Матрица

Мазмұны

Кіріспе

Бірінші тарау

Матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер

1.1 Негізгі анықтамалар және мысалдар........................................................

1.2 Матрицаларға амалдар қолдану.................................................................

1.2.1.Матрицалар теңдігі...............................................................................

1.2.2 Матрицаларды қосу..............................................................................

1.2.3 Матрицаларды санға көбейту...............................................................

1.2.4 Матрицаларды көбейту........................................................................

1.2.5 Матрицаны транспонирлеу..................................................................

1.3 Матрицалар алгебрасының маңызы

және рөлі туралы........................................................................................

1.4 Матрица рангі туралы................................................................................

1.5 Матрицаның жатық жолдарына

жүргізілетін элементар түрлендірулер......................................................

1.6 Матрицаны сатылы түрге келтіру

және оның матрица рангімен байланысы..............................................

Екінші тарау

Сызықты теңдеулер жүйесі және матрица

2.1 Негізгі ұғымдар және анықтамалар........................................................

2.2 Біртектес теңдеулер жүйесі......................................................................

2.2.1 Негізгі қасиеттері...............................................................................

2.2.2 Жүйенің жалпы шешімі...................................................................

2.2.3 Гаусс әдісі туралы.............................................................................

2.2.3.1 Есте болатын бір жағдай.....................................................

2.3 Біртектес емес теңдеулер жүйесі...............................................................

2.3.1 Жүйе шешімдерінің негізгі қасиеттері...........................................

2.3.2 Біртектес емес теңдеулер жүйесінің

үйлесімділік критерийі..............................................................................

Үшінші тарау

Матрицаның анықтауыштары туралы

3.1 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар.........................................

3.2 Анықтауышты жатық жол бойынша жіктеу......................................

3.3 Анықтауыштардың негізгі қасиеттері..................................................

3.4 Негізгі ескертулер....................................................................................

Төртінші тарау

Кері матрица және оны есептеу туралы

4.1 Кері матрица ұғымы............................................................................

4.2 Кері матрицаны есептеу ережесі......................................................

4.3 Кері матрицаны есептеуде Гаусс әдісін

пайдалану туралы.......................................................................................

4.4 Біртектес емес теңдеулер жүйесін шешуде

кері матрицаны пайдалану идеясы.....................................................

Бесінші тарау

Есептер шығаруға мысалдар

5.1 Матрицаларға амалдар қолдану..........................................................

5.2 Матрицаны сатылы түрге келтіру және

оның рангісін анықтау................................................................................

5.3 Сызықты теңдеулер жүйесін шешу...................................................

5.3.1 Біртектес теңдеулер жүйесін шешу ерекшелігі........................

5.3.2 Біртектес емес теңдеулер жүйесін шешудегі ерекшелік.........

5.4 Жатық жол (немесе тік жол/баған) бойынша

жіктеу арқылы анықтауыштарды есептеу .............................................

5.5 Анықтауыштарды есептеуде Гаусс

әдісін пайдалану............................................................................................

5.6 Кері матрицаны табу..............................................................................

Алтыншы тарау

Біліктілікті бекіту алгоритмдері

6.1 Негізгі тақырыптар бойынша

біліктілік алгоритмдері.........................................................................

6.2 Негізгі тақырыптар бойынша

біліктілік тренингтеріне мысалдар......................................................

6.3 Өзіндік жұмысқа тапсырмалар............................................................

6.4 Глоссарий.................................................................................................

Қорытынды .....................................................................................................

Пайдаланылған әдебиеттер............................................................................

Кіріспе

Математика ғылымының барлық салаларында, оның ішінде, әсіресе, экономикалық есептерді шешуде және келешек математикалық ғылыми зерттеулерде ең жиі қолданылатын математикалық аппаратқа сызықты алгебра элементтері жатады. Ұсынылып отырған оқу құралы оқырманның (студенттің, жас маманның) сызықты алгебра элементтерін өз беттерінше тиімді оқып-үйренуіне және оның негізгі жиі кездесетін қолданбалы әдістерін және тәсілдерін сапалы меңгеруіне арналады.

Матрицалар алгебрасының математиканың өзінің ішкі дамуындағы рөлі де бүгінгі күні жоғарыламаса әлі де төмендей қойған жоқ. Матрицалар теориясы әлі де даму үстінде. Өйткені, жылдан жылға оларды пайдаланудың әртүрлі бағыттары және түрлері көбейе және кеңи түсуде. Сондықтан американдық математик Ричард Беллман матрицалар теориясын «жоғары математиканың арифметикасы» деп бекер атамаған.

Жалпы математиканың даму тарихына көз жүгіртсек мына жағдайларды байқауға болады. Матрица туралы мәселе алғашқы рет ХІХ ғасырдың екінші жартысынан бастап ирландық астраном және математик У.Гамильтонның (...) және ағылшын математиктері Дж.Силвестрдің (...), А.Кэлидің еңбектерінде кездесе бастайды. Ал матрицалар теориясының негізін ХІХ ғасырдың екінші жартысында неміс математиктері К.Вейерштрасс (1815-1897) және Фробениус қалаған. Тарих тілінде айтсақ, матрицалар теориясы математиканың «жас» бағыттарының қатарына жатады. Сол себептен математиканың бұл бағыты әлі де даму кезеңінде. Өйткені, жылдан жылға матрица аппаратын пайдаланатын есептер аумағы көбейе түсуде.

