
берілген. Оның төртінші D төбесін табыңыз.
94. Үшбұрыштың төбелері А(1; 4), В(3; –9), С(–5; 2) берілген. Оның В
төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығын табыңыз.
95. А(1; –3) және В(4; 3) нүктелерімен шектелген кесінді тең үш бөлікке
бөлінген. Бөліну нүктелерінің координаталарын табыңыз.
96. Үшбұрыштың төбелері А(2; –5), В(1;–2), С(4; 7) берілген. Оның АС
қабырғасы мен В төбесінің ішкі бұрышының биссектрисасының қиылысу
нүктесін табыңыз.
97. Үшбұрыштың төбелері А(3; –5), В(–3; 3) және С(–1; –2) берілген. Оның
А төбесінің ішкі бұрышының биссектрисасының ұзындығын табыңыз.

17
98. Үшбұрыштың төбелері А(–1; –1), В(3; 5), С(–4; 1) берілген. Оның А
төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы мен ВС қабырғасының
созындысының қиылысу нүктесін табыңыз.
99. Үшбұрыштың төбелері А(3; –5), В(1; –3), С(2; –2) берілген. Оның В
төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасының ұзындығын табыңыз..
100. Бір түзуде жататын үш нүкте А(1; –1), В(3; 3) және С(4; 5) берілген.
Олардың әрқайсысы қалған екі нүктемен шектелген кесіндіні бөлетін 
қатынасын анықтаңыз.
101. Кесінді Р(2; 2) және Q(l; 5) нүктелерімен тең үш бөлікке бөлінген.
Кесіндінің шеткі A және B нүктелерінің координаталарын табыңыз.
102. Түзу М1(– 12; – 13) және М2(–2; –5) нүктелерінен өтеді. Осы түзуде
абсциссасы 3 болатын нүктені табыңыз.
103. Түзу М (2; –3) және N(–6; 5) нүктелерінен өтеді. Осы түзуде
ординатасы –5 болатын нүктені табыңыз.
104. Түзу A(7; –3) және B(23; –6) нүктелерінен өтеді. Осы түзудің абсцисса
осімен қиылысу нүктесін табыңыз.
105. Түзу А (5; 2) және В(–4;–7) нүктелерінен өтеді. Осы түзудің ордината
осімен қиылысу нүктесін табыңыз.
106. Төртбұрыштың төбелері А(–3; 12), В(3; –4), С(5; –4) және D(5; 8)
берілген. Оның АС диагоналі BD диагоналін қандай қатынаста бөледі.
107. Төртбұрыштың төбелері А(–2; 14), B(4; –2), С(6; –2) және D(6; 10)
берілген. Оның АС және BD диагональдарының қиылысу нүктесін
анықтаңыз.
108. Біртекті үшбұрышты пластинканың төбелері А(х1, y1), B(х2, y2,) және
С(х3; у3) берілген. Оның ауырлық центрінің координаталарын табыңыз.
Нұсқау. Ауырлық центрі медианалардың қиылысу нүктесінде орналасады.
109. Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі М абсцисса осінде,
оның екі төбесі А (2;–3) және В(–5; 1) нүктелері, үшінші төбесі С ордината
осінде жатыр. М және С нүктелерінің координаталарын табыңыз.
110. Біртекті үшбұрышты пластинканың төбелері А(х1, y1), B(х2, y2,) және
С(х3; у3) берілген. Егер оның қабырғаларының орталарын қосатын болсақ,
онда жаңа біртекті үшбұрышты пластинка шығады. Екі пластинканың
ауырлық центрлерінің беттесетінін дәлелдеңіз.
Нұсқау. 108 есептің қорытындысын пайдаланыңыз.
111. Біртекті пластинка қабырғасы 12–ге тең квадрат тәріздес. Одан
квадрат қиылып алынған. Қию сызықтары квадраттың центрінен өтеді, ал
координата осьтері пластинканың қабырғалары бойымен бағытталған.
Осы пластинканың ауырлық центрін табыңыз.
112. Біртекті пластинка қабырғалары а және b болатын тіктөртбұрыш
тәріздес. Одан тіктөртбұрыш қиылып алынған. Қию сызықтары
квадраттың центрінен өтеді, ал координата осьтері пластинканың

18
қабырғалары бойымен бағытталған. Осы пластинканың ауырлық центрін
табыңыз.
113. Біртекті пластинка қабырғасы 2а болатын квадрат тәріздес. Одан
үшбұрыш қиылып алынған. Қию сызықтары сыбайлас екі
қабырғаларының орталарын қосады, ал координата осьтері пластинканың
қабырғалары бойымен бағытталған. Осы пластинканың ауырлық центрін
табыңыз.
114. Мына A(x1; у1), В(x2; у2) және С(х3; у3) нүктелерде т, п және р
массалары шоғырланған. Осы үш масса жүйесінің ауырлық центрінің
координаталарын анықтаңыз.
115. A(4; 2), B(7; –2) және С(1; 6) нүктелері біртекті проволкадан жасалған
үшбұрыштың төбелері болады. Осы үшбұрыштың ауырлық центрін
анықтаңыз.

