Морри кеңістігіндегі Харди типтес теңсіздіктер

Кіріспе.

Салмақты Лебег кеңістігінде оператордың шенелуі туралы есеп көпшілікке таныс. Бұл есеп бір салмақты кеңістіктен екінші бір кеңістікке әсер ететін оператордың шенелуінің критериін,яғни екі салмақты функцияларға қажетті және жеткілікті шарттарын анықтау болып табылады.

Функционалдық кеңістіктерде интегралдық оператордың шенелуі дифференциялдық операторлар спектрінің дискреттілігімен және онымен байланысты функционалдық кеңістіктердің бір – біріне енулерімен тығыз байланысты. Жоғарыда айтылған мәселелер жалпы жағдайларды күрделі болып табылады. Мысалы, Лебег кеңістігінде интегралдық оператордың шенелуі, жалпы айтқанда шешілмеген. Сондықтан көбіне интегралдық операторларлдың қандай да бір класын бөліп алып, олардың Лебег кеңістіктерінде шенелуін қарастырып нормаларын бағалайды.

Өткен ғасырдың II- ші жартысында зерттеушілер Харди типтес операторлар – интегралдық операторлар класын қарастыра бастады. Бұл Г.Х. Хардидің (G.H. Hardy) [1] 1925 жылғы жұмысымен байланысты. Ол жұмысты Г.Х. Харди интегралдық оператордың кеңістігінде шенелуін қарастырып, оның нормасын , тең болатынын дәлелдеген.

Анализдің әртүрлі есептерінде мысалы, гармониялық анализде, функциялар теориясында, дифференциялдық теңдеулер теориясында жіне т.б. осы нәтиженің көптеген қоглданылуына байланысты Лебег кеңістіктерінде операторын зерттеуге тура келді. Мұндағы және теріс емес алмақты функциялар. Әрі қарай бұл бағыт А. Куфнер және оның кейбір оқушыларының еңбектерінде дами бастады. 1969 жылы бір бірінен тәуелсіз итальян математиктері Дж. Таленти (G.Talenti) [2] мен Дж. Томазелли (G.Tomaselli)[3] алғаш рет К операторларының кеңістіктерінде шенелу критериін анықтаған. Осы жағдайдың қарапайым дәлдемесін 1972 жылы Б.макенхаупт (B. Muckenhoupt) [4] берген. К интегралдық оператордың кеңістігінен кеңістігіне шенелу критериін Дж. С. Брадли (G.S.Bradley) [5], В.М. Кокилашвили [6] , В.Г. Мазья [7], Г.Синнамон, (G.Sinnamon), В.Д. Степанов (V.D. Stepanov) [8] жұмыстарында қарастырылған.

Дербес туындылы дифференциялдық теңдеулер теориясында салмақты Лебег кеңістігімен қатар Морри кеңістігі де үлкен роль атқарады. Бұл кеңістікті 1938 жылы С. Морри енгізіп оны былай анықтаған: , үшін дейміз, егер және болса. Мұндағы

кеңістігіндегі центрі 0 нүктесі болатын радиусы r-ге тең шар.

Егер болса, онда , болғанда , ал немесе болса, онда кеңістігі нөлге эквивалентті функциялардан тұрады.

Кейінгі жылдары жоғарыдағы келтірілген Морри кеңістігін жалпылап кеңейтіп “Морридің локальді кеңістігі” және “ Морридің глобальді кеңістігі ” деген кеңістіктерге көптеген есептер қарастырылып жүр.

Жұмыстың мақсаты.

Лебег кеңістігін Морри типтес кеңістікке енгізу, Морри типтес кеңістікте классикалық Харди типтес теңсіздіктерді қарастыру. Морри типтес кеңістікте Харди операторының шенелу шарттарын қарастыру.

Ғылыми жаңалығы.

Жұмыста салмақты Лебег кеңістігін локальді Морри кеңістігіне енгізу мәселесі қаралған. Егер Лебег кеңістігін анықтайтын параметр біреу болса, Морри кеңістігінде екі парметр бар. Бұл дипломдық жұмыс осы үш параметрдің әр түрлі жағдайларында енгізу шарттарын анықтауға арналған. Алынған нәтижелер жаңа, бұрын қарастырылмаған , айтарлықтай маңызы бар.

