Мәтіндік есептерді шешу

Математикалық сауаттылықты қалыптастырудың маңызды аспектілерінің бірі-мәтіндік есептерді шеше білу. Ол үшін балаларды есептің шарттарын талдауға, маңызды деректерді бөліп көрсетуге, математикалық модельді тұжырымдауға және оны шешуге үйрету керек.

Балаларға мәтіндік тапсырмалардың нақты контекстке ие екенін және күнделікті өмірмен байланысты екенін түсінуге көмектесу маңызды. Бұл оларға тапсырманың мәнін жақсы түсінуге және оның практикалық қолданылуын көруге көмектеседі.

Сондай-ақ балаларды әртүрлі математикалық амалдар мен есептерді шешу стратегияларын қолдануға үйрету маңызды. Мысалы, диаграммаларды, кестелерді, графиктерді немесе алгоритмдерді пайдалану ақпаратты және мәселені шешу процесін реттеуге көмектеседі.

Мәтіндік есептерді шешу логикалық ойлау мен шешім қабылдау қабілетінің дамуымен де байланысты болуы мүмкін. Балалар өз іс-әрекеттерінің нәтижелерін бағалауды, ықтимал шешімдерді талдауды және ең оңтайлысын таңдауды үйренуі керек.

Жалпы, мәтіндік есептерді шешуде математикалық сауаттылықты қалыптастыру тұрақты тәжірибе мен оқытудың әртүрлі әдістерін қажет етеді. Балаларға математика тек дерексіз ғылым ғана емес, сонымен қатар күнделікті өмірде нақты мәселелерді шешудің практикалық құралы екенін түсінуге көмектесу маңызды.

Мәтіндік есептерді шешуге үйрету кезінде әр баланың жеке ерекшеліктерін ескеру қажет. Кейбір балаларға үлкен көлемдегі ақпаратпен күресу қиын болуы мүмкін, ал басқалары абстрактілі ұғымдармен күресуі мүмкін. Сондықтан оқытуға сараланған тәсілді қолдану және әр оқушының даму деңгейіне сәйкес келетін тапсырмаларды таңдау қажет.

Сондай-ақ, балалар қателесуден және сұрақтар қоюдан қорықпауы үшін сенім мен қолдау атмосферасын құру маңызды. Жұпта немесе топта жұмыс істеу балаларға идеялармен бөлісуге және бірге шешім табуға көмектеседі.

Соңында, мәтіндік тапсырмаларды шешу мектеп бағдарламасы үшін маңызды дағды ғана емес, сонымен қатар өмір үшін пайдалы дағды екенін есте ұстаған жөн. Ақпаратты талдай білу, шешім қабылдау және мәселелерді шеше білу – бұл қандай мамандықты таңдағанына қарамастан, болашақта балаларға пайдалы болатын дағдылар.

Олимпиадалық мәтіндік тапсырмалар өте күрделі болуы мүмкін және математикалық білім мен дағдылардың жоғары деңгейін талап етеді. Дегенмен, әдеттегі оқыту сияқты, әр қатысушының жеке ерекшеліктерін ескеру және оларға дайындық деңгейіне сәйкес тапсырмалар беру маңызды.

Күрделі олимпиадалық есептерді шешу үшін көбінесе математикалық формулалар мен әдістерді білу ғана емес, сонымен қатар ақпаратты талдау, стандартты емес шешімдерді табу және логикалық ойлауды қолдану мүмкіндігі қажет.

Топтарда немесе топтарда жұмыс істеу қатысушыларға идеялармен алмасуға және шешімдерді бірге табуға көмектеседі. Қатысушылар қателесуден және сұрақтар қоюдан қорықпауы үшін сенім мен қолдау атмосферасын құру маңызды.

Күрделі олимпиадалық міндеттерді шешу оқушылардың дамуы мен оларды болашақ кәсіби қызметіне дайындау үшін өте пайдалы болуы мүмкін. Бұл оларға өмірдің кез келген саласында пайдалы болатын мәселелерді талдау, сыни тұрғыдан ойлау және шешу дағдыларын дамытуға көмектеседі.

Есептер

1) Бағынушылар шахқа сыйлық ретінде 300 асыл тас әкелді: кішкентай жәшіктерде, әрқайсысы 15 дана және үлкен жәшіктерде әрқайсысы 40 дана. Үлкендерден кішілері аз болғаны белгілі болса, үлкен және кіші жәшіктер қанша болды?

Шешуі: х - кіші жәшіктер саны, ал у - үлкен жәшіктер саны болсын. Сонымен қатар, х<у.

