Математикалық Тест тапсырмалары жауабымен

2019 жыл.

“Математикалық сауаттылық ”

Ұлттық бірыңғай тестілеуге дайындалуға арналған
оқу-әдістемелік құрал.

Авторы:

Бұл әдістемелік құрал жалпы білім беретін орта мектепте
қолданылатын математика бағдарламасына сәйкес құрастырылған. Бұл оқу-
әдістемелік құрал ҰБТ-ға дайындалуға арналған әдістемелік құрал болып
табылады. Құралдың тиімділігі – 11 сынып оқушылары мен талапкерлерге,
математикалық сауаттылық есептерін шығарып, ҰБТ –ге дайындалуда
қолдануға өте ыңғайлы.
Құралда қолданылатын материалдар 3- бөлімге (теориялық,
практикалық, өз бетімен шығаруға арналған есептер ) жүйеленіп, олар
алдын ала сынақ кітапшаларынан алынған есептердің шығарылуымен
көрсетілген. Практикум мемлекетіміздің жоғарғы оқу орнына түсушілерге,
сондай-ақ жоғарғы сынып оқушыларына арналғандықтан, олардың жоғарғы
оқу орнына түсуіне өз бетімен дайындалуға мүмкіндік береді.

Түсінік хат
«Математикалық сауаттылық – негізгі математикалық білім » курсы
11 – сынып оқушыларының математикалық сауаттылығын дамыту және
ҰБТ-ның жаңа форматындағы математикалық сауаттылық бойынша алдын-
ала дайындау үшін ең маңызды математикалық ұғымдрдың бірі – пайыз
ұғымына және әртүрлі тақырыптарда берілген есептерге теңдеу құру арқылы
оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуға арналады.
Күнделікті өмірде біз тауарлар және қызмет ету бағаларымен
ұшырасамыз. Мысалы: банктегі жинақ салымы, несие алу, айып өсімін
төлеу, саудадағы жеңілдіктер, сақтандыру төлемі т.б.
Сондықтан математикалық сауаттылық математиканың практикалық
құндылығын айқын көрсететін қажеттілік болып табылады.
Курстың өзектілігі:
ҰБТ-ның жаңа форматы - математикалық сауаттылықтарын дамыту
және қалыптастыру уақыт талабы.
Курстың мақсаты:
Оқушылардың математикалық сауаттылығын дамыту және нығайту арқылы
құзіреттілік деңгейлерін көтеріп, теориялық білімдерін практикада қолдануға
дағдыланып, математикалық білім мен дағдыларын жетілдіреді
математикалық мәдениеті мен шығармашылық қабілеттерін жетілдіреді.
Курстың міндеттері:
• Оқушылардың математикалық білімге деген қажеттілігін
қанағаттандыру.
• Есептерді шығарудың тиімді әдіс-тәсілдерін меңгерулерін үйрету.
Оқушылардың экономикалық сауатылықтарын дамыту арқылы өмірлік
тәжірибелерін байыту.
• Аналитикалық және логикалық ойлау дағдыларын дамыту мақсатында
түрлі есептер шығару.
• Қажетті, нақты тақырыптар бойынша математикалық білімдерін
тереңдетіп, толықтыру.

Математикалық сауаттылыққа берілген күрделі тапсырмаларды орындауда
қиындықтарды жеңе білуге тәрбиелеу.
Күтілетін нәтижелер:
• Оқушылардың математикалық, функционалдық сауатылықтары
көтеріледі.
• Өз бетінше есеп шығарудың әртүрлі тәсілдерін іздестіреді.
• Алған білімдерін өмірлік тәжірибеде қолдануды меңгереді.
• Математикалық білім деңгейлерін тереңдетеді.
• Өмір мен қоғамға аса қажетті мәселелерді математикаға тән жан-жақты
талдайды.
• Қоғамның қарқыны дамуы үшін адамзат сауаттылығының бір бөлігі
математиканың маңызын түсінеді.

«Математикалық сауаттылық – негізгі математикалық білім » курсының
күнтізбелік - тақырыптық жоспары
10 – 11 - сыныптар.

Аптасына - 1 сағат. Барлығы - 34 сағат.
№ Тақырып атаулары Сағат саны Мерзімі Ескерту
Барлығы Практика Бақылау
1 Логикалық есептер 13
1.1 Сандар тізбегі 1
1.2 Дәреженің соңғы цифрын
анықтау
2
1.3 Сиқырлы фигуралар 1
1.4 Сандар және оның
қасиеттері
2
1.5 Геометриялық есептер 2
1.6 Күнтізбелік, уақытқа
байланысты есептер
1
1.7 Сәйкестендірулер мен
салыстырулар
байланысты есептер
1
1.8 Диаграмма,график және
кестелер байланыситы
есептер
1
1.9 Кітап бетін нөмерлеуге
байланысты есептер
1
1.10 Өзбетімен шығаруға
арналған есептер
1
2 Пропорция және
процент
5


2.1 Санның пайызын,
пайызы бойынша санды
табу Санның бөлігін,
4

бөлігі бойынша санды
табу
2.2 Өзбетімен шығаруға
арналған есептер
1
3 Мәтінді есептер 10
3.1 Бірлескен жұмыс 5
3.2 Қозғалысқа байланысты
есептер
4
3.4 Өзбетімен шығаруға
арналған есептер
1
4 Рубик текшесі 6
4.1 Текшеге берілген есептер 1
4.2 Текшені құрастыру 1
4.3 Текшенің жазбасы 1
4.4 Ойын сүйегі 1
4.5 Кеңістікте ойлау 1
4.7 Өзбетімен шығаруға
арналған есептер
1