Теориялық және практикалық маңыздылығы.

Жұмыстың негізі теориялық сипаттамадан тұрады. Және функциялар теориясында , дифференциялдық теңдеулер және интегралдық операторлар теориясында қолдануға болады.

Диплом құрылымы.

Диплом кіріспеден , үш тараудан , қорытындыдан және әдебиеттер тізімінен тұрады.

Дипломның негізгі мазмұны.

Бірінші тарау салмақты Харди теңсіздігіне шолу болып табылады. Мұнда Харди типтес теңсіздігі жөнінде негізгі белгілі нәтижелер келтіріліп , әр түрлі көрсеткіштеріне байланысты дәлелдемелері ұсынылған.

Екінші тарауда салмақты Лебег кеңістігінің Морри типтес кеңістікке енгізу мәселесі қарастырылған. Бұл тарау екі бөлімнен тұрады. 2.1 бөлімінде жағдайындағы енгізу теоремасы, ал 2.2 бөлімінде жағдайындағы енгізу теоремасықарастырылған.

Негізгі нәтижелерді келтірейік.

болсын, салмақты функциялар, яғни өлшемді және теріс емес мәнді функциялар. арқылы , нормасы ақырлы болатын функциялар кеңістігін белгілейік. арқылы

нормасы ақырлы болатын функциялар кеңістігін белгілейік.

енгізуін анықтайтын теңсіздігін қарастырамыз.

Теорема 2.1.1. Егер болса, онда (0.1) теңсіздігі орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

Теорема 2.2.1. Егер болса, онда (0.1) теңсіздігі орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы .

Теорема 2.3.1. Егер болса , онда енгізуі орындалмайды.

Үшінші тарауда Харди операторының Морри кеңістігінде шенелу шарттары қарастырылған.

Теорема 2.4.1. Харди операторы , болғанда Морридің кеңістігінен кеңістігіне шенелген болуы үшін мына шарттың

орындалуы қажетті және жеткілікті.

1. Салмақты Лебег кеңістігіндегі Харди теңсіздігі.

Дипломдық жұмыстың тақырыбы үзіллізсіз салмақты Харди теңсіздігіне қатысты болғандықтан және зерттеу барысында үзілізсіз салмақты Харди теңсіздігінің нәтижелерін қолданылатындықтан бұл бөлімде кейбір қысқа тарихи анықтамалар және үзіллізсіз салмақты Харди теңсіздігінің нәтижелері келтіріледі.

1919 жылы Харди қос қатар үшін Гильберт теңсіздігінің жаңа және қарапайым дәлелдеу жолын іздеді. Зерттеу барысында ол классикалық Харди теңсіздігінің бастапқы дискретті және үзіллізсіз түрлерін дәлелдеді. Харди теңсіздігінің классикалық түрі келесідей беріледі:

,

осы теңсіздіктің үзілліз түрі

, . (1.0.1)

1928 жылы Харди (1.0.1) теңсіздігінің алғашқы салмақты модификациясы болып табылатын келесі теңсіздікті дәлелдеді

,

мұндағы . Теңсіздіктердің оң жағындағы тұрақтылар ең кіші оң тұрақтылар болып табылады.

Классикалық Харди теңсіздігінің әр түрлі жағдайларымен көптеген адамдар айналысқан. Бұл сұрақтардың тарихы мен нәтижелері де берілген.

Классикалық салмақты Харди теңсіздігінің жалпылауы

(1.0.2)

ал үзілізсіз түрі

(1.0.3)

Соңғы екі теңсіздікті салмақты Харди теңсіздігі деп атайды.

ХХғасырдың 60-жылдарынан бастап бұл теңсіздіктердің зерттелуі қарқынды жүрді. Алғашқы Харди теңсіздігінің үзіліссіз түрін зерттеу жақсы нәтижелерге қол жеткізілді. 1969-1980 жылы аралығында (1.0.3)-теңсіздігінің орындалуының қажетті және жеткілікті жағдайлары алынды. болғандағы екі жақты бағалауда – тұрақтысы табылды. (мысалы [3][4])

