Основные элементы комбинаторики

Тақырыбы: Основные элементы комбинаторики

Сабақтың түрі:

Сабақ мақсаты:

Цели урока:

1. Образовательные:

• знакомство с новым разделом математики «Комбинаторика», с ее историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;

• формирование умений проводить исследования по данной теме;

• закрепление умений решения заданий по теме «Комбинаторика».

2. Развивающие:

• развитие аналитических способностей, логического мышления;

• развитие индивидуальных способностей студента, при создании комфортной психологической обстановки для каждого студента.

3. Воспитывающая: формирование активности студента, умение работать в группе.

Задачи:

• сформировать знания об элементах комбинаторики;

• закрепить пройденный материал;

• сформировать у студентов понятия необходимости применения знаний по данной теме в будущей профессии.

Тип урока: сообщение нового материала.

Методы и приемы работы: сообщение нового материала, самостоятельная работа обучающихся, беседа

Пәнаралық байланыс:

Межпредметные связи: физика

Көрнекі құралдар,жабдықтар,үлестірмелі қағаздар:

Нагладные пособия,оборудование,раздочный материал: учебники

САБАҚ БАРЫСЫ / ХОД УРОКА

Ұйымдастыру кезеңі:

Организационная часть: 5 минут

Өткен тақырыпты қайталау:\

№ п/п	Ответ	№ п/п	Ответ
1.	1	18.	1
2.	3	19.	4
3.	4	20.	1
4.	2	21.	2
5.	3	22.	4
6.	2	23.	3
7.	3	24.	1
8.	1	25.	1
9.	1	26.	2
10.	4	27.	3
11.	4	28.	4
12.	1	29.	3
13	2	30.	1
14.	4
15.	1
1-2вар.	4
17.	3

ЖОСПАР/ ПЛАН

Жаңа тақырыпты оқыту:

Изучение нового матертале. сновная часть

Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам из уроков информатики понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите формулу.

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном случае может принимать n?

Введение общих понятий

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называютсякомбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, -комбинаторикой. Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Преподаватель дает студентам под запись тексты двух задач:

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: n=3 – общее количество элементов и m=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

Размещения

Определение. Размещением из n элементов по m называют любое упорядоченноеm-элементное подмножество n-элементного множества.

Число размещений из n элементов по m обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая n=8, m=3:

Перестановки

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из nэлементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается   и вычисляется по формуле:

Сочетания

Определение. Сочетанием из n элементов по m называют любое m-элементное подмножество n-элементного множества.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают   (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая n=8, m=3:

Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй.

Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач.

Нығайту:4. Закрепление нового материала Пример. 

Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будетm=nk=63=216m=nk=63=216. Если цифры не повторяются, то m=A36=6⋅5⋅4=120m=A63=6⋅5⋅4=120.

Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: A310=10⋅9⋅8=720A103=10⋅9⋅8=720.

Перестановки

Частный случай размещения при n=kn=k называется перестановкой из nn элементов. Число всех перестановок из nn элементов равно Ann=Pn=n!Ann=Pn=n!.

Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет P28P28. А три книги можно переставлять между собой P3P3 способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: N=P3⋅P28=3!⋅28!N=P3⋅P28=3!⋅28!.

Сочетания

Пусть теперь из множества ХХ выбирается неупорядоченное подмножество YY (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из nn элементов по kk называются подмножества из kk элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из nn по kk обозначается CknCnk и равно

Ckn=Aknk!=n!(n−k)!⋅k!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)k!.Cnk=Ankk!=n!(n−k)!⋅k!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)k!.

Справедливы равенства:

C0n=1,Cnn=1,Ckn=Cn−kn.Cn0=1,Cnn=1,Cnk=Cnn−k.

Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний:

C327=27!24!⋅3!=27⋅26⋅251⋅2⋅3=2925.

Бағалау

Выставления оценок

Үй тапсырмасы:

Домашнее задание: №323

Өздік жұмысы: №321, № 322

Самостоятельная работа:

Предподаватель: __________________А манжол А.