Оқу жоспары
І. Логикалық есептер ( 13 сағат).
Арнайы формуланы қолдануға келмейтін, белгілі бір алгоритмді
қолданып шығаруға болмайтын, әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет
ететін есептерді стандарттық емес логикалық есептер, бұл есептер қатарына
сандар тізбегі, дәреженің соңғы цифрын анықтау, сиқырлы фигуралар, сандар
және оның қасиеттері, геометриялық есептер, күнтізбелік есептер,
сәйкестендірулер мен салыстырулар байланысты есептер, диаграмма,график
және кестелер байланысты есептер, адам жасына байланысты есептермен
оларды шығару жолдары.
ІІ. Пропорция және процент ( 5 сағат ).
Берілген қатынаста бөлу және бөлшек сандарын ауызша қосуға, азайтуға
арналған есептерді меңгерту.Пропорция, кері пропорция шамаларға берілген
есептермен оларды шығару жолдары.
ІІІ. Мәтінді есептер ( 10 сағат ) .
Бірлескен жұмысқа байланысты есеп, қозғалысқа байланысты
есептермен оларды шығару жолдары.
ІV. Рубик текшесі ( 6 сағат ).
Текшеге берілген есептер, текшені құрастыру, текшенің жазбасы, ойын
сүйегі, кеңістікте ойлауға берілген есептермен олардың шығарылу
жолдары.

1. ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
1.1. Сандар тізбегі

19, 5, 28, 373, 290, 11 - сандар тізбегі.
Тізбектің қандай элементтерден құралғанын түсіндіре алсақ, тізбек
құрастыруға болады.
Мысалы, « Тізбек өсу ретімен жазылған барлық біртаңбалы жұп
сандардан тұрады» - 0, 2, 4, 6, 8.
Сандардан тұратын тізбекті ажырату үшін тізбек қандай заңдылықпен,
яғни қандай ережемен құрастырылғанын анықтау керек.
Мысалы, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... тізбегі өсу ретімен жазылған
және 4 санына бөлінетін натурал сандардан тұрады.
Мысалы, «85»=6425, «92»=814, «31»=91, «17»=149 болса «37»=?
Шешуі:
Мұнда қарапайым ереже: сандар құралғңан әрбір цифрдың квадраты
алынады.
85=8²5²=6425 92=9²2²=814 31=3²1²=91
17=1²7²=149 37=3²7²=949
Жауабы: «37» = 949
Мысалы, сандар қатары қандай да бір заңдылықпен берілген. Сұрақ
белгісінің орнына қандай сан жазылуы керек?
14 (625) 11; 12 (196) 2; 10 (?) 5
Шешуі: (14+11)
2
= 25
2
= 625 (10+5)
2
=15
2
=225
(12+2)
2
= 14
2
= 196
Жауабы:
Мысалы, 8 санының оң жағына сол жағына да өзінен басқа бір санды
жаздық. Шыққан сан 6-ға бөлінеді. Біз қандай сан жаздық?
Шешуі:
*8* : 6 =282 : 6
Жауабы: 2
Мысалы, «?» белгісінің орнына қандай санды қою керек








2
1
4
4 8
3
1
8
6 9
5
? 1
0
1
5

Сандар тізбегі бөліміне есептер шығару.
№1 2,3,5,8,12,17,?
Шешуі: 2,3,5,8,12,17,?
Сандар тізбегі келесі санды табу үшін, сандарды өсу ретімен қосу.
2 +1 =3, 3 +2 =5, 5 +3 =8, 8+ 4 =12, 12 + 5 =17, 17 + 6 =23.
Жауабы: 23
№2 15,12,13,10,11,8,?
Шешуі: 15,12,13,10,11,8,?
Алдымен 3- ті азайтсақ, келесі сан шығады, ал келесі санды алу үшін
үшінші тұрған санға 1-ді қоссақ, келесі сан шығады. Осы рет қайталанып
отырады.
15 – 3 =12 , 12 + 1 = 13 , 13 -3 =10, 10 + 1 = 11, 11 -3 = 8, 8 +1 =9.
Жауабы: 9
№3 3,5,10,12,24,26,?
Шешуі: 3,5,10,12,24,26,?
Келесі санды табу үшін, бірінші санға 2-ні қосып, келесі санға 2-ні
көбейтіп, келесі санды тауып отырады.
3 + 2 =5, 5 • 2 =10, 10 +2 = 12, 12 • 2 =24, 24 + 2 =26 , 26 • 2 =52…
Жауабы: 52
№ 4 12,16,14,18,16,20,?
Шешуі: 12,16,14,18,16,20,?
Келесі санды табу үшін, бірінші санға 4-ті қосып, шыққан саннан 2-
ні азайтып отырсақ, келесі сан шығады
12 + 4 =16, 16 - 2 =14, 14 +4 = 18, 18 - 2 =16, 16 + 4 =20 , 20 - 2 =18.
Жауабы: 18
№ 5 36,38,34,42,26,?,22,20,?
Шешуі: 36,38,34,42,26,?,22,20,?
Келесі санды табу үшін, алдымен 2 –ні қосып, 4-ті азайтып, 8-ді қосып,
16- на азайтамыз. Сонда келесі санға 32-ні қосамыз. Яғни, әр қадам сайын
шыққан нәтижені екі есе арттырып отырамыз.
36 + 2 =38, 38 - 4 =34, 34 +8 = 42, 42 - 16 =26 , 26 +32 =58 , ...
Жауабы: 58 және 2 .

№6 28,37,34,41,39,44,?,46 Жауабы: 43
№7 24,12,48,16,80,20,120,?,168 Жауабы: 24

№8 60,120,60,180,90,360,180,900,? Жауабы: 450
№9 5,15,13,52,48,240,? Жауабы: 234
№ 10 1,2,6,24,120,? Жауабы: 720
№11
«13»=3, «22»=4, «35»=15, «43»=12 болса «191»=?

Шешуі:
1 • 3 =3 , 2•2=4, 3 • 5 =15, 4 • 3 =12, 1•9•1 = 9
Жауабы: 9

№12
«25»=425, «32»=94, «91»=811, «78»=4964 болса «43»=?