Біздің тақырыбымыз (1.0.3) теңсіздікке байланысты болғандықтан бұл теңсіздіктің зерттеуіне толығырақ тоқталамыз. (1.0.3) теңсіздігінде , , кез келген функция. және теріс емес функциялар, оларды алдағы уақытта салмақты функциялар деп атаймыз. – функциясына тәуелсіз (1.0.3) орындалатындай ең кіші оң сан. болғанда (1.0.3) теңсіздігінен (1.0.1) шығатындығы айқын. (1.0.3) теңсіздігін әдетте үзіліссіз салмақты Харди типтес теңсіздігі деп атайды. Осы теңсіздіктің - жағдайын Дж.Бредли, Opic-Kufner, Stepanov, Batuev-V.D.Stepanov, Kufner-Persson қарастырған. -жағдайын Mazya, Heining, -жағдайын Sinnamon айналысса , ал жағдайында Sinnamon-Stepanov жақсы нәтижелерге қол жеткізген.

Әрі қарай оң тұрақтылардың мәні маңызды болмаған жағдайда теңсіздігін деп жазамыз, ал жуықтауын деп белгілейміз.

1. Харди типтес теңсіздік .

Бізенді Харди теңсіздігін қарастырып, параметрлері арасындағы бар мүмкін болған жағдацныдағы (1.0.3) теңсіздігінің орындалуының дәлелдеулерін келтіреміз. , , болсын. , , функциялар болсын, С (1.0.3) теңсіздік орындалатындай ең кіші оң сан.

Теорема1.1.1. болсын. Онда (1.0.3) теңсіздік орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Сонымен қатар , С (1.0.3) теңсіздігіндегі ең кіші оң сан.

Мұндағы және .

Дәлелдеуі. Қажеттілігі.

(1.0.3) -теңсіздігі орындалсын. болатынын дәлелдейміз. (1.0.3) -теңсіздік үшін орындалатындықтан, теріс емес тексеру функциясын алайық.

,

Мұндағы –характеристикалық функция, . - функциясын(1.0.3) – теңсіздіктің сол жағына апарып қояйық

( жағдайында болғандықтан, бірінші қосылғыш нөлге тең)

Сонымен

(1.1.1)

Енді тексеру функциясын (1.0.3)- теңсіздіктің оң жағына апарып қойып, бағалайық

(1.1.2)

(1.0.3), (1.1.1) және (1.1.2) формулалардан

аламыз.

Монотонды функциялардың шегі туралы теореманы ескерсек

екені шығады.

Сонымен . (1.1.3), онда -(1.0.3) теңсіздігі орындалатындай ең кіші оң сан болғандықтан екені шығады. Қажеттілігі дәлелденді.

Жеткіліктілігі.

, (1.0.3) - теңсіздік орындалатынын көрсетейік. Ол үшін

, болатындай - функциясын қарастырайық.

-кемімейтін, абсолютті үзілліз функция.

деп алайық. Онда функциясының қасиеттерінен

(1.1.4)

шығады және

(1.1.5)

Мұндағы

Егер болса , онда функциясы кемімейтін функция болғандықтан үшін

(1.1.6)

Орындалады.

(1.1.4) формуласын ескере отырып, алдымен шамасын бағалайық:

(1.0.3) теңсіздігінің сол жағын қарастырайық

(1.1.5) және (1.1.6) формулаларын қолданамыз

түрлендіруін қолдансақ

(Бірінші интегралда функциясын функциясына көбейтіп көбейткіштері бойынша Гельдер теңсіздігін қолданамыз.)

( ескере отырып Иенсен теңсіздігін қолданамыз)

Сонымен қорытындыласақ болғандықтан (1.0.3)теңсіздігі орындалады, яғни

,

және (1.1.7)

Сонымен қатар (1.1.3) және (1.1.7) формулаларынан яғни шығады. Теорема дәлелденді.

1.2 Харди типтес теңсіздік

Теорема1.2.1. болсын . Онда (1.1.3) теңсіздік орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Сонымен қатар мұндағы С (1.0.3)теңсіздігі орындалатындай ең кіші оң сан.

Мұндағы және

Дәлелдеуі. Қажеттілігі.

(1.0.3) – теңсіздігі орындалсын. болатынын дәлелдейміз.(1.0.3)-теңсіздік үшін орындалатындықтан , теріс емес тексеру функциясын алайық:

.

