ОПЕРАЦИЯЛЫҚ ӘДІСТЕРДІҢ КӨМЕГІМЕН БАСТАПҚЫ ШАРТТАРЫ БАР ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ

Абулхаир Ә.Ж., М.Х.Дулати атындағы Тараз университеті, «Жаратылыстану ғылымдары» факультетінің «Математика мұғалімдерін даярлау» мамандығының 4 курс студенті,

Тараз қ., abulkhairovaasel@mail.ru

Чанбаева А.И., М.Х.Дулати атындағы Тараз университеті, PhD доктор, Тараз қ., ai.chanbayeva@dulaty.kz

Аннотаця:бұл мақалада дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолданылатын операциялық есептеулер әдісі ұғымына жалпы сипаттама беріліп, бастапқы шарттары бар теңдеулерді операциялық есептеулер әдісін тиімді қолдану мысалдар арқылы көрсетіледі.

Кілтті сөздер:функция, дифференциалдық теңдеу, Лаплас түрлендіруі, тепе-тең түрлендіру.

Математика мен қолданбалы ғылымдарда дифференциалдық теңдеулер – физикалық, техникалық және экономикалық процестерді сипаттаудың негізгі тәсілдерінің бірі. Әсіресе, бастапқы шарттары бар дифференциалдық теңдеулер нақты жүйенің уақыт бойынша өзгерісін сипаттайтындықтан, оларды шешу маңызды әрі күрделі мәселе болып табылады. Мұндай есептерді шешудің түрлі әдістері бар, соның ішінде операциялық әдістер – ең тиімділерінің бірі. Бұл эсседе операциялық әдістердің мәні, Лаплас түрлендіруінің рөлі, бастапқы шарттардың әсері, артықшылықтары мен шектеулері тереңірек қарастырылады.

Операциялық әдіс – дифференциалдық теңдеулерді шешудің аналитикалық әдісі. Бұл тәсілдің негізінде функциялар мен олардың туындыларын белгілі бір операциялар көмегімен түрлендіру жатыр. Ең көп қолданылатын операциялық әдіс – Лаплас түрлендіруі. Бұл әдіс арқылы дифференциалдық теңдеуді алгебралық теңдеуге айналдыруға болады, ол өз кезегінде әлдеқайда қарапайым түрде шешіледі.

Операциялық әдістің маңыздылығы – оның дифференциалдық теңдеулерді тікелей шешуге емес, оларды басқа кеңістікке (мысалы, s-жазықтығына) түрлендіріп, сол кеңістікте жеңіл шешуге мүмкіндік беруінде. Теңдеу шешілгеннен кейін алынған өрнекке кері Лаплас түрлендіруі қолданылып, бастапқы айнымалы кеңістігіне қайта оралады. Осылайша, есептің нақты шешімі алынады.

Лаплас түрлендіруі – нақты функцияны комплекс жазықтықтағы бейнесіне айналдыратын интегралдық түрлендіру. Ол мынадай формуламен анықталады:

(1.1)

Мұндағы уақыт бойынша анықталған функция, комплекс айнымалы. Лаплас түрлендіруі туындыны түрлендіргенде, оны алгебралық өрнекке айналдырады:

(1.2)

(1.3)

Бұл формулалардан көрініп тұрғандай, бастапқы шарттар және түрлендіруден кейінгі өрнекте нақты орын алады. Осы ерекшелігі арқылы Лаплас түрлендіруі бастапқы шарттарды есепке алуға өте қолайлы.

Бастапқы шарттар – дифференциалдық теңдеулерді нақты шешуге қажет бастапқы мәндер. Мысалы, егер жүйе уақыт нөлінде қандай күйде болғанын білсек, оның кейінгі уақыттағы күйін болжауға мүмкіндік туады. Бастапқы шарттар:

(1.4)

Лаплас түрлендіруі кезінде бұл шарттар теңдеуге автоматты түрде енгізіледі. Лаплас түрлендіруі дифференциалдық теңдеуді түрлендіріп қана қоймай, бастапқы шарттарды да оның құрамына енгізеді, бұл шешімнің нақтылығына әсер етеді.