Келесідей теңдеуді аламыз:

15х+40у=300 |:5

3x+8y=60

у арқылы x-ті өрнектейміз:

Бөлшектің мәні бүтін сан болуы үшін 2y 3-ке еселік болуы керек, яғни: 2y=3z.

y айнымалысын өрнектеп, бүтін бөлігін таңдаймыз:

z 2 ге еселі болуы керек: z=2u

x,y айнымалыларын u арқылы өрнектейміз:

Келесі теңсіздіктер жүйесін құрып,шешеміз:

Бұдан, u-дің бүтін мәндері 1 мен 2.

Енді u=1;2 болғандағы х пен у мәндерін табайық.

1. x₁=20-8*1=12

y₁=3*1=3

Бұл шешім қанағаттандырмайды, х<y болуы керек!

2. x₂=20-8*2=4

y₂=3*2=6

Жауабы: 4 кіші және 6 үлкен жәшік.

2) Студенттер тобы кітапты 3400-ден 3900 теңгеге дейін сатып алуды шешті. Алайда, соңғы сәтте екеуі сатып алуға қатысудан бас тартты және әрқайсысы 20 теңгеге көбірек үлес қосуға мәжбүр болды. Сатып алуға қанша студент қатысты?

Әрбір студент бастапқыда үлес қосуы керек сумма - x болсын, у – оқушылардың бастапқы саны. Сонда жалпы бастапқы жиналған сумма xy болуы керек және ол 3400-3900 аралығында болуы керек еді.

Осылайша, біз бірінші теңсіздікті алдық:

3400≤xy≤3900 (1)

Сосын 2 студент бас тартты.

(у - 2) - студент болды, ал қаражат жоспарланғаннан 20 теңгеге көп болуы керек болды, яғни (x + 20).

Сонда мынадай сумма жиналды: (y - 2) (x + 20) және ол 3400 - 3900 аралығында болады.

Екінші теңсіздікті аламыз:

3400≤(y - 2)(x + 20)≤3900

3400≤xy+20у-2х-40≤3900

3440≤xy+20у-2х≤3940 (2)

2-ші теңсіздіктен 1-ші теңсіздікті алып тастасақ, мынаны аламыз:

40≤20у-2х≤40 – келесі теңдікке өтуге болады: 10y – x = 20, х=10у-20

х мәнін (1) теңсіздіктегі мәнмен ауыстырайық:

3400≤xy≤3900

3400≤у(10у-20)≤3900

Теңсіздікті шеше отырып, біз у= 20 мәнін аламыз. Сәйкесінше, х=10*20-20 => х=180

Және барлығы төленген: 20*180=3600.

Жауап: сатып алуға 20 студент қатысты.

3) N қаласында 10000 адам тұрады. Олардың 60% - ы кеңселерде, ал қалғандары өндірістік кәсіпорындарда жұмыс істейді. Кеңселерде жұмыс істейтіндердің 40% - ы басшылық лауазымдарда, ал өндірістік кәсіпорындарда жұмыс істейтіндердің тек 20% - ы басшылық лауазымдарда. Кездейсоқ таңдалған қала тұрғыны N өндірістік кәсіпорында жұмыс істеп, басшылық лауазымға ие болу ықтималдығы қандай?

Жауабы: Кеңселерде жұмыс істейтіндер: 10000 * 0.6 = 6000 адам

Өндірістік кәсіпорындарда жұмыс істейтіндер: 10000-6000 = 4000 адам

Кеңселерде жұмыс істейтіндер арасында басшылық лауазымдар: 6000 * 0.4 = 2400 адам

Өндірістік кәсіпорындарда жұмыс істейтіндер арасында басшылық лауазымдар: 4000 * 0.2 = 800 адам

Өндірістік кәсіпорында жұмыс істейтін және басшылық лауазымға ие кездейсоқ тұрғынды таңдау ықтималдығы:

800 / 10000 = 0.08 немесе 8%

4) Чип пен Дейл 2021 жылдың қысына жаңғақ жинады. Чип жаңғақтарды 1-ден 2021-ге дейінгі сандармен нөмірлеп, сүйікті ағашының айналасында 2021 кішкене шұңқыр қазды. Келесі күні таңертең ол Дейлдің реттілікті сақтамай, әр шұңқырға жаңғақ салғанын анықтады. Ренжіген Чип жаңғақтарды 2021 әрекет бойынша өзгертуге шешім қабылдады: k-ші әрекет кезінде ол k нөмірлі жаңғақ пен көршілес жаңғақты ауыстырады.