1.5 Үшбұрыштың ауданы

А (х1, у1), В (х2; y2), С (х3, у3) үш нүктесі қандай болса да ABC
үшбұрышының ауданы S мына формуламен есептеледі: 1313
1212
2
1
yyxx
yyxx
S



.
Егер АВ кесіндісінен АС кесіндісіне ең қысқа бұрылу оң болса, онда
бұл формуланың оң жағы +S, ал бұл бұрылу теріс болса, онда –S болады.
116. Төбелері мына нүктелерде болатын үшбұрыштың ауданын есептеңіз:
1) A(2; –3), В(3; 2) және С(–2; 5); 2) M1(–3; 2), М2(5; –2) және M3(1; 3);
3) М(3; –4), N(–2; 3) және Р(4; 5).
117. Үшбұрыштың төбелері А(3; 6), В(–1; 3) және С(2; –1) берілген. Оның
С төбесінен жүргізілген биіктігінің ұзындығын есептеңіз.
118. Үш төбесі А (–2; 3), В (4; –5) және С(– 3; 1) нүктелерінде болатын
параллелограмның ауданын есептеңіз.
119. Параллелограмның үш төбесі А (3; 7), В (2; – 3) және С(– 1; 4)
берілген. Оның В төбесінен АС қабырғасына жүргізілген биіктігінің
ұзындығын есептеңіз.
120. Біртекті төртбұрышты пластинканың тізбектелген төбелері A(2;1),
B(5;3), С(–1;7) және D(–7; 5) берілген. Оның ауырлық центрінің
координаталарын табыңыз.
121. Біртекті бесбұрышты пластинканың тізбектелген төбелері А (2;3),
B(0;6), С(–1;5), D(0;1) және Е(1;1) берілген. Оның ауырлық центрінің
координаталарын табыңыз.
122. Үшбұрыштың ауданы S=3, оның екі төбесі A(3;1) және B(1; –3), ал
үшінші С төбесі Оу осінде жатыр. С төбесінің координаталарын табыңыз.

19
123. Үшбұрыштың ауданы S=4, оның екі төбесі A(2;1) және B(3; –2), ал
үшінші С төбесі Ох осінде жатыр. С төбесінің координаталарын табыңыз.
124. Үшбұрыштың ауданы S=3, оның екі төбесі А(3;1) және B(1; –3), ал
үшбұрыштың ауырлық центрі Ох осінде жатыр. Үшінші С төбесінің
координаталарын табыңыз.
125. Параллелограмның ауданы S=12 кв. бірл., оның екі төбесі А( –1;3)
және В(–2;4). Егер оның диагональдарының қиылысу нүктесі абсцисса
осінде жатса, онда осы параллелограмның қалған екі төбесін табыңыз.
126. Параллелограмның ауданы S=17 кв. бірл., оның екі төбесі A(2;1) және
B(5; –3). Егер оның диагональдарының қиылысу нүктесі ордината осінде
жатса, онда осы параллелограмның қалған екі төбесін табыңыз.

1.6 Координаталарды түрлендіру

Осьтерді параллель жылжыту арқылы тікбұрышты декарттық
координаталарды түрлендіру формулалары мына түрде анықталады:
х = х'+ а, у=у'+ b.
Мұнда х, у жазықтықтағы еркін М нүктесінің ескі осьтерге қарағандағы
координаталары, ал х’, у’ – осы нүктенің жаңа осьтерге қарағандағы
координаталары, а, b – ескі осьтерге қарағандағы жаңа О' бас нүктенің
координаталары (сонымен қатар а абсцисса осі бағытымен жылжыту
шамасы, b – ордината осі бағытымен жылжыту шамасы дейді).
Осьтерді  бұрышына бұрғанда (тригонометриядағы сияқты түсініп)
тікбұрышты декарттық координаталарды түрлендіру формулалары мына
түрде анықталады:
x = х' cos  – y sin ,
у = x' sin  – у' cos .
Мұнда х, у жазықтықтағы еркін М нүктесінің ескі осьтерге қарағандағы
координаталары, ал х’, у’ –осы нүктенің жаңа осьтерге қарағандағы
координаталары. Мына формулалар
x = х' cos  – y sin  + а,
у = х' sin  + y cos  + b
осьтер жүйесін Ох бағытында а шамаға, Оу бағытында b шамаға
параллель жылжытып және сонымен қатар осьтерді  бұрышқа бұрғанда
координаталарды түрлендірулерді анықтайды. Көрсетілген барлық
формулалар масштабты өзгертпегендегі координаталарды
түрлендірулерге сай келеді. Төменде келтірілген есептерде де масштаб
өзгермейді деп есептеледі.
127. Егер координаталар бас нүктесі (осьтердің бағытын өзгертпей) мына
нүктелерге көшірілсе, онда координаталарды түрлендіру формулаларын
жазыңыз: 1) А(3;4); 2) В(–2;1); 3) С(–3;5).