Шешуі:
25 = 2
2
5
2
= 425, 32=3
3
2
2
= 94, 91 = 9
2
1
2
= 811, 78 = 7
2
8
2
=4964, 43 = 4
2
3
2
=163.
Жауабы: 163

№13
«2»=25, «3»=125, «4»=625 болса «5»=?

Шешуі:
5
2
=25, 5
3
= 125, 5
4
= 625, 5
5
= 3125
Жауабы: 3125

№14
1(27)2, 2(64)2, 2(?)3

Шешуі:
(1+2)
3
= 3
3
= 27 (2+3)
2
=5
3
=125
(2+2)
3
= 4
3
= 64
Жауабы: 125
№15
17(76)21, 12(68)22, 8(?)33
Шешуі:
17 + 21 = 38, 38 • 2 = 76 8 + 33 = 41 , 41 •2 = 82
12 + 22 = 34, 34 • 2= 68
Жауабы: 82
№ 16
51(36)45, 62(49)55, 75(?)63
Шешуі:

51 - 45 = 6, 6
2
= 36 75 - 63 = 12 , 12
2
= 144
62 - 55 = 7, 7
2
= 49
Жауабы: 144

№17
23(40)35, 17(48)24, 42(?)63
Шешуі:
2+3 = 5, 3+5 = 8, 5 • 8= 40 4+2 =6 , 6+3 = 9, 6•4 =54
1+7 =8, 2+4 = 6, 8 • 6 = 48
Жауабы: 54.

Сандар тізбегі белгілі бір заңдылыққа бағынады. Қате берілген санды тап.
1. 4,7,13, 25, 51, 97, 193
2. 120, 115, 105, 90, 70, 50 , 15
3. 8, 24, 10, 36, 18, 54, 27
Төменде сандар ерекше бір заңдылыққа бағынады. Ерекше санды табыңыз.
1. 1425, 5135, 3564, 2549, 2781
2. 14728, 16832, 12622, 10520, 18916
3. Квадраттың тор көздеріне натурал сандар әр жолдағы , әр бағандағы , әр
диагональдардағы сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп жазылған.
Кейбір сандар өшіріліп тасталды. Х-тің орнына қандай сан жазылған?
Х
6 4
3 5

1.2. Дәреженің соңғы цифрын анықтау
Дәреженің соңғы цифрын анықтау кестесі

а
n
1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 4 8 6 ..2 ..4 …8 …6
3 3 9 ..7 ..1 …3 …9 …7 …1
4 4 ..6 …4 …6 ….4 ….6 ….4 ….6
7 7 ..9 …3 …1 ….7 ….9 ….3 …..1
8 8 ..4 …2 …6 ….8 ….4 …..2 ……6
9 9 ..1 …9 ….1 …..9 ……..1 ……9 ……1
Кестені қалай қолданамыз?
Мысалы, "2023-тің 543-ші дәрежесі қандай цифрмен аяқталады?" деген
есеп келсе, не істейміз?
2023-тің соңғы цифрі 3. Яғни, сол жақтан 3-ті аламыз.
543-ті 4-ке бөлеміз. 543=4x135+3. Яғни, 3 қалдық, жоғарыдан 3-ті аламыз.
Сәйкес жол мен бағанның қиылысуы 7-ні береді.
Кестеге қарап тағы не түсінуге болады?
0, 1, 5, 6 цифрлерімен аяқталатын сандардың кез-келген натурал дәрежесі тура
сол цифрмен аяқталады.
4, 9 цифрлерімен аяқталатын сандардың натурал дәрежелерінің соңғы цифрі
дәреже көрсеткішінің тақ не жұп болғандығымен анықталады.
Мысалы, 27
17
санының соңғы цифрын анықтайық
7-нің дәрежелеріне мән береміз, төрт цифр қайталанады. Дәреже көрсеткіші
17-ні 4-ке бөлеміз, сонда 2 қалдық қалады. Демек 7
2
=49
Жауабы:9
Мысалы, 94
18
+76
6
+65
6
қосындысы қандай санмен аяқталады. Шешуі:
94
6
саны 6 цифрымен аяқталады, себебі 18:4=4(қалдық2); 76
6
саны 6 санымен
аяқталады, себебі 6-ның дәрежелері тек 6-мен. 65
6
саны 5цифры, себебі 5тің

дәрежелері тек 5-пен аяқталады. Олай болса әрбір дәреже қосылғыштың соңғы
цифрларын қосайық, сонда 6+6+5=17
Жауабы:7
Дәреженің соңғы цифрын анықтау бөліміне есептер шығару.
№1. 17
17
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай
цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады.
7
1
= 7, 7
2
= 49, 7
3
= 343, 7
4
= 2401.
7 –нің 5-ші дәрежесі 7 – мен аяқталады. Соңғы цифры дәреже көрсеткішті
4- ке бөлгендегі қалдыққа байланысты, жоғарыдағы кестедегідей қалдық 1
болса, дәреже 7 – мен, қалдық 2 болса, дәреже 9-бен, қалдық 3 болса, дәреже
3-пен, қалдық 0болса, дәреже 1-мен аяқталады. Демек, берілген санның
соңғы цифр 7.
Жауабы: 7.
№2. 2
25
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай
цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады.
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 =32.
Берілген санның соңғы цифр 2.
Жауабы: 2
№3. 3
10
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай
цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Кез келген санның 0 дәрежесі
1-ге тең екенін ескереміз. Берілген санның соңғы цифр 1.
Жауабы: 1
№4. 9
1994
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай
цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Берілген санның соңғы цифр 1.
Жауабы: 1
№5. 2018
2018
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай
цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Берілген санның соңғы цифр 6.
Жауабы: 6
№6 . 8
2003
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай
цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Берілген санның соңғы цифр 2.
Жауабы: 2