K саны бар екенін дәлелдеңіз, k әрекеті кезінде а және b нөмірлері бар жаңғақтар a < k < b болып ауыстырылса.

Жауабы: Бұл мәлімдемені дәлелдеу үшін біз керісінше дәлелдеу әдісін қолданамыз. Мұндай k саны жоқ делік, яғни кез-келген жағдайда екі шарттың бірі орындалды:

1. a ≥ k барлық a және b үшін, олар k әрекеті кезінде орын ауыстырады.

2. b ≤ k барлық a және b үшін, олар k әрекеті кезінде орын ауыстырады.

Бірінші шартты қарастырыңыз. Егер ол барлық k үшін жасалса, онда бірінші әрекеттен кейін 1 және 2 нөмірлері бар жаңғақтар ауыстырылатынын байқауға болады. Демек, a = 1 және b = 2. Бірақ содан кейін кез келген k > 2 үшін a ≥ k орындалады, бұл біздің болжамымызға қайшы келеді.

Екінші шартты қарастырайық. Егер ол барлық k үшін жасалса, онда соңғы әрекетке дейін 2020 және 2021 нөмірлері бар жаңғақтар ауыстырылатынын байқауға болады. Демек, a = 2020 және b = 2021. Бірақ содан кейін кез-келген k < 2020 үшін b ≤ k орындалады, бұл біздің болжамымызға қайшы келеді.

Осылайша, біз екі жағдайда да қарама-қайшылыққа келдік, бұл a және b сандары бар жаңғақтар a < k < b болып өзгеретін k саны бар екенін дәлелдейді.

5) Салмағы 1кг, 2кг, 3кг,..., 100кг жүз тасты үйіндіге әр үйіндіде осы үйіндідегі барлық басқа тастардан үш есе артық бір тас болатындай етіп орналастыруға бола ма?

1.Жоқ, мүмкін емес. Әрбір үйіндіде салмағы осы үйіндідегі барлық басқа тастардан үш есе үлкен бір тас болуы үшін әрбір үйіндідегі тастардың жалпы салмағы 4-ке еселенген болуы керек. Алайда, 1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысы 5050-ге тең, ол қалдықсыз 4-ке бөлінбейді. Демек, салмағы 1 кг-нан 100 кг-ға дейінгі жүз тасты осылайша үйіндіге салу мүмкін емес.

2. Жоқ, мұндай бөлуді жасау мүмкін емес.

Үйіндіде осы үйіндідегі барлық басқа тастардан үш есе үлкен бір тас болуы үшін, барлық басқа тастардың салмағы ауыр тастың салмағының үштен екісіне тең болуы керек. Бірақ 1-ден 100-ге дейінгі тастардың салмағының қосындысы 5050-ге тең, ал оның үштен екісі 3366 және 2/3-ке тең. Бұл сан 3-ке бөлінбейді, сондықтан жүз тасты қажетті Шартпен үйінділерге бөлуге болмайды.

6)Тақтада 1-ден 9-ға дейін үш түрлі сан жазылады.Бір қадамда сандардың екеуіне 1-ді қосуға немесе барлық сандардан 1-ді азайтуға болады. 30-дан аспайтындай қадам жасай отырып, тақтада тек нөлдер қалатынына әрқашан қол жеткізуге болатындығы рас па?

Жауап. Дұрыс емес.

Шешім. Бастапқыда тақтаға 1,8 және 9 сандары жазылсын және бірнеше қадамнан кейін нөлдер пайда болды. Екінші және бірінші сан арасындағы, сондай-ақ үшінші және бірінші сан арасындағы айырмашылықтардың қалай өзгеретінін зерттейміз. Бастапқыда бірінші және екінші санның айырмасы 7ге ал бірінші және үшінші сандар айырмасы 8-ге тең. Егерде үш бірлікті алып тастасақ, айырмашылықтар өзгермейді. Егер бірліктер алғашқы екі санға қосылса,яғни 1 мен 8ге онда бірінші айырмашылық өзгермейді, ал екіншісі айырмашылық 1-ге азаяды. Сол сияқты, егер бірліктер бірінші және үшінші сандарға қосылса, яғни 1 мен 9 онда бірінші айырмашылық 1-ге азаяды, ал екіншісі өзгермейді. Соңында, соңғы сандарға қосылған кезде яғни 8 бен 9,айырмашылықтар артады. Сонымен, бірінші айырмашылық 7 - ге, ал екіншісі 8-ге азайғандықтан, бірінші санға бірлік кем дегенде 7 + 8 = 15 рет қосылды. Сонымен, одан кем дегенде 16 рет бірді алып тастау керек болды, өйткені соңында ол нөлге айналды. Сондықтан операциялардың қорытынды саны 15 + 16 = 31-ден кем емес.