20
128. Координаталар бас нүктесі (осьтердің бағытын өзгертпей) мына
нүктеге О' (3;–4) көшірілген. А(1,3), В( –3;0) және С( –1;4) нүктелерінің
координаталары жаңа жүйеде анықталған. Осы нүктелердің ескі жүйедегі
координаталарын есептеңіз.
129. А(2; 1), В(–1;3) және С(–2;5) нүктелері берілген. Егер координаталар
бас нүктесі (осьтердің бағытын өзгертпей) 1) А нүктеге; 2) В нүктеге; 3) С
нүктеге көшірілсе, онда олардың жаңа жүйедегі координаталарын
табыңыз.
130. Егер координаталарды түрлендіру формулалары мына теңдіктермен
берілсе: 1) x = x' + 3, у = у' + 5; 2) х = x ' – 2, у = у' + 1;
3) х = x', у = у' – 1; 4) х = х' – 5, у = у'; онда жаңа жүйенің О' бас
нүктесінің ескі жүйедегі координаталарын анықтаңыз.
131. Егер координата осьтері мына бұрыштардың біріне бұрылса:
1) 60°; 2) –45°; 3) 90°; 4) –90°; 5) 180° онда координаталарды түрлендіру
формулаларын жазыңыз.
132. Координата осьтері α =60° бұрышына бұрылған. А(32 ; –4), В(3 ;0)
және С(0;–32 ) нүктелерінің координаталары жаңа жүйеде анықталған.
Осы нүктелердің ескі координаталар жүйесіндегі координаталарын
есептеңіз.
133. М(3;1), N(–1;5) және Р(–3;–1) нүктелері берілген. Егер координата
осьтері: 1) –45°; 2) 90°; 3) –90°; 4) 180° бұрышына бұрылған болса, онда
олардың жаңа жүйедегі координаталарын табыңыз.
134. Егер координаталарды түрлендіру формулалары мына теңдіктермен
берілсе: 1) x ='
2
3
'
2
1
yx ,y ='
2
1
'
2
3
yx ; 2) x ='
2
1
'
2
3
yx , y ='
2
3
'
2
1
yx
Онда осьтер бұрылған α бұрышты анықтаңыз.
135. Егер A(3; –4) нүктесі жаңа абсцисса осінде, ал В(2;3) нүктесі жаңа
ордината осінде жатса, сонымен қатар ескі және жаңа координаталар
жүйелерінің бағыттары бірдей болса, онда жаңа координалар жүйесінің О'
бас нүктесінің координаларын анықтаңыз.
136. Егер M1(1;–3) нүктесі жаңа абсцисса осінде, ал M2(l;–7) нүктесі жаңа
ордината осінде жатса, сонымен қатар ескі және жаңа координаталар
жүйелерінің бағыттары бірдей болса, онда координаталарды түрлендіру
формулаларын жазыңыз.
137. Екі жүйенің Ох, Оу және Ох’, Оу’ координата осьтерінің бас нүктесі О
ортақ және олардың бірі екіншісіне бір бұрышқа бұрғаннан түрленеді.
А(3;–4) нүктесінің координаталары оның біріншісіне қарағанда
анықталған. Ох
’
осінің оң бағыты ОА кесіндісімен анықталатыны белгілі
болса, онда координаталарды түрлендіру формулаларын қорытып
шығарыңыз.

21
138. Координаталар бас нүктесі O’(–1;2) нүктесіне көшірілген, ал
координата осьтері  =arctg12
5 бұрышына бұрылған. М1 (3;2), М2(2;–3)
және M3(13;–13) нүктелерінің координаталары жаңа жүйеде анықталған.
Осы нүктелердің ескі координаталар жүйесіндегі координаталарын
есептеңіз.
139. А (5;5), В(2;–1) және С(12;–6) үш нүктесі берілген. Егер
координаталар бас нүктесі В нүктесіне көшірілген, ал координата осьтері
 =arctg4
3 бұрышына бұрылған болса, онда осы нүктелердің жаңа
жүйедегі координаталарын табыңыз.
140. Егер координаталарды түрлендіру формулалары мына теңдіктермен
берілсе: 1) x = у’ + 3, y = x’ – 2; 2) х = – x’ – 1, у = –y’ + 3;
3) x = 5'
2
2
'
2
2
yx y =–3'
2
2
'
2
2
yx ,
онда жаңа бас нүктенің ескі координаталарын және осьтер бұрылған 
бұрышты анықтаңыз.
141. М1(9;–3) және М2(–6;5) екі нүктесі берілген. Координаталар бас
нүктесі М1 нүктесіне көшірілген, ал координата осьтері жаңа абсцисса
осінің оң бағыты М1М2 кесіндісінің бағытымен беттесетіндей етіп
бұрылған. Координаталарды түрлендіру формулаларын қорытып
шығарыңыз.
142. Полярлық координаталар жүйесінің полярлық осі тікбұрышты
декарттық жүйенің абсцисса осіне параллель және онымен бірдей
бағытталған. О(1;2) полюстің тікбұрышты декарттық координаталары
және M1(7;2
 ), М2(3;0), М3(5;–2
 ), М4(2;
3
2 ) және M5(2;–2
 ) нүктелерінің
полярлық координаталары берілген. Осы нүктелердің тікбұрышты
декарттық жүйедегі координаталарын анықтаңыз.
143. Полярлық жүйенің полюсі тікбұрышты декарттық жүйенің бас
нүктесімен беттеседі, ал полярлық ось бірінші координаталық бұрыштың
биссектрисасы бойымен бағытталған. M1(5;4
 ), М2(3;–2
 ), М3(1;
2
3 ),
М4(6;
4
3 ) және M5(2;–12
 ) нүктелерінің полярлық координаталары
берілген. Осы нүктелердің тікбұрышты декарттық жүйедегі
координаталарын анықтаңыз.
144. Полярлық координаталар жүйесінің полярлық осі тікбұрышты
декарттық жүйенің абсцисса осіне параллель және онымен бірдей
бағытталған. О(3;2) полюстің және М1(5;2), М2(3;1), М3(3;5), М4(3+2 ;2–2
) және М5(3+3 ;3) нүктелерінің тікбұрышты декарттық