Бұл оқ-әдістемелік құралының мақсаты – матрицаларға амалдар қолдануды, анықтауыштар мәселелерін қарастыру, нәтижесінде сызықты теңдеулер жүйесін зерттеу, яғни олардың шешімдерінің бар және жалғыз ғана болатындығын және оларды табудың әдістері (тәсілдері) туралы мәселелер ауқымын анықтау.

Қазіргі кезеңде математикалық әдістердің барлық дерлік ғылым, техника, экономика салаларында және барлық дерлік мамандардың практикалық қызметтерінде кеңінен қолданыс табуына байланысты математикалық білімді және дайындықты сапалы жақсарту мәселесі күн тәртібінен түспек емес, оның өзектілігі күннен-күнге күшейе түсуде. Оның ішінде, әсіресе, қарапайым және солғұрлым маңызды болып келетін сызықты алгебраның әдістерін және тәсілдерін меңгеру бірінші кезекте қажет болып тұр. Оқу құралы осы жағдайды ескеріп дайындалынып отыр.

Оқу құралында мына бастапқы мәселелерге баса назар аударылған: матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер, матрица рангі туралы, матрицаның жатық жолдарына жүргізілетін элементар түрлендірулер, матрицаны сатылы түрге келтіру және оның матрица рангімен байланысы, сызықты теңдеулер жүйесі және матрица, матрицаның анықтауыштары туралы, кері матрица және оны есептеу туралы, матрица аппаратын пайдаланып есептер шығару мәселелері.

Оқу құралы бірінші кезекте көптеген мамандықтар студенттеріне, магистранттарға және жас оқытушыларға ұсынылады. Оқу құралын әдістемелік құрал ретінде де пайдалануға болады деп ойлаймыз.

Бірінші тарау

Матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер

1.1 Негізгі анықтамалар және мысалдар

Математикада матрица (немісше matrіse, латынша matrіx – аналық деген мағынада) деп кез келген нақты элементтер жиынынан құрылған және m жол (немесе жатық жол) мен n бағаннан (немесе тік жолдан) тұратын тік төртбұрышты А кестесін айтады.

Жалпы түрде матрицаны былайша жазады:

А= .

Немесе матрицаны қысқаша былай да белгілейді: А=(а_іj)_mn, мұндағы i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Матрицаны түзетін (құрайтын) нысандар оның элементтері деп аталады. Матрицаның элементтері оның жатық жолдары немесе бағаналарының (тік жолдардың) бойымен орналасады. Матрицаның элементтері а_іj түрінде қос индекспен өрнектеледі, мұндағы бірінші индекс і – матрицаның а_іj элементі орналасқан жатық жолының нөмірін, екінші индекс j — оның а_іj элементі орналасқан бағананың нөмірін көрсетеді. Матрица символдық түрде не дөңгелек жақша, не қос тік сызық арқылы өрнектеледі. Мұндай матрицаны (m,n) өлшемді тікбұрышты матрица деп, ал егер m=n болса, квадрат матрица (n санын оның реті) деп атайды.

Мысалы, В= матрицасын 2х3 типті, немесе 2х3 ретті (өлшемді) матрица деп атайды.

Жатық жолдарының саны мен бағаналары санының бірі немесе екеуі де шексіз болатын матрицаны шексіз матрица деп түсінеміз. Бір ғана жатық жолдан немесе бір ғана бағанадан тұратын матрицалар да болады, яғни тікбұрышты матрицаның дербес жағдайлары вектор-жол немесе вектор-баған түрінде болуы мүмкін. Мысалы, С₁₄=(0, 1, 1, -3) түріндегі матрицаны төрт өлшемді вектор (0, 1, 1, -3) деп, ал D₅₁= матрицасын бес өлшемді арифметикалық кеңістік векторы (5, 1, -1, 0, 2) деп қарастыруымызға да болады.

а_іі диагоналды элементтері ғана нөльден өзгеше болатын квадрат матрицаны диагоналдық матрица деп атайды, dіag(а₁₁ … а_nn) таңбасымен белгілейді.

Диагоналдық матрицаның барлық элементтері (а_іi=1) болса, онда ол бірлік матрица деп аталады. Бірлік матрицаны былайша жазады:

Е= .

Матрицалық есептеулерде бірлік матрицаның рөлі ерекше болып келеді. Ол туралы келесі беттерде айтатын және мысалдар келтіретін боламыз.

Сонымен, егер квадраттық матрицаның диагоналдық элементтерінің барлығы бірге тең, ал қалған элементтері нөльге тең болса, онда мұндай матрицаны бірлік матрица деп атаймыз.

– бірлік матрица; мысалы, АЕ=А.

Егер барлық (а_іi=а) болса, онда скаляр матрица шығады.

Барлық элементтері нөльге тең матрица нөльдік матрица деп аталады. Бірлік және нөльдік матрицалар матрицалық есептеулерде сандардағы 1 және 0 сандары сыяқты рөльдерді орындайды.

Жатық жолдары мен бағаналарын ауыстыру арқылы алынған матрицаны транспонирленген матрица деп атайды, оны А немесе А^Т арқылы белгілейді. Егер матрицаның элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда комплексті түйіндес матрицасы шығады. Ал егер А транспонирленген матрица элементтерін комплексті түйіндеске ауыстырсақ, онда А матрицасымен түйіндес болатын А* матрицасы шығады.
Квадрат матрицаның анықтауышы |A| немесе det A деп белгіленеді. Квадратты матрица үшбұрышты деп аталады, егерде бас диагоналдан төмен (немесе жоғары) орналасқан барлық элементтер нөльге тең болатын болса. Мысалы,

В=

матрицасы жоғарғы үшбұрышты, ал<