Основные элементы комбинаторики. Бином Ньютона

Основные элементы комбинаторики. Бином Ньютона.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это позволяет исследовать  закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания  статистических  закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

1. Перестановки из n элементов и их число

Пусть имеется n различных элементов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число элементов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно:

6

Символ  n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до  n . По определению, считают, что 0! =1, 1!=1.

Например:

Задача. Сколько трехзначных чисел можно написать цифрами 3;5;7? Какие это числа?

Решение: =6. Это 357; 375;537;573;735;753

2. Размещения из n элементов по m элементов и их число.

Пусть имеется n различных элементов. Будем выбирать из них m элементов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных элементов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n элементов по m , а их число равно:

без повторений

Пример 1: В группе 20 студентов. Необходимо рассадить их по два. Сколько способов существует?

Решение:

Пример 2. Вычислить:

III. Сочетания из n элементов по m и их число.

Пусть имеется n различных элементов. Будем выбирать из них m элементов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных элементов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n элементов по m , а их число равно:

Пример. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Пример. Решите уравнение =

5

умножим обе части на 4

или