22
координаталары берілген. Осы нүктелердің полярлық координаталарын
анықтаңыз.
145. Полярлық жүйенің полюсі тікбұрышты декарттық жүйенің бас
нүктесімен беттеседі, ал полярлық ось бірінші координаталық бұрыштың
биссектрисасы бойымен бағытталған. М1(–1;1), М2(2 ;–2 M3(1;3 ), М4(–3
;1) және М5(23 ;–2) нүктелерінің тікбұрышты декарттық
координаталары берілген. Осы нүктелердің полярлық координаталарын
анықтаңыз.

2 Жазықтықтағы сызықтың теңдеуі

2.1 Екі айнымалы функция

Егер жазықтықтың (немесе жазықтықтың бөлігінің) әрбір М
нүктесіне кейбір u саны сәйкестендірілетін ереже көрсетілген болса, онда
жазықтықта (немесе жазықтықтың бөлігінде) «нүктенің функциясы
берілді»; функцияның берілуін символмен )(Mfu түріндегі теңдікпен
өрнектейді. М нүктесіне сәйкестендірілетін u саны функцияның М
нүктесіндегі мәні деп аталады. Мысалы, егер А – жазықтықтың бекітілген
нүктесі, М – еркін нүкте болса, онда А–дан М–ге дейінгі арақашықтық М
нүктесінің функциясы. Бұл жағдайда AMMf)( .
Кейбір )(Mfu функциясы берілген болсын және сонымен қатар
координаталар жүйесі енгізілсін. Сонда М еркін нүктесі х,у
координаталарымен анықталады. Берілген функцияның М нүктесіндегі
мәні де соған сәйкес х,у координаталарымен анықталады немесе )(Mfu
екі х және у айнымалы функция дейді. Екі х,у айнымалы функция ),(yxf
символымен белгіленеді; егер ),()( yxfMf болса, онда ),(yxfu
формуласы берілген функцияның таңдалған координаталар жүйесіндегі
өрнегі деп аталады. Өткен мысалда AMMf)( ; егер басы А нүктесінде
болатын тікбұрышты декарттық координаталар жүйесін енгізсек, онда осы
функцияның өрнегін аламыз: 22
yxu  .
146. Арақашықтығы а болатын Р және Q екі нүкте және 2
2
2
1
)( ddMf 
функциясы берілген, мұнда MPd
1 және MQd
2 . Егер координаталар
басы ретінде Р нүктесі алынып, ал Ох осі PQ кесіндісі бойынша
бағытталса, онда осы функцияның өрнегін анықтаңыз.
147. 146 есебінің шартында )(Mf функциясының өрнегін анықтаңыз
(тікелей және 146 есептің нәтижесін пайдаланып координаталарды
түрлендіру көмегімен), егер:
1) координаталар басы ретінде PQ кесіндісінің ортасы таңдалған, ал Ох осі
PQ кесіндісі бойынша бағытталған;

23
2) координаталар басы ретінде P нүктесі таңдалған, ал Ох осі QP кесіндісі
бойынша бағытталған.
148. Қабырғасы а болатын квадрат және 2
4
2
3
2
2
2
1
)( ddddMf  функциясы
берілген, мұнда MAd
1 , MBd
2 , MCd
3 , MDd
4 . Егер координаталар
осьтері ретінде квадраттың диагональдары (Ох осі АС кесіндісі, Оу осі BD
кесіндісі бойынша) алынса, онда осы функцияның өрнегін анықтаңыз.
149. 148 есептің шартында )(Mf өрнегін анықтаңыз (тікелей және 148
есептің нәтижесін пайдаланып координаталарды түрлендіру көмегімен),
егер координаталар басы ретінде А нүктесі таңдалған, ал координаталар
осьтері оның қабырғалары бойынша (Ох осі АВ кесіндісі, Оу осі АD
кесіндісі бойынша) бағытталған.
150. yxyxyxf 86),(
22
 функциясы берілген. Егер координаталар басы
(осьтерінің бағыттары өзгермей) )4;3(O нүктесіне көшірілген болса, онда
жаңа координаталар жүйесінде осы функцияның өрнегін анықтаңыз.
151. 16),(
22
 yxyxf функциясы берілген. Егер координаталар осьтері
45° бұрышқа бұрылған болса, онда жаңа координаталар жүйесінде осы
функцияның өрнегін анықтаңыз.
152. 22
),( yxyxf  функциясы берілген. Егер координаталар осьтері кейбір
 бұрышқа бұрылған болса, онда жаңа координаталар жүйесінде осы
функцияның өрнегін анықтаңыз.
153. Ол нүктеге координаталар басын көшіргенде 362),(
22
 xyxyxyxf
функциясы түрлендіргеннен соң жаңа айнымалыларға қарағанда бірінші
дәрежелі мүшелері болмайтындай нүктені табыңыз.
154. Ол нүктеге координаталар басын көшіргенде 7244),(
22
 yxyxyxyxf
функциясы түрлендіргеннен соң жаңа
айнымалыларға қарағанда бірінші дәрежелі мүшелері болмайтындай
нүктені табыңыз.
155. 362),(
22
 xyxyxyxf функциясының өрнегі түрлендіргеннен соң
жаңа айнымалылардың көбейтіндісі бар мүшесі болмауы үшін
координаталар осьтерін қандай бұрышқа бұру керек?
156. 22
323),( yxyxyxf  функциясының өрнегі түрлендіргеннен соң жаңа
айнымалылардың көбейтіндісі бар мүшесі болмауы үшін координаталар
осьтерін қандай бұрышқа бұру керек?