№ 7. Мына қосынды 94
6
+76
6
+51
6
қандай цифрмен аяқталады?
Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы
цифрларының қосындысына тең болады. 4 – тің 6 –шы дәрежесі 6 мен
аяқталады. 6- ның кез келген дәрежесі 6-мен аяқталады. 1-дің кез келген
дәрежесі 1-мен аяқталады. 6+6+1=13. Бұл өрнектің соңғы цифр 3.
Жауабы: 3
№ 8. Мына қосынды 11
11
+12
12
+13
13
қандай цифрмен аяқталады?
Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы
цифрларының қосындысына тең болады. 1-дің кез келген дәрежесі 1-мен
аяқталады, 2 – нің 12 –ші дәрежесі 6 - мен аяқталады. 3- тің 13- ші дәрежесі
3-пен аяқталады. . 1 + 6+3=10. Бұл өрнектің соңғы цифр 0.
Жауабы: 0
№ 9. Мына қосынды 2005
6
+2006
6
+2007
6
қандай цифрмен
аяқталады?
Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы
цифрларының қосындысына тең болады. 5- тің кез келген дәрежесі 5 -пен
аяқталады, 6 -ның кез келген дәрежесі 6-мен аяқталатынын ескерсек, 7- нің
6- шы дәрежесі 9-бен аяқталады. 5 + 6+9=20. Бұл өрнектің соңғы цифр 0.
Жауабы: 0
№10 . Мына қосынды 555
1
+55
3
+5
2
қандай цифрмен аяқталады?
Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы цифрларының
қосындысына тең болады. 5- тің кез келген дәрежесі 5 -пен аяқталады, 6 -
ның кез келген дәрежесі 6-мен аяқталатынын ескерсек, 7- нің 6- шы дәрежесі
9-бен аяқталады. 5 + 6+9=20. Бұл өрнектің соңғы цифр 0.
Жауабы: 0
№ 11. Мына қосынды 19
79
−18
79
қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Айырманың соңғы цифры азайғыш пен азайтқыштың соңғы
цифрларының айырымына тең болады. Бұл өрнектің соңғы цифр 7.

Жауабы: 7



1.3. Сиқырлы фигуралар.
Берілген есептер қандайда бір фигуралармен беріледі. Есептерді
қасиеттеріне сүйене отырып шешеді.
Мысалы,




Бірінші фигурадағы заңдылыққа назар аударамыз. 7 +6 =13, 13 • 2 = 26
Дәл сол сияқты екінші фигурадағы заңдылық, 12 +13 =27, 27 • 2 = 54.
Ендеше, 2+ 6 = 8, 8 • 2 = 16, К = 8, L = 2. K + 2L = 8 +2•2 = 12.
Жауабы: 12.
Мысалы,








Заңыдылықты тауып алаымыз, 6 + 5+ 9 = 20,
С + 9 + 4 = 20, С= 7, В + 5 + 9 = 20, В = 6 , А + 6 +7= 20 , А = 7.
D + 6 + 7 = 20 , D = 7. Ендеше, А + В + D = 7 + 6 + 7 = 20.
Жауабы: 20
Мысалы, сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.





Төртбұрыш ішіндегі сан – үшбұрыш қабырғаларындағы сандар
қосындысының квадратына тең.
3+4+5 = 12, 12
2
= 144, 2+3+4 = 9, 9
2
= 81, 1+3+2=6, 6
2
=36.

Жауаыбы: 2

Біздің көбіміз "домино" ойынымен таныспыз. Бұл ойынды екі шаршыдан
тұратын тастармен ойнайды. Әрбір тастың бір шаршысында 0-ден 6-ға дейін
нүктелер болады.
1953 жылы АҚШ математик -инженері, Оңтүстік Калифорния
университетінің профессоры Соломон Голомб математикалық «полимино»
ойынын ойлап тапқан. Кейін ресей бағдарламалаушысы Алексей Пажитнов осы
ойын негізінде әйгілі «Тетрис» атты компьютерлік ойынын құраған.
Соломон Голомб ойлап тапқан полимино ойынының мағынасы мынадай:
Полимино – бұл белгілі шаршылар санының бір объектіге бірігуінен құралған
геометриялық фигура. Полимино ойынына негізделген көптеген логикалық
басқатырғыш есептер бар.
Біз полиминоның бірнеше мысалдарын көрсетейік:


Мономино Домино Тримино Тетромино Пентомино Гексомино

Мұндағы мономино тек бір ғана шаршы, ал доминоны тек бір ғана түрде
құрай аламыз. Тура осылайша троминоны екі түрде құрап бере аламыз:

Сиқырлы фигуралар бөліміне есептер шығару.
№1. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қой.
- =
+ 2 =
• 3 = 15
+ - = ?

Жауабы: 4.
№2. Бос ұяшыққа сай келетін сандарды анықтаңыз.
8 5 3 2
13 7
18 13 5
28 16
бағанындағы сандар айырмасы, ал төртінші бағандағы 2 саны 5 пен 3- тің
айырмасы, онда екінші жол сандары: 13-7=6, 7- 6 = 1.
Үшінші жол сандары: 13-5 = 8.
Төртінші жол сандары: 28 – 16 =12, 16- 12 =4
Жауабы: 6, 1, 8, 12, 4.
№3 Заңдылықты анықтап, сұрақ белгісінің орнына тиісті санды
қойыңыз.

1 3 2 4 3 5


2 3 4
Шешуі: Шеңбердің ішіндегі сан – ұшбұрыш қабырғаларының
сандарының қосындысының кубына тең: (1+2+3)
3
= 6
3
= 216
(2+3+4)
3
= 9
3
=729, онда ( 3+4+5)
3
=7083.
Жауабы: 7083


Шешуі: Үшінші теңдіктен шеңбер 15: 3=5 шығады,
екінші теңдіктен квадрат 5-2=3, ал біріншіден
үшбұрыш екі квадратқа тең екенін көреміз. 2•3=6.