Операциялық әдістердің артықшылықтары айтарлықтай:

1. Жүйелілік пен қарапайымдылық: Дифференциалдық теңдеуді алгебралық теңдеуге түрлендіріп, стандартты әдістермен шешуге мүмкіндік береді.

2. Бастапқы шарттарды есепке алу: Бастапқы шарттар түрлендіру кезінде ескеріліп, шешім нақты болады.

3. Күрделі функциялармен жұмыс істеу: Экспоненциалдық, синусоидалық, тіпті импульстік функциялармен де оңай жұмыс істеуге болады.

4. Қолдану аясының кеңдігі: Электротехника, механика, жылу және масса алмасу, автоматты басқару жүйелері сияқты көптеген салаларда пайдаланылады.

Мысал – 1:

Төмендегі бастапқы шарттары бар дифференциалдық теңдеуді операциялық әдіспен шешіңіз:

Шешуі: Барлық мүшелерге Лаплас түрлендіруін қолданамыз:

Лаплас түрлендіруінің формулалары бойынша:

Берілген бастапқы шарттарды орнына қоямыз:

Алынған барлық өрнектерді теңдеуге қойып шығамыз:

Енді теңдеуді ықшамдап жазсақ:

Теңдеуді Y(s) – ке қатысты топтасақ:

Енді Y(s)-ті табатын болсақ:

Енді шыққан бөлімін көбейткіштерге жіктеп аламыз:

Алынған бөлшекті анықталмаған коэффициенттер әдісіне салып, қарапайым бөлшектерге жіктеп, бөлшекті ортақ бөлімге келтіреміз:

Теңдеудің алымдарын теңестіріп, А мен В – ны табамыз:

Сонымен,

Ендігі кезекте кері Лаплас түрлендіруін қолданамыз. Сонда:

Сондықтан:

Жауабы:

Мысал – 2 : теңдеуін Лаплас түрлендіруін қолдану арқылы шығару керек.

Шешуі: Лаплас түрлендіруінде компекс айнымалы:

Теңдеуге келесі түрлендірулерді қолданамыз:

Бастапқы шартты қойып, теңдеуді жинақтаймыз:

Осы ықшамдалған теңдеуден табамыз:

Алынған өрнекті ортақ бөлімге келтіріп, ықшамдап жазамыз. Сонда:

Енді төмендегі көпмүшенің комплекс түбірлерін табайық:

Келесі кезекте кері Лаплас түрлендіруі:

Мұнда: ;

Лаплас түрлендіруіндегі шешімді арқылы жазуға болады. Негізгі түрі:

Комлекстік түбірлер арқылы жазатын болсақ:

Сонда нақты шешім:

Жауабы:

Операциялық әдістер – дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолданылатын қуатты әрі тиімді тәсілдердің бірі. Әсіресе, бастапқы шарттары берілген теңдеулермен жұмыс істегенде бұл әдістің артықшылығы айқын көрінеді. Операциялық әдіс, ең алдымен, есептің уақыт кеңістігіндегі қиын құрылымын алгебралық түрде жазып, оны Лаплас түрлендіруі арқылы жиілік кеңістігіне көшіруге мүмкіндік береді. Бұл тәсіл теңдеуді кәдімгі алгебралық теңдеуге айналдырып, оны шешуді айтарлықтай жеңілдетеді.

Операциялық әдістердің басты ерекшелігі – дифференциалдық теңдеулерді қарапайым көбейту, бөлу және түрлендіру сияқты алгебралық амалдарға айналдыруы. Бұл, әсіресе, физика, инженерия, радиоэлектроника, басқару теориясы және басқа да қолданбалы ғылымдарда жиі кездесетін теңдеулер үшін аса тиімді. Мысалы, электр тізбегіндегі кернеу мен токты сипаттайтын теңдеулерді шешу үшін осы әдіс кеңінен қолданылады. Мұндай теңдеулерде жиі кездестін бастапқы шарттар – уақыттың нөл мезетіндегі жүйенің күйі – есепте шешуші рөл атқарады. Операциялық әдіс бұл шарттарды тікелей есепке алып, жүйенің толық динамикасын сипаттайтын шешімді табуға көмектеседі.

