Натурал сандардың қалдықсыз бөлінгіштік белгілері. Ғылыми жоба

НАТУРАЛ САНДАРДЫҢ ҚАЛДЫҚСЫЗ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІЛЕРІ

Бақбергенұлы Дамиржан 8а оқушысы

Мақсаты: Натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін зерттеп, қарастыру.

Мазмұны

1. Кіріспе

2.Зерттеу бөлімі

3. Сандардың бөлінгіштік белгісі

4. Натурал санның 11-ге бөлінгіштік белгісі

5.Қорытынды

6.Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Натурал сандардың 2,3 және 5 сандарына бөлінгіштік белгілері ерте кезден белгілі болған. 2-ге бөлінгіштік белгісін ерте египеттіктер б.з.д. екі мың жыл бұрын білген, ал 9-ға бөлінгіштік белгісін б.э.д. үшжүзінші жылдары гректер білген. Алғаш рет 2,3 және 5 сандарына бөлінгіштік белгісін Италия математигі Леонардо Фибоначчи толық талқылап,жазып кеткен. Атақты француз математигі және физигі Блез Паскаль жас кезінде бөлінгіштік белгісінің жалпы түрін қорытып шыққан. Біз натурал сандардың 2, 3, 9 және 5,10 сандарына бөлінгіштік белгілерін қарастырған кезде натурал сандардың басқа бөлінгіштік белгілері бар ма екен? -деген сұрақ туындады. Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық есептеу жұмыстары мен модельдеу, талдау әдісі тәрізді жалпы ғылыми әдістер қолданылды. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеу бөлімінде баяндалады.

Зерттеу бөлімі

Сандардың бөлінгіштік белгісі

Екі натурал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісін әрқашанда натурал сандар, бұл жағдайды кейде қосу, азайту, көбейту амалдарына қатысты натурал сандар жиынының «тұйықтығы» деп атау қабылданған. Бөлу амалын қарастырсақ. Бүтін сандарды бір-біріне бөлу, әрқашанда бүтін сан болмайды, яғни сандардың тұйық жиыны болмайды.Сондықтан сандарды бөлуге қатысты жағдайларды қарастырғанда,екі санның бөлінгіштігі туралы сұрақ туындайды.Енді біз жұмыста «сан» деген сөзді «бүтін сан» ұғымы ретінде қабылдап отырамыз. Бізге белгілі бүтін теріс емес сандарды натурал сандар деп айтқанда барлық натурал сандар жиынын айтамыз.

Анықтама Егер a=b·c теңдігі орындалатын a саны

табылатын болса, онда a саны b санына бөлінеді деп айтамыз.

Бұл жағдай a санының b санына бөлінгіштігі деп аталып,

былай белгіленеді: a:b

2-ге бөлінгіштік белгісі.

Егер сан жұп цифрымен аяқталса, сол сан 2-ге бөлінеді

3-ке бөлінгіштік белгісі.

Цифрларының қосындысы 3-ке тең натурал сандар 3-ке бөлінеді.

5-ке бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген сан 2-ге және 3-ке бөлінсе, онда берілген сан да 6-ға бөлінеді.

6-ға бөлінгіштік белгісі.

Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын натурал сандар 5-ке бөлінеді.

4-ке бөлінгіштік белгісі.

Егер санның соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінсе, онда берілген сан да 4-ке бөлінеді.

7-ге бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 7- ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 –ге бөлінеді.

8 –ге бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 –ге бөлінсе, берілген сан да 8 –ге бөлінеді.

9- ға бөлінгіштік белгісі.

Цифрларының қосындысы 9-ға тең натурал сандар 9-ға бөлінеді.

10-ға бөлінгіштік белгісі.

Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын натурал сандар 10-ға бөлінеді.

11-ге бөлінгіштік белгісі.

Санның 11-ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай екі –екіден топтаймыз да қосындысын табамыз. Сонда берілген сан 11- ге бөлінсе, берілген санда 11-ге бөлінеді.

13- ке бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 13- ке бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.

19- ға бөлінгіштік белгісі.

Сан 19- ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19- ға бөлінуі керек.

25 – ке бөлінгіштік белгісі.

Сан 25- ке бөліну үшін, ол 00, 25, 50, 75, т.с.с. сандардың бірімен аяқталуы керек.

0 онда а≥в. 2) Егер а в және в а, онда а=в. 3) Егер а в және в с, онда а с. 4) Егер а с және в с, онда кез келген m және n натурал сандар үшін (ma+nв) c, егер ma nв болса, онда (ma-nв) c. 5) Егер а в және k≠0, онда ak вk.

