Cандар жиыны
1. Натурал сандар

Натурал сандар деп мына сандарды атаймыз 0, 1, 2, 3, 4,…

Барлық натурал сандар жиының N символымен белгіленеді. Белгілі бір a санының натурал сан екенің көрсету үшін a ∈ N деп белгілейміз. Мысалы 1 ∈ N, 5 ∈ N, 3 ∈ N.

2. Бүтін сандар

Бүтін сандар деп оң және теріс таңбасымен алынған барлық натурал сандар жиынынан құралған сандар жиының атаймыз.

Яғни бүтін сандар 0, 1, 2, 3, 4,… және -1, -2, -3, -4,… сандар жиындарының бірігуінен құралған. Бүтін сандар жиының P символымен белгілейміз.

Тұжырым.

N жиынына еңетің кез келген сан P жиынына да еңеді. Бұндай жағдайда N жиыны P жиынына еңеді дейді, және N ⊆ P деп жазады.

Сұрақ.

P жиыны N жиынына еңеді ме?

3. Рационал сандар

Рационал сандар деп   (a ∈ P, b ∈ P, b ≠ 0) сандарын атаймыз. Мысалы  . Рационал сандар жиының R деп белгілейміз.

Кез келген бүтін c саны рационал жиынына еңеді да, яғни рационал саны да болып табылады. Өйткені  , соңдықтан P ⊆ R.

Сұрақ.

N ⊆ R тұжырымы орынды ма?

4. Иррационал сандар

Иррационал сан деп π = 3,141592… немесе   = 1,4… сандары тәрізді бөлшек бөлігі шексіз, периодты емес цифрлардан құралған сандарды атаймыз.

Иррационал сандар жиының Q деп белгілейміз.

5. Нақты сандар

Нақты сандар жиыны деп барлық- натурал, бүтін, рационал және иррационал сандардан құралған сандар жиының атаймыз. Және бұл жиынды Z әрпімен белгілейміз.

Ғылыми жұмыстың мақсаты: осы ұғымдарды жалпы зерттеу, бұл ұғымдармен қандай кемеңгер математиктер айналысты, қандай ерекше қасиеттері бар, қайда қолданылады, бір-бірімен қандай байланыста деген сұрақтарға жауап алу.
Ғылыми жұмыстың өзектілігі: 5-сыныптан біз жұп сан, тақ сан, жай және құрама сандармен таныспыз. Бірақ бұл сандардың арасындағы байланысты, достас сандарды, кемел сандарды біле бермейміз. Жұмыста осы мәселе қарастырылған. Ал қазіргі уақытта ЭЕМ қызметінде достас сандар, кемел сандар қолданылады.
Нәрселерді санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады. Біз мектеп математикасы курсынан натурал сандардың жұп және тақ , жай және құрама болып бөлінетіндігін білеміз. Ал «кемел сан», «достас сан» деген қандай сандар? Жай және құрама сандармен қандай байланыста? Бұл сұрақтарға жауап беру үшін санның бөлгіштері ұғымын, жай және құрама сандарды жақсы білу шарт. Санның бөлгіштері, 2-ге, 3-ке, 9-ға, 5-ке, 10-ға бөлінгіштік белгілері, құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу, жұп және тақ сан ұғымдары бізге таныс болғанымен жұмыста қарастырдым.
Мектеп математикасы курсынан білетініміздей, жай сан дегеніміз тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін натурал сан. Ал құрама сан деп бөлгіштерінің саны екеуден артық болатын натурал санды айтамыз.
Жай сандар жиынындағы есептерді шешу мәселелерімен Евклид, Эратосфен (1821-1894); академик Х.Гольдбах (1690-1764); академик И.М.Виноградов (1891-1983) сияқты кемеңгер математиктер кеңінен айналысып, ғылыми жемісті табыстарға жеткен. 
Жұп және тақ сандар жай сандармен қандай байланыста? Бұл сұраққа жауапты келесі есептерден табамыз.
 Гольдбах проблемасы . 5-тен үлкен кез-келген n натурал сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 9= 2+2+5; 28=11+13+3; 85=79+3+3; т.с.с.
Эйлер проблемасы. 1) 2-ден артық кез-келген жұп сан екі жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 4=2+2; 16=13+3; 84=79+5; т.с.с. 
2) 5-тен артық кез-келген тақ сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 7=2+2+3; 17=11+3+3; 85=79+3+3; т.с.с.
Пифагордың анықтамасы бойынша: кемел сан деп өзінің барлық мүмкін бөлгіштерінің қосындысына тең болатын санды айтады. Мысалы, 6, 28 сандарын кемел сандар деп айтуға болады. Өйткені 6 саны өзінің барлық бөлгіштерінің қосындысына тең 6=1+2+3. Сол сияқты 28= 1+2+4+7+14.
6 және 28 сандарының осындай ерекшелік қасиеттеріне әу бастан кемелдік немесе кереметтік мағына беріп қараушылар, көбінесе дүние жаратылымын діни оқу тұрғысынан түсіндірушілер болған. Олардың ойынша: «Бір алла бүкіл әлемді 6 күнде жаратқан», «Аспандағы Ай Жерді 28 тәулікте шарлап шығады». Сондықтан, 6 мен 28 сандары, көне де қасиеттері соларға ұқсас сандардың барлығы кемел сандар қатарына жатуы тиіс.
Математикалық тұрғыдан алғанда, кемел сандардың басты кереметі одардың жай сандармен тығыз байланыста болып келуінде. Ғылыми математиканың атасы Евклид (б.з.б. 330-275 жж.) кемел сандарды есептеп табудың ережесін тапты.
Евклид теоремасы.   жай сан болса, онда   кемел сан болады.
Евклид ережесі. Егер де  және  - жай сан болса, онда мына қалыптама   бүкіл жұп кемел сандар жиынын түгелдей өрнектейді.

