Параметрі бар көрсеткіштік теңдеулерді шешу

Көрсеткіштік теңдеу — дәреже көрсеткіші белгісіз болатын теңдеу. Қарапайым көрсекткіш теңдеулердің түрі:  мұндағы  , . Көрсеткіштік теңдеулерді шешу үшін теңдеудің екі жақ бөлігін логарифмдеу, айнымалыларды алмастыру, негіздері бірдей дәрежелерді теңестіру, графиктік шешу, т. б. тәсілдер қолданылады.

Көрсеткіштік теңдеулерді шешу кезінде негізгі екі әдіс қолданылады:

1. түріндегі теңдеуден  түріндегі теңдеуге ауысу;

2.Жаңа айнымалылар енгізу. Кейде жасанды әдістерді қолдануға тура келеді.

Бірдей негізге келтіру арқылы шығарылатын теңдеу.

1. a^x=b ( a>0, a≠1)

Егер b>0 болса, теңдеудің жалғыз ғана түбірі бар болады.

Егер b≤0 болса, теңдеудің түбірі жоқ болады.

2. a^f(x)=a^g(x) мұндағы (a>0, a≠1) теңдеуінің сол және оң бөліктерінің

негіздері бірдей болғандықтан, a^f(x)=a^g(x) теңдеуі f(x)=g(x) теңдеуімен мәндес болады.

36- мысал. 5^x=125

Шешуі: , 125>0, 125=5³,5^x=5³, x=3Жауабы: 3

Жаңа айнымалы енгізу арқылы жиі шығарылатын теңдеулер.

1. A∙a^2x+B∙a^x+C=0 a>0, a≠1

a^x=y, y>0 деп белгілесек, у-ке қатысты квадрат теңдеуге келеді. Ay²+By+C=0

37- мысал. 5^2x-6∙5^x+5=0

Шешуі: 5^x=y, y>0 белгілесек у-ке байланысты y²-6y+5=0 квадрат теңдеуіне келеміз. Бұдан y₁=1, y₂=5 екенін табамыз.

у-тің екі мәніне сәйкес екі көрсеткіштік теңдеу шығады.

1. 5^x=1, x=0

2. 5^x=5, x=1

Бұл теңдеулерден есептің екі жауабы шығады. Жауабы: 0; 1

Графиктік тәсілмен шығарылатын теңдеулер.

a^φ(x)=f(x) түріндегі теңдеулер

Ал мұндай теңдеулер түбірлерінің жуық мәндерін графиктік тәсілмен табуға болады.

a^x=b a>0, a≠1, b>0

y=b түзуі y=a^xфункциясының графигін бір ғана нүктеде қиып өтеді. Қиылысу нүктесінің абсциссасы берілген көрсеткіштік теңдеудің түбірі болады.

38- мысал. 2^x=6-x

Шешуі: y=6-x түзуі y=2^xфункциясының графиктерін сызып, олардың қиылысу нүктесінің абсциссасын табайық. Екі графиктің қиылысу нүктесінің абсциссасы x=2.

Жауабы: 2

Негіздері әр түрлі болып келген көрсеткіштік теңдеулерді шешу мысалдары.

39- мысал. 2^x=3^x

Шешуі: 3^x>0, =1, = , x=0 Жауабы: 0

Параметрі бар көрсеткіштік теңдеулер

Келесі

(2.2.1)

теңдеуін көрсеткіштік теңдеу деп атайды, мұнда

Бұл теңдеудің анықталу облысы функцияларының анықталу облыстарының ортақ жиыны болады. Егер болса, онда (2.2.1) теңдеудің шешімі жиынын құрайтын сандар болады.

Егер болса, онда (2.2.1) теңдеу

жүйесіне парапар болады.

Егер болса, онда (2.2.1) теңдеу

жүйесіне парапар болады.

Егер болса, онда (2.2.1)-ден

теңдеуін аламыз.

Егер болса, онда (2.2.1)-ден

(2.2.2)

парапар теңдеуін аламыз. Бұл жерде логарифм негізі ретінде немесе мәнін алсақ, онда (2.2.2) теңдеуді

теңдеулері түрінде жазуға болады.

Кез келген көрсеткіштік теңдеуді шешу қарапайым көрсеткіштік теңдеудің шешімін табуға әкелінеді.

40- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеудің болғанда ғана мағынасы болады. Бұл теңдеудің анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны болады. Теңдеуді

түрінде жазуға болады. Бұдан егер болса, онда кезкелген сан болады. Егер болса, онда теңдеуін аламыз. Бұдан шешімін аламыз.

Жауабы:

Егер болса, онда шешімі - кезкелген нақты сан болады;

Егер болса, онда шешімі болады.

41- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеудің болғанда мағынасы болады. Бұл теңдеудің анықталу облысы жиыны болады. Осы шарттар орындалған жағдайда берілген теңдеуді

түрге келтіреміз. Бұдан

теңдеуін аламыз. Оның шешімі сандары болады.

Жауабы:

Егер болса, онда шешімі - нақты сандар жиыны болады;

Егер болса, онда шешімі болады.

42- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеудің болғанда мағынасы болады. Егер, болса, онда онда кезкелген сан болады. Егер болса, онда шешім болады. Егер болса, онда онда шешім болады. Енді болсын. Онда

~

теңдеуін табамыз. Егер яғни болса, ондасоңғы теңдеудің оң жағы 4-ке, ал сол жағы нөлге тең болады. Бұл жағдайда шешімі болмайды. Егер болса, онда шешімін табамыз.

Жауабы:

Егер, болса, онда онда кезкелген сан болады.

Егер болса, онда шешім болады.

Егер болса, онда онда шешім болады.

Егер болса, онда теңдеудің шешімі болмайды;

Егер болса, онда шешім болады.

43- мысал.

теңдеуінің төрт жауабы болатындай, а параметрінің барлық мәнін табыңдар.

Шешуі: деп белгілеп аламыз. Бастапқы теңдеуіміз мына түрге келеді:

(t > 0, t ≠ 1, E(t) = [1; +∞] )

осы теңдеуді қарастырайық.

болған жағдайда теңдеудің бір ғана шешімі болады , яғни .

болған кезде . Сол себепті теңдеудің екі шешімі болады:

Егер алынған квадрат теңдеудің екі түбірі болса және ,

демек, бастапқы теңдеудің төрт шешімі бар.

Жаттығулар. Төмендегі теңдеулерді айнымалысына қарағанда шешіңдер.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

_7.

_8.

_9.

10.

_11.

_12. - = -