2.2 Сызықтың теңдеуі ұғымы.
Сызықты теңдеу көмегімен беру

Егер F(x, y) = 0 түріндегі теңдік х, у сандар жұбының кейбіреулері
үшін ақиқат болса, онда ол екі айнымалысы бар теңдеу деп аталады. Егер
бұл сандарды теңдеудегі х және у айнымалыларының орнына қойғанда

24
оның сол бөлігі нөлге айналса, онда x = x0, у=у0 екі саны кейбір F(x, y) = 0
түріндегі теңдеуді қанағаттандырады дейді.
Сызықта жататын әрбір нүктенің координатал ары
қанағаттандыратын, ал сызықта жатпайтын әрбір нүктенің
координаталары қанағаттандырмайтын екі айнымалы теңдеу берілген
сызықтың теңдеуі (таңдалған координаталар жүйесінде) деп аталады.
Енді біз «F(x, y) = 0 сызығының теңдеуі берілді» деудің орнына
қысқаша F(x, y) = 0 сызығы берілді дейміз.
Егер F (х, у) = 0 және Ф(х, y) = Q екі сызықтың теңдеулері берілсе,
онда 




0),(
0),(
yxФ
yxF

жүйесінің шешімдері олардың барлық қиылысу нүктелерінің
координаталарын береді. Дәлірек айтқанда осы жүйенің шешімі болатын
әрбір сандар жұбы бір қиылысу нүктесін анықтайды.
*) Координаталар жүйесі аталмаған жағдайларда ол тікбұрышты
декарттық деп есептеледі.
157. M1(2;–2), M 2(2;2), M 3(2;–1), M 4(3;–3), M5(5;–5), M6(3;–2) нүктелері
берілген. Берілген нүктелердің қайсысы х+у=0 теңдеуімен анықталатын
сызықта жатады және қайсысы жатпайтынын анықтаңыз. Бұл теңдеумен
қандай сызық анықталған? (Оны чертежде кескіндеңіз).
158. х
2
+y
2
=25 теңдеуімен анықталған сызықта абсциссалары мына
сандарға:
а) 0, б) – 3, в) 5, г) 7 тең және осы сызықта ординаталары мына сандарға:
д) 3, е) – 5, ж) – 8 тең болатын нүктелерді табыңыз.Бұл теңдеумен қандай
сызық анықталған? (Оны чертежде кескіндеңіз).
159. Мына теңдеулермен қандай сызықтар анықталатынын тағайындаңыз
(оларды чертежде кескіндеңіз):
1) х–у=0; 2) х+у=0; 3) x–2=0; 4) x+3=0; 5) у–5=0; 6) y+2=0;
7) x=0; 8) y=0; 9) x
2
–xy= 0; 10) xy+y
2
=0; 11) x
2
–y
2
=0; 12) xy= 0;
13) y
2
– 9 = 0; 4) xy
2
– 8 xy +15 = 0; 15) y
2
+5y+4 = 0;
16) х
2
у – 7ху + 10y = 0; 17) у = |x|; 18) х = |у |; 19) y + |x|=0;
20) х + |у |= 0; 21) у = |х– 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х
2
+ у
2
= 16;
24) (x–2)
2
+(y–1)
2
=16; 5) (x + 5)
2
+(y–1)
2
= 9; 26) (х – 1)
2
+ y
2
= 4;
27) x
2
+(y + 3)
2
= 1; 28) (x –3)
2
+ y
2
= 0; 29) х
2
+ 2y
2
= 0;
30) 2 х
2
+ 3y
2
+ 5 = 0 31) ( x– 2)
2
+ (y + 3)
2
+ 1=0.
160. Сызықтар берілген:
1) х + у = 0; 2) х – у = 0; 3) x
2
+ y
2
– 36 = 0;
4) x
2
+y
2
–2x==0; 5) x
2
+y
2
+ 4x–6y–1 =0.
Олардың қайсысы бас нүктеден өтетінін анықтаңыз.
161. Сызықтар берілген:

25
1) x
2
+y
2
=49; 2) (x–3)
2
+(y+4)
2
= 5; 3) (x + 6)
2
+ (y – 3)
2
= 25;
4) (x + 5)
2
+ (y – 4)
2
= 9; 5) x
2
+ y
2
– 12х + 16у = 0; 6) x
2
+y
2
–2х + 8у + 7 = 0;
7) x
2
+ y
2
– 6х + 4у +12 = 0.
Олардың: а) Ох осімен; б) Оу осімен қиылысу нүктелерін табыңыз.
162. Екі сызықтың қиылысу нүктелерін табыңыз:
1) х
2
+у
2
= 8, х–у = 0;

2) х
2
+у
2
–16x+4у+18 = 0, х + у = 0;
3) х
2
+у
2
–2x+4у –3 = 0, х
2
+ у
2
= 25;
4) х
2
+у
2
–8x+10у+40 = 0, х
2
+ у
2
=

4.
163. Полярлық координаталар жүйесінде нүктелер берілген:
М1(1;3
 ), М2(2;0), М3(2;4
 ), М4(3 ;6
 ), М5(1;
3
2 ).
Осы нүктелердің қайсылары полярлық координаталар арқылы  = 2cos
теңдеуімен берілген сызықта жатады және қайсылары жатпайды? Бұл
теңдеумен қандай сызық анықталған? (Оны чертежде кескіндеңіз).
164.  = cos
3 теңдеуімен анықталған сызықта полярлық бұрыштары мына
сандарға: а) 3
 ,б) –3
 , в) 0, г) 6
 тең болатын нүктелерді табыңыз.Бұл
теңдеумен қандай сызық анықталған? (Оны чертежде кескіндеңіз).
165. =sin
1 теңдеуімен анықталған сызықта полярлық радиустары мына
сандарға: а) 1, б) 2, в)2 тең болатын нүктелерді табыңыз. Бұл теңдеумен
қандай сызық анықталған? (Оны чертежде кескіндеңіз).
166. Мына теңдеулермен полярлық координаталарда қандай сызықтар
анықталатынын тағайындаңыз (Оны чертежде кескіндеңіз):
1)  = 5; 2)  = 3
 ; 3)  = 4
 ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;
6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 2
1 9) sin  =2
1 .
167. Чертежде мына Архимед спиральдарын салыңыз:
1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = 
 ; 4) р = –1.
168. Чертежде мына гиперболалық спиральдарды салыңыз:
1)  = 
1 ; 2)  = 
5 ; 3)  = 
 ; 4)  = – 
 .
169. Чертежде мына логарифмдік спиральдарды салыңыз: 
2 , 
 )
2
1
( .
170. Полюстен шығатын және полярлық оське 6

 бұрышпен көлбейтін
сәулені 3 Архимед спиралі қиятын кесінділердің ұзындықтарын
анықтаңыз. Чертежін сызыңыз.

26
171. 


5
 Архимед спиралінде полярлық радиусы 47–ге тең С нүктесі
алынған. С нүктесінің полярлық радиусын бұл спираль қанша бөлікке
бөлетінін анықтаңыз. Чертежін сызыңыз.
172. 

6
 гиперболалық спиральда полярлық радиусы 12–ге тең Р
нүктесін табыңыз. Чертежін сызыңыз.
173. 
3 логарифмдік спиральда полярлық радиусы 81–ге тең Q нүктесін
табыңыз. Чертежін сызыңыз.

2.3 Берілген сызықтың теңдеуін құру

Өткен параграфтың есептерінде сызық берілген теңдеуі көмегімен
анықталды. Енді біз оған кері есептерді қарастырамыз: олардың
әрқайсысында сызық геометриялық түрде анықталады, ал оның теңдеуін
табу қажет болады.
1–мысал. Тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінде берілген
екі нүктеге )0;(
1
aA және )0;(
2
aA дейінгі арақашықтықтарының
квадраттарының қосындысы тұрақты 2
4a болатын нүктелердің
геометриялық орындарының теңдеуін құрыңыз.
Шешуі. Сызықтың кез келген нүктесін М әрпімен, ал осы нүктенің
координаталарын х және у әріптерімен белгілейміз. М нүктесі сызықта кез
келген орында тұратындықтан х және у айнымалы шамалар болады,
оларды ағымдағы координаталар деп атайды.
Сызықтың геометриялық қасиетін символмен жазамыз: 
22
2
2
1
4aMAMA 
(1)
Бұл қатынаста М нүктесі қозғалғанда 1
MA және 2
MA кесінділерінің
ұзындықтары өзгеруі мүмкін. Оларды М нүктесінің ағымдағы
координаталарымен өрнектейміз: ,)(
22
1
уаxMA 
22
2
)( уаxMA  .
Алынған өрнектерді (1) теңдікке қойып М нүктесінің х және у
координаталарын байланыстыратын теңдеуді аламыз: 22222
4)()( aуаxуаx 
. (2)
Осы берілген сызықтың теңдеуі болады.
Шынында да осы сызықта жататын әрбір М нүктесі үшін (1) шарт
орындалады, ендеше М нүктесінің координаталары (2) теңдеуді
қанағаттандырады, ал осы сызықта жатпайтын әрбір М нүктесі үшін (1)
шарт орындалмайды, ендеше М нүктесінің координаталары (2) теңдеуді
қанағаттандырмайды.