Қорыта келген кезде бізге тек нөлдер қалатынына әрқашан қол жеткізуге 30 қадам жеткіліксіз.

7) 21 × 21 тақтаның орталық торында чип бар. Бір қадамда чипті көрші торға жылжытуға болады. Алина 10 қадам жасады. Чип болуы мүмкін қанша ұяшық бар?

Жауабы: 121.

Шешім. Тақтаның орталық ұяшығы қара болатындай етіп бүкіл тақтаны шахмат бояуымен бояйық. Чипті іргелес ұяшыққа жылжытқанда, чип орналасқан ұяшықтың түсі әр жолы өзгереді. Тақ қозғалыстардан кейін чип әрқашан ақ шаршыда болады, ал жұп қозғалыстардан кейін ол әрқашан қара түсте. Сондықтан 10 қозғалыстан кейін чип міндетті түрде қара ұяшықта болады.

10 жүріспен жетуге болатын барлық қара ұяшықтарға дәл 10 қозғалыста жетуге болатынын көрсетейік. Орталықтан 10 қадамнан азырақ жетуге болатын еркін қара А ұяшығын қарастырайық. А ұяшығына кірген кезде қозғалыстардың жұп саны, яғни 10-нан аз болғандықтан, дәл 10 қозғалыс жасалғанша чипті келесі ұяшыққа және артқа жылжытуға болады. Бұл 10-нан аспайтын қозғалыста жетуге болатын қара ұяшықтардың санын есептеу керек дегенді білдіреді.

0 қозғалыста сіз тек бастапқы ұяшыққа кіре аласыз, 2 қозғалыста сіз бастапқы ұяшыққа және 4 ⋅ 2 = 8 жаңа ұяшыққа кіре аласыз, 4 қозғалыста бұрын түскен ұяшықтарға және 4 ⋅ 4 = 16 жаңа ұяшыққа және т.б. 10 қадамнан артық емес жетуге болатын ұяшықтар саны 1 + 8 + 16 + 24 + ... + 40 = 1 + 8 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 121 екенін аламыз.

8) Чип пен Дейл 2021 жылдың қысына жаңғақ жинады. Чип жаңғақтарды 1-ден 2021-ге дейінгі сандармен нөмірлеп, сүйікті ағашының айналасында 2021 кішкене шұңқыр қазды. Келесі күні таңертең ол Дейлдің реттілікті сақтамай, әр шұңқырға жаңғақ салғанын анықтады. Ренжіген Чип жаңғақтарды 2021 әрекет бойынша өзгертуге шешім қабылдады: k-ші әрекет кезінде ол k нөмірлі жаңғақ пен көршілес жаңғақты ауыстырады.

K саны бар екенін дәлелдеңіз, k әрекеті кезінде а және b нөмірлері бар жаңғақтар a < k < b болып ауыстырылса.

Жауабы: Бұл мәлімдемені дәлелдеу үшін біз керісінше дәлелдеу әдісін қолданамыз. Мұндай k саны жоқ делік, яғни кез-келген жағдайда екі шарттың бірі орындалды:

1. a ≥ k барлық a және b үшін, олар k әрекеті кезінде орын ауыстырады.

2. b ≤ k барлық a және b үшін, олар k әрекеті кезінде орын ауыстырады.

Бірінші шартты қарастырыңыз. Егер ол барлық k үшін жасалса, онда бірінші әрекеттен кейін 1 және 2 нөмірлері бар жаңғақтар ауыстырылатынын байқауға болады. Демек, a = 1 және b = 2. Бірақ содан кейін кез келген k > 2 үшін a ≥ k орындалады, бұл біздің болжамымызға қайшы келеді.

Екінші шартты қарастырайық. Егер ол барлық k үшін жасалса, онда соңғы әрекетке дейін 2020 және 2021 нөмірлері бар жаңғақтар ауыстырылатынын байқауға болады. Демек, a = 2020 және b = 2021. Бірақ содан кейін кез-келген k < 2020 үшін b ≤ k орындалады, бұл біздің болжамымызға қайшы келеді.

Осылайша, біз екі жағдайда да қарама-қайшылыққа келдік, бұл a және b сандары бар жаңғақтар a < k < b болып өзгеретін k саны бар екенін дәлелдейді.