Мұндағы - характеристикалық функция (1.0.3)- теңсіздіктің оң жағына – функциясын қоямыз:

]

Яғни (1.2.1)

(1.2.2)

Формуласын ескере отырып, теңсіздіктің сол жағын қарастырайық.

(1.2.3)

ескере отырып, - ішкі интегралын жеке қарастырып бағалайық:

Яғни _(1.2.4)

(1.2.3), (1.2.4) формулаларынан

( - функциясының мәнін қоямыз.)

(1.2.5)

Онда (1.2.1), (1.2.5) формулаларынан яғни екені шығады. Мұндағы , C (1.0.3) теңсіздігі орындалатындай ең кіші оң сан. Қажеттілігі дәлелденді7

Жеткіліктілігі.

, (1.0.3) -теңсіздік орындалатынын көрсетейік. Ол үшін

болатындай – функциясын қарастырайық.

– кемімейтін , абсолютті үзіліссіз функция.

деп алайық. Онда функциясыныңқасиеттерінен

(1.2.6)

шығады және

(1.2.7)

мұндағы

Егер болса, онда функциясы кемімейтін функция болғандықтан үшін

(1.2.8)

орындалады.

(1.2.6) теңдеуінің шешімі әр уақытта болатынын немес болмайтынын анықтайық.

1. Егер , онда үшін

мұндағы немесе

2. Егер шектелген болса, онда шешімі табылмайқалуы мүмкін. Яғни индексіміз

үшін: ,

болғагдықтан

шамасын (1.2.6) формуласы арқылы бағалайық:

(1.0.3) теңсіздігінің сол жағын қарастырайық

((1.2.7) және (1.2.8) формулаларын қолданамыз)

түрлендіруін қолдансақ

(Бірінші интегралда функциясын , функциясына көбейтіп, көрсеткіштері бойынша Гельдер теңсіздігін қолданамыз)

(Бұл жерде көрсеткіштері бойынша Гельдер теңсіздігін пайдаланамыз)

,

Яғни

(1.2.9)

(1.2.2)- формуласын пайдаланып - интегралын бағалаймыз.

яғни (1.2.10)

(1.2.9) және (1.2.10) формулаларын пайдаланып және теңсіздіктің екі жағын - ге шығарсақ келесі теңсіздікті аламыз.

Демек екені шығады, яғни (1.03.) теңсіздігі орындалады. Мұндағы C-(1.03.) теңсіздігі орындалатындай ең кіші оң сан.

Теорема дәлелденді.

2.1 Лебег кеңістігін Морри кеңістікке енгізу

теоремасы. .

– салмақты функциялар, яғни өлшемді және интервалының барлық дерлік жерінде оң болатын функциялар.

теңсіздігін қарастырайық.

Теорема 2.1.1. Егер болса, онда теңсіздігі орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

Дәлелдеуі. Қажеттілігі. орындалсын. болатынын дәлелдейік. – теңсіздігін сфералық координатаға көшірсек төмендегі теңсіздікті аламыз.

Тексеру функциясын келесідей алып теңсіздікке қояйық.

сфераның ауданын деп белгілейік.

алмастыруын жасайық сонда теңсіздік келесі теңсіздікпен пара-пар болады.

Соңғы теңсіздікті дәрежеге шығарсақ, сонымен қатар

типтес теңсіздікке келеміз.

мұндағы

Егер болса теорема бойынша – теңсіздігінің орындалуы үшін

мұндағы - теңсіздігі орындалатындай ең кіші оң сан. Онда бастапқы белгілеулерді және ескерсек, жағдайындағы - теңсіздігінің орындалуы үшін

Жеткіліктілігі. болсын. теңсіздігінің орындалатынын қарастырайық. -теңсіздіктің сол жағын сфералық координатаға түрлендірейік.

(Ішкі интергалға , көрсеткішьері бойынша Гельдер теңсіздігін қолданамыз.)

(2.1.4)

Енді (2.1.1)-теңсіздіктің оң жағын сфералық координатаға түрлендірсек

(2.1.5) теңсіздігін аламыз. (2.1.4) және (2.1.5) ескере отырып, төмендегі теңсіздіктің орындалатынын көрсетсек

(2.1.6)

Онда бастапқы (2.1.1) – теңсіздіктің орындалуы шығады.