Ендеше, + - = 6+3-5= 4.

Шешуі: Кестегі әрбір жолдағы ұяшықтар сандар
арасындағы байланысты тапсақ, үшінші бағандағы
сан сәйкес жолдың бірінші және екінші жол
216 729 ?

№4. Квадраттың торларына натурал сандар әр жолдағы, әр бағандағы
және әр диагональдағы сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп
жазылған. Кейбір сандар өшіріліп тасталды. х-тің орнына қандай сан
жазылған еді?
х
12 8
6 10
Екінші жолдағы сандардың қосындысы: 16+ 12+8=36. Енді х-ті табамыз.
х+22=36, х=36-22, х=14.
Жауабы: 14.
№5. Суретте 3х3 түрінде сандар шаршымен қоршалған. Осы
шаршыдағы сандардың қосындысы 63, ал ортасындағы сан 7-ге тең.
Сандардың қосындысы 126-ға тең болатын 3х3 кестесін тауып, ортасында
қай сан тұрғанын атықта.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
қосындысы 3у +45 болады. Олай болса, 126 – 45 =81, 81: 3=27-қосындысы
126 –ға тең шаршының бірінші жолындағы 3 санның қосындысы, осы
сандарды іздейміз, олар тізбектей орналасқан 3 сан: (27-3):3=24:3=8-бірінші
жолдағы сан. Ізделінді шаршының бірінші жолы 8; 9; 10. Оның ортасында
14 саны тұр.
Жауабы: 14
№6. Тетроминолардың барлық мүмкін 5 түрін табыңдар.
Шешуі: Біз төрт шаршыдан тұратын барлық мүмкін 5 фигураны
көрсетуіміз керек.
Есепті шешуді тримино фигурасына бір шаршыны қосу жолымен шешейік.
Тек қана бір фигураны қайталамау керектігін үнемі есте ұстауымыз керек. Біз
Шешуі: Бір диагональдағы сандар қосындысы:
х+12+10= х+22, бірінші бағандағы екі санның қосындысы
х+6, осыған ортадағы санды қосқанда х+22-ге тең болу
керек. Демек, 22-6=16 санын қосу керек
Шешуі: Қоршалған шаршыға қарасақ,
бірінші жолдағы үш санның қосындысы 6,
екінші жолдағы 21, үшінші жолдағы 36. Сонда
3х3 шаршыны алғанда бірінші жолдағы сандар
қосындысы у болса, у +15, үшінші жолдағы
у+30, шаршыдағы барлық сандардың

тік үштік троминоны алайық және оған бір шаршыны әр түрлі жолдармен
қосайық:
Сонымен, әзірше біз әр түрлі 3 тетрамино алдық.
Бұдан басқа жолдармен тік триминоға шаршы қосатын болсақ, онда осы
үшеуінің біреуі қайталанған болып табылады.
Енді бұрыштық триминоны алайық та, оған бір шаршы қосу жолдарын
қарастырайық. Бұл арқылы біз тағы да төрт тетромино ала алады екенбіз:

Бірақ та, бұлардың екіншісі мен төртіншісі бізде алдында табылған
екеулерін қайталап тұр. Сондықтан біз жаңа 2 тетромино алдық деп
есептейміз. Нәтижесінде барлығы бес тетромино тауып көрсете алдық:
Жауабы:
№7. Суретте берілген фигураларды пентамино фигураларымен құрап
беріңдер. Әр есепте неше шешімнен бар?








Жауабы:

Торкөз дәптерде фигураларды кесуге берілетін есептер.
Бізге шаршы торларға бөлінген фигураны қандай да бір шартпен
бөліктерге бөлу сұралады.
№8. Берілген фигураны торлардың шекаралары бойымен теңдей:
а) екі бөлікке; ә) үш бөлікке бөлуді орындаңдар.

Жауабы: а) ә)
№9. Суретте бейнеленген фигураны торлардың сызықтары бойларымен
теңдей етіп екі бөлікке бөліңдер. Бөліктердің әрбірінде бір дөңгелектен
болатын болсын.



Жауабы:
№10. Ортасы тесік, өлшемі 5×5 шаршыны теңдей екі бөлікке бөлудің
екі әдісін көрсетіңдер. Шаршы тең екіге бөліп кесуді түрлі әдістермен
орындалды деп санауға болады, егер де шаршыны бір әдіспен кесудегі
алынған фигуралар мен екінші кесудегі алынған фигуралар бір-бірінен
формалары бойынша да, бөліктерінің өлшемдері бойынша да ерекшеленетін
болса.Жауабы:

1.4. Сандар және оның қасиеттері
Сандардың қасиеттеріне сүйене отырып, қандайда бір
заңдылықтарды анықтауға арналған есептер.

Мысалы, 5...4...6...3 сандарының арасына «+», «•», «-« амалдары бір
рет қана қолданылып қойылды. Өрнектің нәтижесі болмайтын санды тап.
Шешуі: Берілген амалдардың орындарын ауыстырып, өрнекті
есептейміз:
1) 5+4 *6-3=26 2) 5+4 -6*3= -9, 3) 5-4 *6+3=-16, 4) 5-4+6*3=19
5) 5*4 +6 -3=23 6) 5*4 -6+3=17.
Алынған нәтижелерді жауаптарымен салыстырғанда жауабындағы 21 саны
есептеуде жоқ.
Жауабы: 21