Бастапқы шарттары бар теңдеулерді операциялық әдіспен шешкенде, алдымен берілген теңдеуге Лаплас түрлендіруі қолданылады. Осылайша уақыт функциясы жиілік аймағына өтеді, ал бастапқы шарттар түрлендіру кезінде айнымалылармен бірге енгізіледі. Осыдан кейін алынған алгебралық өрнекті қарапайым тәсілмен түрлендіріп, жүйенің жиілік кеңістігіндегі жауап функциясы табылады. Соңғы қадам – бұл жиіліктегі шешімді қайта уақыт аймағына көшіру, яғни кері Лаплас түрлендіруін қолдану. Нәтижесінде, жүйенің уақыт бойынша нақты жүрісі, яғни шешімі табылады.

Бұл әдісті қолданудың тағы бір артықшылығы – оның универсалдығы. Операциялық әдістер тек бірінші немесе екінші ретті ғана емес, кез келген ретті дифференциалдық теңдеулерге де қолданылады. Сонымен қатар, ол гомогенді және гомогенді емес теңдеулерге, яғни оң жағында нөл емес функциясы бар теңдеулерге де жарамды. Бұл әдіс арқылы екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің күрделі формалары, әсіресе, комплекс түбірлері бар сипаттағы теңдеулер де оңай шешіледі. Мысалы, тербелмелі жүйелер, яғни механикалық тербелістер немесе электрлік резонанстық тізбектерді сипаттайтын теңдеулерде бұл әдіс нақты және тиімді нәтиже береді.

Теориядан тыс нақты есепке жүгінсек, операциялық әдіс арқылы шешілген күрделі теңдеулер нақты өмірде жиі кездеседі. Мәселен, жиілігі өзгеретін сыртқы күштің әсерінен қозғалған тербелмелі жүйенің математикалық моделін алып қарасақ, ол екінші ретті дифференциалдық теңдеумен сипатталады. Егер жүйенің бастапқы күйі, яғни бастапқы жылдамдығы мен орны белгілі болса, операциялық әдіс арқылы оның болашақтағы қозғалысын оңай болжауға болады. Бұл әсіресе, ұшақ қанатының тербелісі, көпірдің дірілі немесе электр тізбектеріндегі ток өзгерісі секілді инженерлік процестерде өте маңызды.

Тағы бір мысал ретінде, операциялық әдісті күрделі экспоненциал функциялармен берілген теңдеулерді шешуге қолдануға болады. Мұндай теңдеулерде жиі кездесетін мүше – уақыт бойынша экспоненциалды азаятын немесе көбейетін функциялар. Бұл функциялар жүйенің өшетін немесе қозатын сипаттарын көрсетеді. Операциялық әдіс бұл функцияларды жиілік кеңістігінде қарапайым бөлшектерге айналдырады, содан кейін шешімді табу әлдеқайда оңайға түседі. Ал уақыт кеңістігіне қайта өткенде, алынған жауап жүйенің физикалық қасиеттерін толық сипаттап береді.

Әрине, операциялық әдістерді меңгеру үшін белгілі бір математикалық дайындық қажет. Бірақ оларды нақты үлгілер арқылы меңгеру өте тиімді, әрі студенттер үшін де қызықты. Формулаларға сүйенбей-ақ айтқанда, бұл әдіс жүйені тыңдап көру секілді – жүйеге қандай бастапқы мәлімет берілсе, ол соған қалай жауап қайтаратынын нақты көрсетеді. Бұл оның интуитивті түсініктілігін де арттырады.

Қорытындылай келе, операциялық әдістер – дифференциалдық теңдеулерді шешудің күшті әрі жан-жақты тәсілі. Олар күрделі есептерді жүйелі және құрылымды түрде шешуге мүмкіндік береді. Әсіресе, бастапқы шарттары бар теңдеулерде олардың қолданылуы айтарлықтай тиімді әрі уақыт үнемдейді. Заманауи ғылым мен техниканың түрлі салаларында бұл әдістің кеңінен қолданылуы оның маңыздылығы мен қажеттілігін тағы бір мәрте дәлелдейді.