Раздел

10.4А Применение производной

ФИО педагога

Гладченко Сауле Кульмурзаевна

Дата

4 четверть

Класс 

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока (2 урок из серии 3 последовательных уроков)

Прикладные задачи, связанные с нахождением наибольшего (наименьшего) значения функции.

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

10.4.3.3 - решать прикладные задачи, связанные с нахождением наибольшего (наименьшего) значения функции;

Цель урока

Решает прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Ход урока

Этап урока/ Время

Действия педагога

Действия ученика

Оценивание

Ресурсы

1

2

3

4

5

Начало урока.

Постановка цели урока

(3 мин)

Организационный момент. При входе выбрали фигуры, найдите свои цвета. Образовались 3 группы: синие, зелёные и красные. Приветствует учеников. Настрой на урок.

Предлагает ответить на вопросы ученикам:

«Представьте, что вы планируете поездку и хотите выбрать кратчайший маршрут. Как вы будете решать, какой маршрут выбрать?»

- «Вы строите дом и хотите найти наилучший вариант использования материалов, чтобы снизить расходы. Как бы вы решили, сколько материалов использовать, чтобы не потратить слишком много денег, но при этом не уменьшить качество?»

- «Если вы работаете в компании, и ваша задача — максимизировать прибыль, как бы вы определяли, сколько товара производить, чтобы заработать как можно больше?»

Уточняет ответы учащихся:

- «Что общего у этих ситуаций? Что нам нужно найти в каждой из них?»

- «Как мы можем решить такие задачи? Какие математические инструменты нам могут помочь?»

Подводит к формулировке цели урока через вопросы:

«Когда мы ищем кратчайший путь, мы ищем минимальное значение. Когда стремимся максимизировать прибыль, мы ищем наибольшее значение. А что же насчет задач, где нужно найти наименьший или наибольший результат? Как называется эта математическая задача?»

- «Как называется процесс, когда мы находим наибольшее или наименьшее значение функции?»

-Какую цель поставим на наш урок?

Выбирают фигуру и объединяются по цвету в группы.

Приветствуют учителя,

Приветствуют друг друга.

Отвечают на вопросы

-научиться решать прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Наблюдение учителя

Похвала учителя

Ученики, сформулировавшие цель урока и ожидаемый конечный результат урока, получают стикер – улыбающийся смайлик

Геометрические фигуры разных цветов

Карточки с вопросами

Набор стикеров -улыбающиеся смайлики

Создание коллаборативной среды. 2 мин

Мозговой штурм»

Цель: создать атмосферу сотрудничества и вовлечь всех учеников в обсуждение общей темы, в данном случае — задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Каждой группе дается 1 минута для того, чтобы обсудить и записать один реальный пример задачи, где нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции. Например, задачи из сферы экономики, строительства, экологии и т. п.

- После этого каждая группа делится своим примером с классом в течение 30 секунд.

Похвала учителя

Слово учителя

Поддержка учащегося с ООП

Учащийся вместе с остальными учащимися в группе участвует в обсуждении.

Похвала учителя

Слово учителя

Актуализация полученных ранее знаний

(3 мин)

Найдите соответствие

Условие:
Рассмотрите картинки и текстовые описания. Соедините каждую ситуацию с соответствующей математической моделью, которая позволяет найти наибольшее или наименьшее значение функции.

Ситуации:

1. Фермер хочет построить загон максимальной площади, используя 100 м забора
2.Инженер рассчитывает радиус трубы, чтобы минимизировать расход материала
3.Бизнесмен хочет определить цену на товар, при которой прибыль будет максимальной
4.Архитектор проектирует окна, чтобы через них проходило максимальное количество света

Ученики получают карточки. Находят соответствие.

1.Соединяет 2 соответствия верно (1 балл).
2.Соединяет 3 соответствия верно (2 балла).
3.Соединяет все 4 соответствия верно (3 балла

.

Самопроверка по слайду

Приложение 1

Слайды презентации

Набор стикеров -улыбающиеся смайлики.

Поддержка учащегося с ООП

Карточка помощник.

Карточка на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Приложение 2.

Середина урока

18 мин

Работа по закреплению материала.

Задача 1. На рисунке изображен открытый прямоугольный бак с высотой hметров. Основание бака со сторонами 2х метра и 3х метра расположено горизонтально. Бак может вмещать воду объемом 900 м³, а площадь внутренней поверхности бака Sм².

При каком значении х площадь полной поверхности бака будет минимальной.

Решение:

Дано, что м³. Выразим объем и приравним его м³, .

Теперь, выразим площадь полной поверхности бака в виде функции от переменной х:

.

Теперь, найдем максимальную площадь с помощью производной.

; ;

Для того, чтобы определить значение максимальной или минимальной, найдем вторую производную.