Мысалы, математиканы жақсы көретін Әсет алғашқы 202 жай
сандарды көбейтті. Көбейтінді неше нөлмен аяқталады?
Шешуі: 5 пен 2-ні көбейткенде соңғы цифры 0 болады, сондықтан
көбейткіштерді көбейткенде көбейтіндінің соңындағы 0-дер саны
көбейткіштерді жай көбейткіштерге жіктегендегі 5 және 2 цифрының санына
тең болады. Жай сандар арасында 5 және 2 бар. Бір ғана 5 және 2 бар,
онда көбейтінді 1 нөлмен аяқталады.
Жауабы: 1 нөл

Мысалы, ребустағы әріптердің орнына тиісті цифрларды тауып, Ғ+Е-D
өрнегінің мәнін тап.
9 D 2
E 4 F
1 8 7
ге тең болу үшін, 8- ден 7-ні алу керек, онда E= 7. F+E- D=5+7-3=9
Жауабы: 9

Шешуі: Айырма 7- ге тең болу үшін 12-ден 5- ті алу керек.
Онда F=5. D- дан 1-ді қарыз алдық, айырма 8- ге тең болу
үшін 4- ті 12- ден алу керек. Онда D=3. 9-дан 1-ді азайтсақ, 1-

1.4. Сандар және оның қасиеттері бөліміне есептер шығару
№1. 13957* саны 3-ке қалдықсыз бөлінуі үшін жұлдызшаның орынына
қоюға болатын цифрлардың қосындысын тап.
Шешуі: Сан 3-ке бөлінуі үшін, цифрларының қосындысы 3-ке
бөлінуі керек. Цифрларының қосындысын табайық: 1+3+9+5+7+ * =25+*.
25+2=27 саны 3-ке бөлінеді. 25+5=30 саны 3-ке бөлінеді. 25+8=33 саны 3-
ке бөлінеді. 2, 5, 8 цифрларын * орнына қойғанда сан 25+2=27 саны 3-ке
бөлінеді. 2+ 5+ 8= 15.
Жауаыбы: 15.
№2. 1249007* жұлдызшаның орнына қандай цифрды қойғанда пайда болған
сан 9-ға қалдықсыз бөлінетін болады?
Шешуі: Сан 9-ға бөлінуі үшін қосындысы 9-ға бөлінуі керек.
Цифрларының қосындысын табайық: 1+2+4+9+0+0+7+*=23+*.
23+4=27 саны 9-ға бөлінеді. *=4
Жауабы: 4.
№3. 140835* саны 12-ге қалдықсыз бөлінуі үшін жұлдызшаның орнына
қоюға болатын цифрлардың қосындысын тап.
Шешуі: Сан 12-ге бөлінуі үшін 4-ге де, 3-ке де бөлінуі керек. Сан
3-ке бөлінуі үшін, цифрларының қосындысы 3-ке бөлінуі керек. Сан 4-ке
бөлінуі үшін соңғы екі цифры нөлдер немесе соңғы екі цифрынан құралған
сан 4-ке бөлінуі керек. Санның соңғы екі цифрынан құралған сан 5* . Бұл
екі таңбалы сан 4-ке бөлінуі үшін * не 2, не 6 болуы керек. Цифрларының
қосындысын табайық: 1+4+0+8+3+5+* = 21+* . 21+2=23 саны 3-ке
бөлінбейді.
Жауабы: 6
№4. Үш таңбалы сан 4-ке аяқталады. Егер осы санның соңғы цифры
санның басына ауыстырылса, онда пайда болған сан алғашқы саннан 180-ге
кем болады. Үш таңбалы санды тап .
Шешуі: Үш таңбалы сан ав4 түрінде болсын. Сонда соңғы
цифыыыырыды басына ауыстырғанда, 4ав. Теңдеу құрамыз:

1.4. Геометриялық мағанадағы есептер
Геометриялық есептерге оқушылардың оқу бағдарламасына сәйкес
фигураның ауданы, периметріне байланысты және қабырғаларына
байланысты, санның қасиетін негізге ала отырылып есептер берілгеді.
Мысалы, суреттегі үйдің жоспарын пайдаланып, осы үйдің жалпы
ауданын анықтаңыз.







Ұзындығы : 3,5 + 2 + 4 =9.5. Ені 3+5=8 м. Одан аудан ұзындығы мен
енінің көбейтіндісіне тең. S = 9,5 * 8 = 76 м
2
.
Жауабы: 76 м
2
.
Мысалы, әткеншекте ұзындығы 340 см иінінде қыз отыр, ал
ұзындығы 170 см иінінде ұл отыр. Егер ұл 0,8 м көтерілсе, онда қыз неше
метрге төмен түседі.
Шешуі:
Иіннің ұзындығы мен көтерілу биіктігі тура пропорционал шамалар,
онда
340
170
=
х
0,8
, х=
340•0,8
170
=2•0.8=1.6
Жауабы: 1,6 м.
Мысалы, қабырғасы 6 см квадратты бөліктерге бөлуге болатын
болса, онда оны ұзындығы 4 см және ені 3 см болатын өзара тең бүтін
неше тік төртбұрышқа бөлуге болады?
Шешуі: Екі тіктөртбұрышқа бөлуге болады. Себебі, 6 см қабырғасы
екі тіктөртбұрыш ені болса, онда екінші қабырғасына 4 см ұзындығын
саламыз. Квадраттың қалған бөлігі ені 2 cм, ұзындығы 6 cм тік төртбұрыш.
Жауабы: екі тіктөртбұрышқа бөлуге болады.

Геометриялық мағанадағы есептерді шығару.
№ 1. Сұрақ белгісінің орнында бола алатын санды табыңыз.

Шешуі: а = 5, с =2, в = 3 , авс – (а+в+с) = 5*2*3 – (5+2+3)= 30 – 10 = 20
Жауабы: 20
№ 2 Суреттегі берілгендер бойынша сұрақтың орнына қойылатын санды
табыңыз.