27
Сонымен есеп шешілді. Бірақ (2) теңдеуді ықшамдауға болады,
жақшаларды ашып және ұқсас мүшелерді біріктіріп берілген сызықтың
теңдеуін мына түрде аламыз: 222
aуx 

Бұдан берілген сызық центрі координаталар басында орналасқан
және радиусы а болатын шеңбер болатынын түсінеміз.
2–мысал. Центрі );(
00
C нүктесінде, радиусы r болатын шеңбердің
теңдеуін полярлық координаталар жүйесінде құрыңыз.
Шешуі. Шеңбердің кез келген нүктесін М деп, ал оның полярлық
координаталарын  және  әріптерімен белгілейміз. М нүктесі шеңберде
кез келген орында болатындықтан, онда  және  айнымалы шамалар
болады. Декарттық жүйедегі сияқты оларды ағымдағы координаталар деп
атайды.
Шеңбердің барлық нүктелері центрден r қашықтықта болады, осы
шартты символмен жазамыз: СМ = r; СМ шамасын М нүктесінің
ағымдағы координаталары арқылы өрнектейміз (косинус теоремасын
пайдаланамыз: )cos(2
00
2
0
2
 CM
Алынған өрнекті (1) теңдікке қойып М нүктесінің  және 
координаталарын байланыстыратын теңдеуді табамыз: )cos(2
00
2
0
2
 
= r
Осы берілген шеңбердің теңдеуі болады.
Шынында да осы шеңберде жататын әрбір М нүктесі үшін (1) шарт
орындалады, ендеше М нүктесінің координаталары (2) теңдеуді
қанағаттандырады, ал осы шеңберде жатпайтын әрбір М нүктесі үшін (1)
шарт орындалмайды, ендеше М нүктесінің координаталары (2) теңдеуді
қанағаттандырмайды.
Сонымен есеп шешілді. Алынған теңдеуді ықшамдап және
радикалдан құтыламыз: 2
0
2
00
2
)cos(2   r
174. Координаталық осьтерден бірдей қашықтықта орналасқан
нүктелердің геометриялық орнын теңдеу түрінде жазыңыз.
175. Оу осінен қашықтықта а орналасқан нүктелердің геометриялық
орнын теңдеу түрінде жазыңыз.
176. Ох осінен қашықтықта b орналасқан нүктелердің геометриялық
орнын теңдеу түрінде жазыңыз.
177. Р (6;–8) нүктеден абцисса осімен қиылысатындай әртүрлі сәулелер
жүргізілген. Олардың орталарының геометриялық орнын теңдеу түрінде
жазыңыз.
178. С(10;–3) нүктеден ордината осімен қиылысатындай әртүрлі сәулелер
жүргізілген. Олардың орталарының геометриялық орнын теңдеу түрінде
жазыңыз.

28
179. Әр қозғалу сәтінде мына нүктелерден қашықтықтары бірдей болатын
нүктелердің траекториясының теңдеуін жазыңыз:
1) А(3;2) және В(2;3); 2) А(5;–1) және В(1;–5);
3) А(5;–2) және В(– 3;–2); 4) А(3;–1) және B(3;5).
180. А(–а;0) және В(а;0) нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының
квадраттарының айырымы с–ға тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз.
181. Центрі координаталар бас нүктесінде жататын радиусы r болатын
шеңбердің теңдеуін құрыңыз.
182. Центрі С( ; ) болатын және радиусы r–ге тең шеңбердің теңдеуін
құрыңыз.
183. Шеңбердің теңдеуі x
2
+y
2
=25 берілген. Оның ұзындығы 8 болатын
хордаларының орталарының геометриялық орнының теңдеуін құрыңыз.
184. А(–3;0) және В(3;0) нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының
квадраттарының қосындысы 50–ге тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз.
185. Квадраттың төбелері А (а;а), В(–а;а), С(–а;–а) және D(a;–а). Осы
квадраттың қабырғаларына дейінгі қашықтықтарының квадраттарының
қосындысы 6а
2
болатын нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін
құрыңыз.
186. (x
2
–8)
2
+y
2
=64 шеңберінің әртүрлі хордалары координаталар бас
нүктесі арқылы жүргізілген. Осы хордалардың орталарының
геометриялық орындарының теңдеуін құрыңыз.
187. F1 (–3;0) және F2 (3;0) екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы
тұрақты шама 10–ға тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз.
188. F1 (–5;0) және F2 (5;0) екі нүктеден қашықтықтарының айырмасы
тұрақты шама 6–ға тең болатын нүктелердің геометриялық орындарының
теңдеуін құрыңыз.
189. F(3;0) нүктеден қашықтығы x+3=0 түзуіне дейінгі қашықтыққа тең
болатын нүктелердің геометриялық орындарының теңдеуін құрыңыз.
190. F1 (– c;0) және F2 (c;0) екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы
тұрақты шама 2а–ға тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз. Бұл геометриялық орын эллипс деп
аталады, F1 және F2 – нүктелері эллипстің фокустары.
Эллипстің теңдеуі 1
2
2
2
2

b
у
a
x болатынын дәлелдеңіз, мұнда b
2
= a
2
– с
2
.
191. F1(–с;0) және F2(c;0) екі нүктеден қашықтықтарының айырмасы
тұрақты шама 2а–ға тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз. Бұл геометриялық орын гипербола деп