33-ке , 99-ға бөлінгіштік белгісі.

Сан 33-ке, 99-ға бөліну үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан қосындысы 33-ке, 99-ға бөлінуі керек.

101-ге бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде екі –екіден бөлінген цифрларының тақ орындағылардың қосындысы мен жұп орындағылардың қосындысын бірінен –бірін ажыратқанда айырма не 0-ге, не 101 –ге тең болса ол сан 101 –ге бөлінеді.

Анықтама.

а натурал саны в натурал санына бөлінеді, егер а=b*c теңдігі орындалатындай с натурал саны табылса.

Сандар бөлінгіштігінің қасиеттері:

• 1) Егер а в және а0 онда а≥в.

• 2) Егер а в және в а, онда а=в.

• 3) Егер а в және в с, онда а с.

• 4) Егер а с және в с, онда кез келген m және n натурал сандар үшін (ma+nв) c, егер ma nв болса,

онда (ma-nв) c.

• 5) Егер а в және k≠0, онда ak вk.

• 6) Егер ak вk және k≠0, онда а в.

М ы с а л ы

1-мысал: 1 43 94 73 санын қарастырайық

1·2=2 2+43=45 45:7=6(3қ) 3·2=6 6+94=100 100:7=14(2) 2·2=4 73+4=77 77:7=11

Бұл белгі мына теңдеуге негізделген10+1=7 · 11 · 13

2-мысал: 46 14 61 саны 7-ге бөлінеді,себебі:

46:7=6(4) 4·2=8 8+14=22 22:7=3(1) 1·2=2 61+2=63 63:7=9

3-мысал: 62 98 33 саны 7-ге бөлінбейді, себебі:

62:7=8(6) 6·2=12 12+98=110 110:7=14(12) 12·2=24 33+24=57 57:7=8(1)

Қорытынды: Жұмысты орындау барысында натурал сандардың қарапайым бөлінгіштік белгілерін қарастырудан бастадық. Натурал сандардың7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілерін натурал сандарды жай көбейткіштерге жіктеуге және ең кіші ортақ еселігін, ең үлкен ортақ бөлгішін табуға қолдануды қарастырдық.Сандарды көбейткіштерге жіктеу үшін олардың бөлінгіштік белгілерін біліп, дұрыс қолдану керек. Бұл жұмысты орындау барысында жай сандарды қарастырдық. Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық есептеу жұмыстары, модельдеу, талдау сияқты жалпы ғылыми әдістер қолдандым. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеуде қолданылды.Осы ғылыми жұмысты сандардың бөлінгіштік белгілерін бүтін сандар үшін қолдануды жалғастыруды көздеп отырмын. Натурал сандар бөлінгіштігі» тақырыбы математикада есептеу жұмысын жеңілдетуге, бөлінгіштік белгілерінің көмегімен сандар сырына үңілуге, дәлелдеуге берілген есептерді шығаруға көмектеседі. Сандар бөлінгіштігі натурал сандармен шектелмейді.Сондықтан, болашақта «Сандар бөлінгіштігі» тақырыбы әлі де зерттеліп, толықтырылады.

Әр баланың мақсаты – өзінің білім деңгейін көтеру, сабаққа деген қызығушылығын арттыру, іздену.

Осы мақсатты іске асыру барысындағы міндетім сол тақырыпты игерумен қатар, кең ауқым-ды есептерді шешуді зерттеу,ойлау қабілетімді машықтыру.

Ойлау – шығармашылық, ойлау – еңбек. Бұны іске асырудың бір жолы қызықтыратын тапсырмалар таңдай білу. Ойлау барысында менің дербес жұмыс істеу мүмкіндігім, көңіл қоя білу қабілетім дамыды. Математиканың сан алуан сырын, сандар әлемінің қызық құбылысын, ойлау элементтерімен өрнектеген зертеу жұмысы қызықты, әрі ұтымды. Зерттеу барысында жүргізілетін жұмыстар қарапайымнан басталып, біртіндеп қиындап, танымдық қызметін белсендіруге назар аударылады. Зерттеу жұмыстарын жүргізу барысы менің зор ынтамды тудырды, білгенімді тереңдетіп, жаңа іс-қимылға жетеледі.Сонымен, кейбір бүтін сандарының бөлінгіштігі, натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселігін жай көбейткішке жіктеу арқылы табуға болатындығы қарастырылды.