Шешуі: Бірінші суретте жазыыңқы бұрыш. Жазыңқы бұрыш 180
0
–
қа тең. 180
0
* 0,2 = 36
0
.Екінші суретте тік бұрыш, ол 90
0
. Ендеше оның
50% -ы 90
0
:2 = 45
0
.
Жауабы: 45
0
.
№3. Ұзындығы 63 м сымның бірнеше метрі қиылып алынды. Сымның қиылып
алынған бөлігі, оның қалған бөлігінің жартысынан 3 есе кем. Сымның қиылып
алынған бөлігінің ұзындығын анықтаңыз.
Шешуі: Бір жақ бөлігі 9 есе артық екіншісіне, ендеше барлығы 10
бөлік.
63 : 10 = 6,3 м = 603 см
Жауабы: 603 см .
№4. Суреттегі көпбұрыштың периметрін тап.
7 см 8см

5 см 5см


8 см 7 см
Шешуі:
Р = 2 ( 5+7+8) =2•20=40

Жауабы: 40см.

№ 5. Сымнан қабырғасы 16 см тең қабырғалы үшбұрыш құрастырылды.
Егер осы сымды жазып, одан квадрат жасаса, онда оның ауданын
табыңыз.



№ 6.
Көпбұрыш тәрізді алаңның периметрі 112 м,
Көпбұрыштың барлық қабырғалары тең, барлық
бұрыштары тік болса, оның ауданы неше м
2

болатынын табыңыз.
Шешуі: Р = 7 • 4 рет • х , 28 х = 112 , х = 4 м.
Кішкентай шаршының ауданы S = x
2
= 4
2
= 16 м
2
.
1-4 фигуралар 4 кішкентай шаршылардан тұрады, олардың жалпы ауданы
S = 4 • 4 • 16 = 256 м
2
. 5 – фигура – қабырғасы 4 • 3 = 12 м тең шаршы,
оның ауданы S = 12
2
= 144 Sкөпб = 256 + 144 = 400
Жауабы: 400 м
2

№ 7. Суреттегі фигураның боялған бөлігінің ауданы бойынша шаршының
қабырғасын тап.
Шешуі: Шаршының ауданы Sкв = 9•4=36
Sкв = а
2
= а• а=6 • 6 , а = 6 .
Жауабы: 6 см.








Шешуі:
Рүшб. = 16 • 3 = 48 см, 48 : 4 = 12 см
S кв = 12
2
= 144 см
2

Жауабы: 144 см
2

1.6. Күнтізбелік есептер
Алғаш рет әлем бойынша уақытты бір жүйеге келтіріп, сағат бойынша
жүруге дағдыланған бұл ежелгі Египет еді. Олар Күннің жүру қозғалысы
бойынша уақытты анықтайтын күн сағатты шығарды. Бұл біздің заманымызға
дейінгі 1500 жылдар. Сол уақыттан бері сағаттың айналу бағыты өзгермеді:
солдан оңға қарай.
Мақсаты: Оқушылардың күнтізбе есептерін шығару дағдылары дамды.
Негізгі мақсаты:
-Логикалық ойлау қабілеттері дамиды;
-Пәнге қызығушылықтары дамиды.
Мысалы, Үсен айтады, мен алдыңғы күні 10 жаста болдым, ал келесі
жылы мен 13-ке толамын. Ондай болу мүмкін бе?
Жауабы: Үсен 1 қантарда айтқан, оның туған күні 31 желтоқсанда және ол 11
жасқа келді. Келесі жылы ол 13 жасқа келеді, себебі осы жылы ол 12 жасқа
келеді.
Мысалы, қантар айында 4 жұма және 4 дүйсенбі болды. Осы айдың 20-
сы аптаның қандай күні болды?
Жауабы: Айдың бірінші күні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі болады.
Мысалы, Қайсібір айда үш жұма жұп күндер болады. Осы айдың 4-і
аптаның қай күні болады?
Шешуі: Бір айда жұма күндер бестен көп емес бірақ, төрттен кем
емес. Тақ және жұп күндерге келетін жұма аптада жеті күн болғандықтан
кезекпен келіп отырады. Біздің жағдайда, төрт жұма болмады, себебі, жұп
күнге келетін жұма екеу. Ендеше бес жұма күн және олардың үшеуі
бірінші, үшінші және бесіншісі жұп күнге келеді. Бірінші жұма күн айдың
2-сінен ерте 30- нан кеш болуы болуы мүмкін емес. Ендеше, екі жұп жұма
болса, ол айдың 2-сі жұма болса, 4- і жексенбі болады.
Жауабы: жексенбі.
Мысалы, кейбір айда үш бейсенбі жұп күндері болады. Осы айдың 26-
шы жұлдызы аптаның қай күніне сәйкес келеді ?
Бұл есептің де шешілу тәсілі жоғарыдағыдай әдіспен шешіледі.

1. Бүгін жексенбі. 45 күннен кейін аптаның қай күні болады?
Шешуі: Заңдылыққа сүйене отырып, бір айда неше күн барын есептей
отырып, 45 күннен кейін аптаның қай күні болатыны табылады.
45 = 7*6 + 3 = 42+3
7 1 2 3 4 5 6
Жс Дс Се Ср Бс Жм Сн
42 43 44 45
Жауабы: Сәрсенбі болады.