, поэтому при площадь поверхности S будет минимальным.

м².

Ответ: м².

Работа в группах. Метод «Остановка»

Задача 1

Фермер хочет огородить участок площадью 100 м² прямоугольной формы. Какие размеры прямоугольника дадут минимальный периметр?

Задача2.

Из квадратного листа картона размером 50 см × 50 см хотят сделать открытую коробку, отрезав одинаковые квадраты по углам и загнув края. Какой размер вырезов даст наибольший объем?

Задача 3.

Компания хочет построить прямоугольный загон для животных площадью 200 м², используя один из заборов фермы в качестве одной из сторон. Для остальных сторон нужен забор. Какой длины должны быть стороны загона, чтобы затраты на забор были минимальными?

Совместно с учителем решают у доски и в группах.

Выполняют в группе.

Дескрипторы:

 Выражает периметр через одну переменную (1 балл).

 Находит производную и критические точки (1 балл).

 Определяет оптимальные размеры (1 балл).

Дескрипторы:

 Выражает объем коробки через размер вырезанных квадратов (1 балл).

 Находит производную и критические точки (1 балл).

 Определяет оптимальный размер вырезов (1 балл).

Дескрипторы:

Выражает длину забора через переменную (1 балл).

Составляет функцию затрат и находит её производную (1 балл).

Определяет оптимальные размеры загона (1 балл).

Наблюдение учителя, при необходимости оказывает помощь в решении задачи.

Наблюдение учителя

При необходимости оказывает помощь учащимся.

Взаимооценивание работ групп.

Читательская грамотность

Анализ информации в задании – 1 смайлик;

Математическая грамотность

Перевести информацию в математическую модель– 1 смайлик;

Креативное мышление

Нестандартное решение задачи – 1 смайлик.

Приложение3

Приложение 4

Поддержка учащегося с ООП.

Ученик получает карточку с заданием

Дана квадратичная функция:

y =

Если ученик затрудняется с построением, можно предложить использовать графический калькулятор или программу типа GeoGebra для построения графика.

Выполняет шаги по выполнению задания:

. Шаг 1: Нарисуйте график функции.

2. Шаг 2: Определите, где на графике находится наибольшее (или наименьшее) значение функции.

3. Шаг 3: Ответьте на следующие вопросы:

- Где на графике находится наибольшее значение функции?

- Где на графике находится наименьшее значение функции?

- Какая точка имеет наибольшее значение (или наименьшее)?

Дескрипторы:

1. Построение графика (2 балла):

- 2 балла График построен правильно, видно, где функция достигает максимума.

- 1 балл График построен частично, есть небольшие ошибки, но видно общее направление.

- 0 баллов График не построен или построен с большими ошибками.

2. Правильность определения максимума и минимума (2 балла):

- 2 балла Ученик правильно указал, где на графике находится наибольшее (или наименьшее) значение.

- 1 балл Ученик допустил незначительную ошибку в определении максимума или минимума.

- 0 баллов Ученик не понял, где на графике находится максимум или минимум.

3. Ответы на вопросы (2 балла):

2 балла

Все ответы правильные, ученик правильно указал, где находится наибольшее или наименьшее значение функции.

- 1 балл Ответ на один из вопросов частично правильный.

- 0 баллов Ответы на вопросы неверные или отсутствуют.

Итоговая оценка:

- 6 баллов Отлично, ученик полностью понял материал и правильно выполнил все шаги.

- 4-5 баллов Хорошо, ученик справился с задачей, но допустил небольшие ошибки.

- 2-3 балла Задание выполнено частично, ученик столкнулся с трудностями при решении.

- 0-1 балл Задание выполнено плохо или не выполнено.

Карточка

Физминутка: "Поиск наибольшего и наименьшего" (1 минута)

1. Потягивание вверх (10 секунд):

- Встаньте прямо, ноги на ширине плеч. Потянитесь руками вверх, как будто хотите достать до самой верхней полки. Потянитесь максимально вверх.

- Цель: Прочувствовать стремление достичь наибольшего — это как поиск максимума.

2. Наклоны в стороны (10 секунд):

- Встаньте прямо, ноги на ширине плеч. Поднимите одну руку вверх, другую вытяните в сторону, наклонитесь в одну сторону, а затем в другую.

- Цель: Ощутить, как мы можем "опуститься" вниз, чтобы найти наименьшее. Это как поиски минимального значения функции.

3. Круговые движения плечами (10 секунд):

- Встаньте прямо, сделайте 5 круговых движений плечами вперёд и 5 назад.

- Цель: Представьте, как функция может изменяться — иногда идти вверх, а иногда вниз. Как мы ищем точку, где она достигает максимума или минимума.