Осында , алмастыруын жасасақ (2.1.5) теңсіздігі мына түрде болады:

аламыз.

Соңғы теңсіздікті q дәрежеге шығарып,

және белгілеуін енгізсек төмендегі Харди типтес теңсіздікке келеміз:

(2.1.7)

мұндағы , , .

Онда яғни (2.1.1) теңсіздіктің орындалуынан (2.1.7)теңсіздіктің орындалуы шығады. Ал жағдайында теорема – теңсіздігінің орындалуы үшін

болуы жеткілікті.

Онда бастапқы белгілеулерді және ескерсек. жағдайындағы (2.1.1) теңсіздігінің орындалуы үшін

, формулаларын жағдайында кеңістігінің Морри типтес кеңістікке енуі үшін болуы қажетті және жеткілікті. Теорема толық дәлелденді.

2.2 Лебег кеңістігін Морри типтес кеңістікке енгізу

теоремасы. .

Теорема 2.2.1. Егер болса, онда (2.1.1) теңсіздігі орындалуы үшін болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

.

Дәлелдеуі. Қажеттілігі. орындалсын болатынын дәлелдейік.

– теңсіздігін сфералық координатаға көшірсек төмендегі теңсіздікті аламыз:

сфераның ауданын деп белгілейік.

алмастыруын жасайық сонда теңсіздік келесі теңсіздікпен пара-пар болады.

Соңғы теңсіздікті дәрежеге шығарсақ, сонымен қатар

типтес теңсіздікке келеміз.

мұндағы

Егер болса теорема бойынша – теңсіздігінің орындалуы үшін

қажетті сонымен қатар мұндағы - теңсіздігі орындалатын ең кіші оң сан. Онда бастапқы белгілеулерді және ескерсек, жағдайындағы - теңсіздігінің орындалуы үшін

қажетті.

Жеткіліктілігі. болсын. теңсіздігінің орындалатынын қарастырайық. -теңсіздіктің сол жағын сфералық координатаға түрлендірейік.

(Ішкі интергалға , көрсеткішьері бойынша Гельдер теңсіздігін пайдаланамыз.)

(2.2.3)

Енді (2.1.1)-теңсіздіктің оң жағын сфералық координатаға түрлендірсек

(2.2.4) теңсіздігін аламыз. (2.2.3) және (2.2.4) ескере отырып, төмендегі теңсіздіктің орындалатынын көрсетсек

(2.2.5)

Онда бастапқы (2.2.1) – теңсіздіктің орындалуы шығады.

Осында , алмастыруын жасасақ (2.2.5) теңсіздігінен

аламыз.

Соңғы теңсіздікті q дәрежеге шығарсақ, сонымен қатар

және белгілеуін енгізсек төмендегі Харди типтес теңсіздікке келеміз:

(2.2.6)

мұндағы , , .

Онда (2.2.6) теңсіздіктің орындалуынан (2.1.1)теңсіздіктің орындалуы шығады, яғни егер болса теорема 1.2.1 бойынша (2.2.6) теңсіздігінің орындалуы үшін

жеткілікті

Онда бастапқы белгідеулерді және ескерсек, жағдайында (2.1.1) – теңсіздігінің орындалуы үшін

(2.2.7) жеткілікті. Онда (2.2.2) мен (2.2.7) формулаларын жағдайында (2.1.1) теңсіздігінің орындалуы үшін, яғни кеңістігінің Морри типтес кеңістікке ену үшін болуы қажетті және жеткілікті. Теорема 2.1.2 толық дәлелденді.

2.2 Лебег кеңістігін Морри типтес кеңістікке енгізу

теоремасы.

_{Теорема 2.3.1}. Егер болса, онда _{енгізуі орындалмайды.}

Дәлелдеуі. (2.1.1) – теңсіздігін сфералық координатаға көшірсек төмендегі теңсіздікті аламыз:

сфераның ауданын деп белгілейік.

алмастыруын жасайық сонда теңсіздік келесі теңсіздікпен пара-пар болады.

Соңғы теңсіздікті дәрежеге шығарсақ, сонымен қатар және белгілеуін енгізсек төмендегі Харди типтес теңсіздікке келеміз.

(2.3.1) мұндағы , , .