29
аталады, F1 және F2 – нүктелері гиперболаның фокустары. Гиперболаның
теңдеуі 1
2
2
2
2

b
у
a
x болатынын дәлелдеңіз, мұнда b
2
= c
2
– a
2
.
192. )0;
2
(
p
F нүктеден қашықтығы х = –2
p түзуіне дейінгі қашықтыққа тең
болатын нүктелердің геометриялық орындарының теңдеуін құрыңыз. Бұл
геометриялық орын парабола деп аталады, F – нүктесі параболаның
фокусы, бұл түзу – оның директрисасы.
193. Берілген F(– 4;0) нүктеден қашықтығының 4x+25 = 0 түзуіне дейінгі
қашықтыққа қатынасы 5
4 –ке тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз.
194. Берілген F(– 5;0) нүктеден қашықтығының 5x+16=0 түзуіне дейінгі
қашықтыққа қатынасы 4
5 –ке тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз.
195. Берілген екі шеңберден (x+3)
2
+ y
2
=1, (x–3)
2
+ y
2
=81 ең қысқа
қашықтықтары тең болатын нүктелердің геометриялық орындарының
теңдеуін құрыңыз.
196. Берілген екі шеңберден (х+10)
2
+y
2
=289, (x–10)
2
+ y
2
=1 ең қысқа
қашықтықтары тең болатын нүктелердің геометриялық орындарының
теңдеуін құрыңыз.
197. Берілген шеңберден (х–5)
2
+ y
2
= 9 және берілген түзуден x+2=0 ең
қысқа қашықтықтары тең болатын нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін құрыңыз.
198. Түзу полярлық оське перпендикуляр және одан 3–ке тең кесінді
қияды. Осы түзудің полярлық координаталарда теңдеуін құрыңыз.
199. Сәуле полюстен шығады және полярлық оське 3
 бұрышпен
көлбейді. Осы сәуленің полярлық координаталарда теңдеуін құрыңыз.
200. Түзу полюс арқылы өтеді және полярлық оське 45° бұрышпен
көлбейді. Осы түзудің полярлық координаталарда теңдеуін құрыңыз.
201. Полярлық осьтен қашықтығы 5–ке тең нүктелердің геометриялық
орындарының теңдеуін полярлық координаталарда құрыңыз.
202. Радиусы R = 5 болатын шеңбер полюс арқылы өтеді және оның
центрі полярлық осьте жатады. Осы шеңбердің полярлық координаталар
жүйесінде теңдеуін құрыңыз.
203. Радиусы R = 3 болатын шеңбер полярлық осьті полюсте жанайды.
Осы шеңбердің полярлық координаталар жүйесінде теңдеуін құрыңыз.

30
2.4 Сызықтың параметрлік теңдеуі

Кейбір М нүктесінің координаталарын х және у әріптерімен
белгілейміз; аргументі t болатын екі функцияны қарастырамыз: 




)).(
),(
ty
tx


(1)
t өзгергенде х және у шамалары өзгереді, ендеше М нүктесі орын
ауыстырады. (1) теңдікті М нүктесінің траекториясы
болатын сызықтың параметрлік теңдеуі деп атайды; t
аргументі параметр деп аталады. Егер (1) теңдікте t
параметрінен құтылсақ, онда М нүктесінің траекториясын
мына түрде аламыз: 0),(yxF .

204. АВ стержені өзінің шеттері А–дан В–ға координаталық осьтер
бойынша сырғиды. М нүктесі стерженьді екі бөлікке АМ = а және ВМ = b
бөледі. t = <OBA (8–сурет) бұрышын параметр ретінде алып М нүктесінің
траекториясының параметрлік теңдеуін құрыңыз. Содан соң t
параметрінен құтыл және М нүктесінің траекториясын F(x, y) = 0 түрінде
табыңыз.
205. М нүктесінің траекториясы теңдеуі 1
2
2
2
2

b
y
a
x (190–есепті қара)
болатын эллипс. ОМ кесіндісінің Ох оське көлбеу бұрышын t параметрі
ретінде алып М нүктесінің траекториясының параметрлік теңдеуін
құрыңыз.
206. М нүктесінің траекториясы теңдеуі 1
2
2
2
2

b
y
a
x (191–есепті қара)
болатын гипербола. ОМ кесіндісінің Ох оське көлбеу бұрышын t
параметрі ретінде алып М нүктесінің траекториясының параметрлік
теңдеуін құрыңыз.
207. М нүктесінің траекториясы теңдеуі у
2
=2рх (192–есепті қара) болатын
парабола. Төмендегілерді t параметрі ретінде алып М нүктесінің траекто-
риясының параметрлік теңдеуін құрыңыз:
1) М нүктесінің ординатасын;
2) ОМ кесіндісінің Ох оське көлбеу бұрышын;
3) FМ кесіндісінің Ох оське көлбеу бұрышын, мұнда F нүктесі
параболаның фокусы.
208. Мына сызықтардың параметрлік теңдеулері берілген:
1)  = 2Rcos; 2)  = 2Rsin; 3)  = 2p

2
sin
cos .