4. Приседания (10 секунд):

- Сделайте 5 плавных приседаний. Представьте, что каждый раз, когда вы приседаете, вы ищете самую низкую точку.

- Цель: Приседая, вы опускаетесь вниз, как функция, которая находит минимум.

5. Растяжка вверх (10 секунд):

- Встаньте, тянитесь вверх, как будто хотите достать что-то высокое, и задержитесь в этом положении.

Дети отвечают

движениями

Словесное поощрение.

Индивидуальная работа учащихся

9 мин

Учитель предлагает учащимся индивидуальную работу над заданиями в программе Onlinetestpad

Учащиеся выполняют задания

Каждое верно выполненное задание 1 б. Максимальный балл – 7б

Гаджеты (смарт-фоны), мобиль-ный интернет

https://onlinetestpad.com/ru/test/229526-zadachi-na-naibolshee-i-naimenshee-znachenie-funkcii

Поддержка учащегося с ООП.

Тест по теме: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

1. Найди значение функции y = -x^2 + 4x - 3 в точке x = 2:

a) y = 1

b) y = 3

c) y = 5

d) y = -1

2. Как называется график функции y = -x^2 + 4x - 3?

a) Прямая

b) Парабола

c) Круг

d) Линия

3. Где на графике функции y = -x^2 + 4x - 3 находится наибольшее значение?

a) В точке x = 0

b) В точке x = 2

c) В точке x = -1

d) В точке x = 4

4. Какую форму имеет график функции y = -x^2 + 4x - 3?

a) Парабола, направленная вверх

b) Парабола, направленная вниз

c) Прямая линия

d) Кривая

5. Чему равно наибольшее значение функции y = -x^2 + 4x - 3?

a) 0

b) 3

c) 5

d) -3

Ответы:

1. a) y = 1

2. b) Парабола

3. b) В точке x = 2

4. b) Парабола, направленная вниз

5. b) 3

Выполняет тест

Оценивание учащегося с ООП.

- 5 правильных ответов — Отлично, ученик хорошо усвоил материал.

- 4 правильных ответа — Хорошо, ученик понимает основные моменты, но есть мелкие недочеты.

- 3 правильных ответа — Хороший результат, но стоит повторить некоторые темы.

- Менее 3 правильных ответов — Нужно больше времени на практику и объяснение материала

Конец урока

Рефлексия Подведение обучающихся к самооценке деятельности на уроке.

3 мин

У каждого из вас на партах лежит лист самооценивания, который вы заполняли в течения урока. Подсчитав баллы и смайлики, поставьте каждый себе оценку за урок, ответы у доски, письменные и устные ответы.

Учащиеся подытоживают свои знания по изучаемой теме.

Учащиеся дают оценку собственной деятельности и взаимодействия с другими учащимися.

Словесная оценка «ты объективно оцениваешь свою работу».

Листы самооценивания.

Домашнее задание

1мин

Представьте, что вы работаете архитектором, и вам нужно спроектировать пространство для одного из следующих объектов:

- Дачный участок.

- Площадь магазина.

- Парковка для автомобилей.

- Площадь садового участка.

Задача: Для выбранного объекта (например, дачного участка) нужно оптимизировать его пространство таким образом, чтобы максимизировать или минимизировать использование площади, при этом удовлетворяя определенным условиям. Например, на дачном участке нужно решить, сколько удобнее всего посадить кустов или деревьев, чтобы они занимали наименьшее место, но при этом не ухудшали внешний вид.

1. Для дачного участка:

- Рассчитайте, сколько квадратных метров земли нужно для посадки определённого количества деревьев или кустов (функция зависит от количества растений).

- Определите, где на участке будет наибольшее количество свободного пространства (максимум функции).

- Какое количество растений будет наиболее оптимальным для максимального использования площади?

2. Для площади магазина:

- Рассчитайте, сколько товара можно разместить в магазине, если он имеет ограниченную площадь. Для этого определите, сколько площади занимает один товар и как можно разместить товары таким образом, чтобы площадь была использована максимально эффективно (минимум или максимум функции).

3. Для парковки автомобилей:

- Рассчитайте, сколько автомобилей можно разместить на парковке, если известно количество мест для машин и их размеры. Найдите, при каком расположении автомобилей площадь будет использована максимально эффективно.

Получают карточки с домашним заданием.

Этапы работы:

1. Выберите объект (участок, магазин, парковка) и определите ключевые параметры для расчета.

2. Используйте математическую модель для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции в зависимости от задачи.

3. Постройте график или таблицу, которая будет показывать зависимости.

4. Сделайте выводы о том, как можно оптимизировать использование пространства.

5. Презентуйте результаты в виде отчета или презентации (можно включить рисунки, схемы, графики).

Тетрадь ученика