Күнтізбелік есептерді шығару.
1. 2012 жылы ақпан айында 29 күн болды. Мұндай құбылыс 4 жылда бір рет
болатыны белгілі. 2001 жыл мен 2065 жыл аралығында осындай қанша жыл
болады?
Шешуі: 2001 бұндай жыл болмайды. 2008-4=2004. Жылдардың жалпы
санын табамыз: 2065-2004=61, осы жылдар санын 4-ке бөлеміз. Неше рет
төрттен алатынымызды анықтаймыз . 61/4=15 қалдықпен бөлінеді, бірақ біз
2065 ден азайтқанда 2004 жылды санамаймыз, сондықтан 15+1=16.
Жауабы: 16.
2. Сағат тәулік сайын 6 минутқа қалып қояды. Неше тәуліктен кейін сағат дәл
уақытты көрсетеді?
Шешуі: Сағаттың стрелкасы нақты уақытты 12 сағатқа қалғанда
көрсетеді.
12 сағат = 12*60 = 720 минут.
Егер бір тәулікте 6 мин. Қалып отырса, онда 720/6 = 120 тәулік.
Егер сағат ай- күн көрсетпейтін электронды сағат болса, онда сағат 24 сағатқа
қалу керек. Бұл 120*2 = 240 тәулікте болады.
Егер сағат ай-күнді көрсетсе, онда олар ешқашан уақытты дұрыс
көрсетпейді. Яғни минутқа емес, онда күнге қалатын болады.
Жауабы: 240 тәулікте ( егер электрондық сағат болса, күнге қалатын
болады)
3. Сағат тәулік сайын 3 минутқа қалып қояды. Неше тәуліктен кейін сағат
дәл уақытты көрсетеді.
Шешуі: Сағаттың стрелкасы нақты уақытты 12 сағатқа қалғанда
көрсетеді.
12 сағат = 12*60 = 720 минут.
Егер бір тәулікте 3 мин. Қалып отырса, онда 720/3 = 240 тәулік.
Егер сағат ай- күн көрсетпейтін электронды сағат болса, онда сағат 24 сағатқа
қалу керек. Бұл 240*2 = 480 тәулікте болады.
Егер сағат ай-күнді көрсетсе, онда олар ешқашан уақытты дұрыс
көрсетпейді. Яғни минутқа емес, онда күнге қалатын болады.
Жауабы: 480 тәулікте ( егер электрондық сағат болса, күнге қалатын
болады)

4. Сәуір айында үш жұма тақ күндерге сәйкес келетін болса, сәуірдің 25-і
аптаның қай күніне сәйкес келеді?
Шешуі: Сәуірде 30 күн бар. 1- ші сәуір жұма болса, онда жұма күндері
1, 8, 15, 22, 29 сәуір болады.Үш жұма тақ күндері. 25-сәуір аптаның
дүйсенбісі болады.
Жауабы: сәуірдің 25-і дүйсенбі.
5. Саяхатшы моторлы қайықпен дүйсенбі күні сағат 12-де өз саяхатын
бастады да, 100 сағат саяхаттап қайта оралды. Саяхатшының қайтып келген
күнін және уақытын анықтаңыз.
Шешуі: Бір тәулікте 24 сағат бар, 100 сағат 4 тәулік және 4 сағат, онда
саяхатшы дүйсенбі +4 тәулік, демек жұма күні, 12+4=16 сағатта.
Жауабы: 16 сағатта.
6. Егер бүгін сәрсенбі болса, 340 күн бұрын қандай күн болған?
Шешуі: 340 – ты 7-ге бөлеміз, сонда 340: 7=48 ( қалдық 4) , қалдық 4-
ке тең. Онда сәрсенбіден кейін төртінші күн, немесе сәрсенбінің алдындағы
3 күн бұрыңғы күн, жексенбі болады.
Жауабы: жексенбі .
7. Осы жылы Қанаттың туған күні қандай да бір аптаның сейсенбі күніне
келіп тұр. Ал Мараттың туған туған күні Қанаттың туған күнінен кейін 52-
ші күн болса, Мараттың туған күні аптаның қай күніне келетінін анықтаңыз.
Шешуі: Бір аптада 7 күн бар, 52-ні 7-ге бөліп, қалдығын табамыз. 52:7=7
(3 қалдық), онда Қанаттың туған күні аптадағы Мараттың туған күнінен
кейінгі 3-ші күн. Демек, жұма.
Жауабы: Жұма
. 8. Қантар айында 4 жұма және 4 дүйсенбі болды. Осы айдың 20-сы аптаның
қандай күні болды?
Шешуі: Айдың бірінші күні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі болады.
Жауабы: Жексенбі
1.7. Сәйкестендірулер мен салыстырулар

Мақсаты: Оқушылардың сәйкестендіру мен салыстыруларға байланысты
есептерді шығару дағдылары дамиды. Логикалық ойлау қабілеттері дамып,
пәнге қызығушылықтары артады.
Бұл бөлімде есептер нақты бір логикалық амалдарға қатысты беріледі.
Мысалы, х – беске бөлгенде бөліндісі жай сан болатын ең үлкен оң екі
таңбалы санның цифрларынң қосындысы
А бағаны В бағаны
х 95
Шешуі: х саны 95-ке тең, себебі оны 5-ке бөлгенде бөліндісі 19 – жай
сан. 95 санының цифрларының қосындысы
А= 9+5=14. В – А = 95 – 14 = 81. Бұдан А = В -81
Жауабы: А = В -81
Мысалы,
А В
20 санының бөлгіштерінің саны 20 санының 130 санынан кіші
еселіктерінің саны

Шешуі: 20 санының бөлгіштері: 1, 2, 4,5,10,20. Бөлгіштер саны А=6. 20
санының 130 дан кіші еселіктері : 20, 40, 60, 80, 100, 120.
Еселіктер саны В =6. Онда А = В
Жауабы: А = В
Мысалы, Әсем пойыздың басынан есептегенде жетінші вагонға отырды.
Мадина пойыздың соңынан есептегенде жетінші вагонға отырды. Сонда
қыздар бір вагонда болды. Пойызда неше вагон бар?
Шешуі: Вагондардың саны 13. Өйткені, пойыздың басынан санағанда, 7
вагонға дейін 6 вагон, соңынан санағанда 6 вагон және оған олар кездескен
1 вагонды қосамыз. Сонда 13 вагон.
Жауабы: 13 вагон.


1.7. Сәйкестендірулер мен салыстырулар тақырыбына есептер
шығару.