Осы Евклид ережесіне сүйене отырып,  жай сандарға сәйкес келетін   кемел сандар тізбесін тауып көрейік. 

Евклид ережесіндегі  формуласы арқылы табылатын натурал сандар Марсенн сандары деп аталады. Бұл сандарды алғаш француз математигі Марен Марсенн (1588-1648) ашқан. Марсенн сандарына қатысты мынадай есеп қарастырдым:   санының  құрмалас болғанда құрмалас, ал  жай сан болғанда жай болатынын 1 мен 20 сандары арасында тексердім.
Қазіргі уақытта кемел сандарды электронды есептеуіш машиналардың көмегімен есептеп табуға болады.
Кемел сандар ұғымымен қатар Пифагор достас сандар ұғымын енгізіп, оны шәкірттері мен ізбасарларына кеңінен уағыздаған.
Егер А санының барлық бөлгіштерінің (өзінен басқа) қосындысы екінші В санына, ал В санының барлық мүмкін бөлгіштерінің (өзінен басқа) қосындысы А санына тең болса, онда А және В қос санды достас сандар деп атайды. Мысалы, А= 284 саны үшін 1, 2, 4, 71, 142 сандары, ал В= 220 санына 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 сандары бөлгіштер болады. Сонымен қатар мынадай теңдіктердің тура болатынына көз жеткізе аламыз 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142. Демек, (284, 220) қос сандары Пифагор анықтамасы бойынша достас сандар болып табылады.
Достас сандар теориясын жасауда Орта Шығыс және Таяу Шығыс елдерінің математиктері тамаша табыстарға жетеді. Солардың ішінде Бағдат қаласында ұзақ жылдар бойы ұстаздық қызмет атқарған араб математигі Корраұлы Сабит (860-901 жж.) және ғылыми өмірінің көбі Самарқанд қаласындағы Ұлықбек обсерваториясында өткен ұлы математик Жәмшид Ғияседдин әл-Каши (1430 жылы қайтыс болған).
Академик Эйлер достас сандардың 60 қостасын табады. Бельгия математигі Поль Пуле 1929 жылы «Сан аулау саясаты» деп аталатын екі томдық еңбек жазып қалдырды. Сол еңбегінде ол өзі ашқан 62 достас сандар қостасын келтіреді. Қазіргі кезде ғылымға 1100 достас сандар қостасы айқын болып отыр. Достас сандарды анықтау үшін Корраұлы Сабиттің, Масудұлы әл-Кашидің достас сандар қатары туралы теоремалары мен қағидаларынан хабардар болу керек. 
 Сабиттің теоремасы. Егер   үш санның бәрі жай сандар болса, онда  және  сандары достас сандар болады.
әл-Каши ережесі. Егер  және  сандары жай сандар болса, онда  және  сандары достас сандар болады.
Достас сандар саясаты соңғы кезде электронды есептеуіш машиналардың қызметінде кеңінен жұмсала бастады.
Жоғарыда қарастырғанымыздай натурал сандар жиынының біз біле білмейтін қасиеттері бар екенін көрдік. Ұлы кемеңгер Пифагор, Евклид сияқты математиктеріміз ертеден осы қасиеттерді зерттеумен айналысқан. Болашақта «кемел сандарды», «достас сандарды» ЭЕМ-дың көмегімен қалай табуға болады деген сұрақпен жұмыс жасамақпын. Бұл жоба жалғасын табады деген ойдамын.

