ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ НА ОКРУЖНОСТИ

ДОВЛЕТОВА Куралай Довлетовна,

Педагог-стажер.

Мангистауская область, город Жанаузен

Для начала необходимо ввести представление о модели, определённой на окружности O, который будет служить основой для дальнейшего исследования. В рамках данной модели рассматриваются объекты, являющиеся комбинаторными представлениями ориентированного окружности. Это позволяет исследовать различные топологические и геометрические особенности, возникающие при наложении на круг структур, подчиняющихся определённым взаимодействиям и симметриям.

рис.1. Окружность

Для более детального понимания этих конструкций начнём с визуализации круга O, который будет служить отправной точкой для дальнейшего анализа. На этом окружности рассматриваются различные элементы, которые в сочетании с соответствующими математическими операциями могут быть использованы для построения моделей, отражающих взаимодействие между комбинаторными структурами.

Модель, построенная на окружности O, включает в себя такие аспекты, как топологические свойства множества точек, аналитические характеристики функций, определённых на O, а также комбинаторные конструкции, связанные с симметриями и ориентацией окружности. Эти элементы играют ключевую роль в анализе когомологии и позволяют раскрыть более глубокие аспекты исследуемой структуры.

На круге произвольно выберем последовательность различных точек { . Центр обозначим через :

рис.2. Окружность с отмеченными точками

Точки { являются точками разбиения. А интервалы ( на окружности будем называть дугами.

Далее окружность O разбивается на непересекающиеся интервалы, что представляет собой фундаментальный процесс, позволяющий выделить определённые подмножества, каждое из которых обладает собственными топологическими и геометрическими свойствами. , и последовательность точек { . Эта дискретизация приводит к образованию множества интервалов, которые, будучи изолированными друг от друга, обеспечивают более детализированное понимание структуры пространства. Разбиение на такие интервалы служит основой для последующего построения математических моделей, позволяя исследовать взаимодействие между отдельными элементами пространства и выявлять закономерности, которые могут оставаться скрытыми при рассмотрении непрерывной структуры. Каждый из этих интервалов может быть рассмотрен как самостоятельная единица, в которой выполняются специфические операционные или комбинаторные процедуры, что делает процесс разбиения не только полезным, но и необходимым для дальнейшего анализа.

рис.3. Круг с отмеченными дугами

Дуги будем обозначать через ​, то есть — это конечные точки дуги, с которыми связано некоторое представление или решение в рамках задачи.

бозначим через последовательность точек разбиения множества { , которая представляет собой ряд точек, используемых для разбиения некоторой области или дуги на более мелкие отрезки.

Линейное пространство состоит из всех возможных линейных комбинаций элементов последовательности . Это пространство играет важную роль в теории аппроксимаций, так как оно включает в себя все функции, которые могут быть представлены в виде линейных комбинаций точек из множества разбиений.

Таким образом, при рассмотрении этих понятий важно учитывать их связь с дискретизацией области, а также с возможностью аппроксимации функций в этих дискретных точках с помощью линейных комбинаций, что лежит в основе ряда численных методов.

Пусть комплексная функция над O:

O (1)

где точка идентифицирующая собственной координатой. В пространстве функция имеет следующее свойство:

Затем определим скалярное произведение чтобы превратить его в конечномерного гильбертово, пространство Н:

Тогда совокупность функций { ?∈O, будет ортонормированным базисом гильбертово пространства

И элемент запишем следующим образом:

Мы ввели специальный множитель , в формулу скалярного произведения (2), но из-за этого многие другие формулы становятся менее удобными. Например, приходится отличать значение функции в какой-то точке от её коэффициента в разложении по базису. Тем не менее, такая "нормировка" всё же важна — она помогает интуитивно связать дискретные объекты (например, конечные наборы чисел) с непрерывными функциями. Благодаря этой нормировке можно видеть, что при переходе к бесконечному числу элементов (то есть когда число элементов стремится к бесконечности), скалярное произведение превращается в интеграл, а элемент базиса (обозначенный как ) превращается в дельта-функцию (которая уже не принадлежит обычному пространству функций, с которым мы работали).

Разложение (4) при этом теряет свой буквальный смысл, но даже в дискретном виде оно остаётся полезным для понимания.

Введем оператор умножения K в гильбертово пространство , где будет собственным элементом оператора K, который соответствует собственному значению некоторое комплексное число

K: K

До этого момента мы не использовали специальную структуру, которая предполагает расположение точек на одинаковом расстоянии друг от друга в пространстве O. Формально эта структура сводится к операции сдвига на одном шаге в O

точка сдвига. Теперь задаем функцию которое порождается по операцию сдвига:

(5)

Если будем действовать на формулу (5) оператором сдвига то получим равенство:

Основная тема, которую мы рассматриваем в этой модели, связана с использованием базиса ?, который состоит из собственных векторов оператора

Утверждение-1. Функции образуют ортонормированный базис гильбертово пространства и являются собственными функциями оператора

Для доказательства возьмем следующие равенства

Затем по свойствам геометрической прогрессии, при имеем:

Исходя их этого, функции нормированы, попарно ортогональны и их число совпадает с размерностью пространства.

(если они совпадают)

все 1 формы

их всевозможные дифференциалы

Если имеются 1 формы которые не является дифференциалами некоторых функции, то .

число Бэтти (чем больше )

Рис.4.Образ и форма

набор является классом смежности, порожденной формой

рис.5.Различные формы

в и в количество элементов одинаковые, то есть столько же сколько в .

линенйое пространство.

{набор смежных классов}

Нарисуем смежный класс порожденной функцией

Рис.6.График функции

Рис.7.Смежные классы

вычисление скачков,

пространство интегрируемых функций.

AB=0 



.

Сколько всевозможных классов ?

вопрос: или

Какими должны быть и , чтобы

Ответ: Допустим такая что, .

Тогда . Поэтому

Следовательно . Верно тогда когда на независимы.

Теперь проверим равенство на .

1-шаг: на ;

на ;

на ;

на

шаг: на пересечении карт условия должны совпадать между и

Рис.8. Каста

Допустим что дано , тогда находим .

при находится .

некоторая константа. Отсюда справедлива отображение , которое образует линейное пространство . Теперь обозначим функции , . Эти коциклы C для которых справедлива отображение называются кограницами. Кограницы образуют подпространство пространства , которое помогает нам определить фактор-пространство . Элементы фактор-пространство называются классами когомологии. А коциклы являются когомологичными и принадлежат .