Онда біз (2.3.1) теңсіздігі Харди типтес теңсіздік екенін және , ескерсек, жағдайында (2.1.1) теңсіздігі орындалмайды. [13]. Теорема дәлелденді.

3. Харди операторының Морри кеңістіктерінде шенелу шарттары.

Морридің кеңістігінен кеңістігінде харди операторының шенелу шарттарын қарастырайық. Мұндағы кеңістігіндегі центрі ноль нүктесінде радиусы тең шар.

Харди операторындағы интегралды сфералық координатта қарастырайық. кеңістігіндегі бірлік сфераны деп, осы сфераның нүктесін σ деп, ал сфераның ауданын деп белгілейік. Бас нүктеден басталып нүктесі арқылы өтетін сәуле бірлік сфераны нүктесінде тесіп өтсе және осы сәуле бойынша нүктесінің координаты болса онда нүктесінің координатын былай жазуға болады . Сондықтан

онда,

(3.1.1)

Теорема. 3.1.1Харди операторыН, , болғанда Морридің кеңістігінен кеңістігіне шенелген болуы үшін мына шарттың

(3.1.2) орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттілігі. операторы деп -ге шенелген болсын. Онда бір С>0 табылып

(3.1.3) теңсіздігі орындалады. Осы теңсіздіктегі норманы ашып, ондағы интегралдарды сфералық координаттар арқылы өрнектейік

(3.1.4)

Харди операторының (3.1.1) кескіндемесін қолдансақ, онда

(3.1.5)

(3.1.6)(3.1.5) және (3.1.6) теңдіктер арқылы (3.1.4) теңдік мына түрде болады.

(3.1.7) Сонымен (3.1.7) теңсіздік орындалады. Мынадай

тексеру функциясын алайық. Осы функцияны (3.1.7) теңсіздіктің оң жағына қойсақ, онда

(3.1.8) Енді функциясын (3.1.7) теңсіздіктің сол жағына қойып оны төменнен бағалайық.

(3.1.9) Алынған (3.1.8) және (3.1.9) теңсіздігін (3.1.7) теңсіздігіне қойсақ, онда

Бұдан

Бұл теңсіздік кез-келген үшін орындалатын болғандықтан болуы керек, яғни(3.1.2) шарт орындалады. Қажеттілігі дәлелденді.

Жеткіліктілігі. Жеткіліктілігін дәлелдеуде үш жағдайды қарастырамыз. Бірінші жағдайы. Кез-келген санын бекітіп алып және бірлік сфера бойынша интегралда Гельдер теңсіздігін қолдансақ, онда

(3.1.10)(Соңғы интегралға жағдайындағы Харди теңсіздігін қолдансақ)

Сонымен

(3.1.11) мұндағы

,

(3.1.11) теңсіздікті екі жағын көбейтіп (3.1.2) шарт бойынша екенін еске алсақ, онда

,

немесе

яғни жағдайында Н операторы ден –ге шенелген.

Енді жағдайын қарастырайық (10) теңсіздіктегі соңғы интегралда Харди теңсіздігінің жағдайын қолданайық

(3.1.12) Екі (3.1.10) және (3.1.12) теңсіздігін біріктіріп одан шыққан теңсіздіктің екі жағын көбейтіп және (3.1.2)- шартты қолдана отырып бойынша супремум алсақ, онда

,яғни, бұл жағдайда Ноператоры шенелген.

Енді қалған жағдайын қарастырайық.

Тағыда (3.1.10) теңсіздіктің оң жағындағы интегралды осы жағдайындағы Харди теңсіздігін бағалайық.

(3.1.13) Тағыда екі теңсіздікті (3.1.10) және (3.1.13) біріктіре отырып, (3.1.2) шарттың арқасында төмендегі теңсіздікті аламыз.

_, (3.1.14) мұндағы .

(3.1.14) теңсіздік Харди операторының бұл соңғы жағдайында да шенелгендігін көрсетеді. Теорема дәлелденді.