Жиындар теориясы

 
| 5.12.2012, 10:48 | Автор |  1169

Жиындар теориясы – жиындардың (көбінесе шексіз жиындардың) жалпы қасиеттері жөніндегі ілім. Шексіз жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі туралы мәселе жиындардың шешілуге тиісті ең алғашқы мәселесі болды. Бұл мәселеге 19 ғ-дың 70-жылдары неміс математигі Г.Кантор (1845 — 1918) жауап берді. Жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі екі жиынның арасындағы өзара бір мәнді сәйкестік ұғымына негізделген. Қандай да бір ереже не заң бойынша А жиынының әрбір элементіне В жиынының белгілі бір элементі сәйкес қойылсын. Бұл ретте, егер В жиынының әрбір элементі А жиынының тек бір ғана элементіне сәйкес қойылса, онда А және В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатылған делінеді. Бұл жағдайда саны бірдей элементтерден құралған екі шекті жиынның арасында бір мәнді сәйкес орнатуға болатыны өзінен-өзі түсінікті. Осы факті екі шексіз жиынның арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнату мүмкіндігінің болатындығын көрсетеді. Өзара бір мәнді сәйкестік орнатылған екі шексіз жиын бір-біріне эквивалентті (сан жағынан) немесе олардың қуаттары бірдей делінеді. Әрбір шексіз жиынның оның өзімен қуаты бірдей дұрыс бөлігі болады және ол оңай дәлелденеді. Бұл шарт шекті жиын үшін орындалмайды. Сондықтан бүтін сандар жиынымен қуаты бірдей шексіз жиынның дұрыс бөлігін шексіз жиынның анықтамасы ретінде алуға болады.
А және В екі шексіз жиын үшін мынадай үш жағдай орындалуы мүмкін:
1) не А жиыны В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік, бірақ В жиынында А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік жоқ;
2) немесе, керісінше, В жиыны А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік, бірақ А жиынында В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік жоқ;
3) немесе, ақырында, А жиыны В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік және В жиыны А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік. Үшінші жағдайдағы А және В жиындарының тең қуатты екендігін дәлелдеуге болады. Бірінші жағдайда А жиынының қуаты В жиынының қуатынан үлкен, екінші жағдайда В жиынының қуаты А жиынынан үлкен делінеді.
Жиындар қуаты ұғымының маңызы қуаты тең емес шексіз жиындардың болуымен анықталады. Мысалы, берілген М жиынындағы барлық ішкі жиындар жиынының қуаты М жиынының қуатынан үлкен болады. Барлық натурал сандар жиынына тең қуатты жиын саналымды жиын деп аталады. Саналымды жиынның қуаты — шексіз жиын қуатының ең кішісі. Кез келген шексіз жиынның саналымды дұрыс бөлігі болады. Кантор барлық рационал сандар мен алгебралық сандар жиындарының саналымды жиын, ал барлық нақты сандар жиынының саналымсыз жиын екендігін дәлелдейді. Барлық нақты сандар жиынының қуаты континуум қуаты деп аталады. Саналымды жиындардың барлық ішкі жиындарының жиыны, барлық комплекс сандар жиыны, т.б. барлық нақты сандар жиынымен тең қуатты. Кантор нақты сандардан құралған кез келген жиын: не шекті жиын, не саналымды жиын не барлық нақты сандар жиынына тең қуатты жиын болады деп жорамалдады (континуум-жорамал). Жиындар теориясында функцияның аналитикалық түсінігі, фигураны түрлендірудің геометрикалық түсінігі, т.б. белгілі бір жиынды басқа бір жиынға бейнелеу сияқты жалпы ұғымға біріктіріледі. Жиындармен қарапайым амалдар (қосынды не біріктіру, қиылысу, толықтауыш, айырма) жүргізуге, сондай-ақ, олардың реттілігін анықтауға болады. Жиындар теориясы қазіргі математиканың дамуына зор ықпал етті. Жиындар теориясы нақты айнымалы функциялар теориясының, жалпы топологияның, жалпы алгебраның, функционалдық анализдің іргетасы болып есептеледі. Жиындар теориясының негізін чех математигі Б.Больцано (1781 — 1848), неміс математиктері Кантор мен Р.Дедекинд (1831 — 1916) салды.