Қортынды

Сигулярлық дифференциялдық теңдеулердің шешімдерін бағалау үшін немесе сингулярлық опраторлардың мәндерін бағалау үшін әр түрлі функционалдық кеңістіктер қарастырылып зерттеледі. Кейінгі он жылдық шамасында дифференциялдық теңдеулер шешімдерін бағалау үшін Морри 1938 жылы енгізген кеңістікті жалпылап оны сингулярлық интергалдық операторларды бағалау мәселесі көп зерттеліп жүр. Мысалы: масималды операторлар, бөлшек ретті Риман – Лиувилля операторлары үшін. Қазір Морри кеңістігінің екі жалпыланған түрін, біріншісі локальді Морри кеңістігі деп аталып, екіншісі глобальді Морри кеңістігі деп аталып зерттеліп жүр.

Көптеген сингулярлық есептер салмақты Лебег кеңістігінде қаралып жүр. Бұл кеңістікте салмақты функция арқылы функцияның өсуін, тербелісін тежеп отырады. Ал, Морри кеңістігінде функцияның шар бойынша интегралының өсуін салмақты функция арқылы тежеп отырады. Осы тежеудің екі әдісін салыстыру үшін жұмыста салмақты Лебег кеңістігін локальдік Морри кеңістігіне енгізу теоремалары алынған. Бір қызығы 2.3.1 теоремасында, егер Лебег кеңістігінің параметрі локальді Морри кеңістігінің параметрлерінен кіші болса онда салмақты Лебег кеңістігі локальді Морри кеңістігіне енбейтіні дәлелденген. Яғни, мұндай жағдайда функцияның өсуін салмақты функция арқылы Лебег кеңістігінде тежегенмен локальді Морри кеңістігінде тежелінбей қалады деген сөз.

1920 жылдары Харди интегралдау операторын Лебег кеңістігінде қарастырып оның мәндерінің салмақтық функциясы интегралдап отырған айнымалының кері шамасына тең болатын Лебег кеңістігіндегі нормасы функцияның Лебег номасы арқылы бағаланатынын көрсетті. Интегралдау операторы оң функциялары үшін ақырсыз өсетін болғандықтан ал оператор жарты ось бойынша Лебег кеңістігінде шенелмей қалады. Осы жағдайды ескеріп n-кеңістікте радиусы айнымалы шар бойынша интегралдау операторын, бұл операторды кейінгі кезде Харди операторы деп атап жүр. Морри кеңістіктерінде оның шенелу критериі алынған.

_{Қолданылған әдебиеттер тізімі.}

1. G.H. Hardy. Notes on some points in the integral calculus, L.X. An inequality between integrals. Massenger of Math. 54(1925) 150-156.

2. G.Talenti. Osseruazionisopraunaclasse di disuguaglianze. Rend. Mat. Fis. Milana, 39 1969, 171-185.

3. G.A. Tomasselli. A class of inequalities, Boll.Un.Mat.Ital.(1969) 622-631.

4. B.Muckenhoupt. Hardy’s inequality with weights. Studia Math. (1972) 31-38.

5. J.S. Bradley. Hardy’s inequality with mixed norms. Canada Math. Bull. 21 (1972) no. 4, 405-408.

6. V.M. Kokilashvily. The boundary properties of a certain class jf functions, Sakhart. SSR Mecn.Akad. Math. Ist. Srom (1973) 72- 86 (Russian)

7. V.G. Mazja. Sobolev Spaces. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 1985, Xix+445 pp

8. G.Sinnamon and V. Stepanov, The weighted Hardy inequality: new proof and the case p=1. London Math. Soc. 54(1996), 89-101.

9. V.I. Burenkov, H.V. Guliyev, Necessary and sufficient conditions for boundedness of the Reisz potential in the local Morrey-type spaces. Potential Analysis.

10. Opic B., Kufner A. Hardy type inequalities// Pitman Research Notes in Mathematics// John Wiley, New York, 1990.

11. В.Д. Степанов. Двухвесовых оценки интегралов Римана-Лиувилля – Препринт. //ВЦ ДВНЦ АН СССР, Владивасток, 1988, 27с.

12. Kufner A., L.-E.Persson.Weight Inequalities on Hardy type// World Scientific, 2003.

13. W.Rudin, Functional Analysis, McGraw – Hill. New York 1073.

14. H.P. Heinig, Weighted norm inequalities for certfin integral operators. II, Proc. Amer. Amer. Math. Soc. 95(1985), 387- 395.

15. G.Sinnamon. WeightedHardy and Opial- type inequality, J.Math. Anal Appl. 160(1991), 435-445.