Параметрі бар логарифмдік теңдеулер

Параметрі бар логарифмдік теңдеулер

Паметрмен берілген көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу үшін логарифмнің қасиеттерін білу керек

Логарифмнің негізгі қасиеттері:

1) ; 5) ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) ; 8)

Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың негізгі қасиеттерін есте сақтау маңызды:

1. Функцияның анықталу облысы , - барлығы нақты сандардың жиынтығы; функциясы, - оң сандардың жиынтығы.

2. функцияның мәндерінің жиынтығы оң нақты сандардың жиынтығы; функция - нақты сандардың жиынтығы.

3. Біртұтастық интервалы: егер екі функциялар да ұлғаятын болса; егер екі функция да төмендейді.

Ескерту. 1) Екінші қасиетке сәйкес, логарифмдік теңдеулерді шешкенде, теңдеудің рұқсат етілген мәндерінің аймағын табу керек немесе шешімін тапқаннан кейін тексеру қажет.Үшінші қасиет теңсіздікті шешу кезінде есте сақтау керек.

Қарастырылып отырған

(2.3.1)

Теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды, мұнда

Бұл теңдеудің анықталу облысы

жүйесінен табылады.

Егер болса, онда (2.3.1)-ден

теңдеуін аламыз.

Егер болса, онда (2.3.1)-ден кезкелген үшін келесі

(2.3.2)

парапар теңдеуін аламыз.

Кез келген логарифмдік теңдеуді шешу қарапайым логарифмдік теңдеудің шешімін табуға әкелінеді.

Мысал. Теңдеудің шешімін тап: .

Шешуі: Берілген логарифмдік теңдеудің мағынасы жиынында бар болады. Осы жиында берілген теңдеуді, онымен мәндес болатын

~ ~ (2.3.3)

теңдеуі түрінде жазуға болады.

Енді екі жағдайды қарастырамыз:

а) болсын. Бұл аралықта (2.3.3) теңдеу

түрінде жазылады. Бұдан

Бұл теңдеудің шешімдері , яғни шарты орындалғанда

түрінде анықталады. Табылған бұл екі шешімнің екеуіде шартын қанағаттандырады.

б) болсын. Бұл теңсіздік орындалған жағдайда (2.3.3) теңдеу

түрінде жазылады. Бұдан

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің түбірлері

түрінде анықталады. Мұнда түбірі теңсіздігін қанағаттандырмайды. Ал шарты орындалғанда болады.

  Жауабы:

Егер болса, онда онда берілген теңдеудің үш шешімі болады:

Егер болса, онда бір шешімі болады:

Мысал. Теңдеудің шешімін тап: .

Шешуі: Берілген теңдеудің анықталу облысы

жүйесінің шешімі болады. Осы шарт орындалған жағдайда берілген теңдеуді, онымен мәндес болатын

~ (2.3.4)

теңдеуі түрінде жазуға болады.

Егер болса, онда (2.3.4) –тен

(2.3.5)

теңдеуін аламыз. Бұдан

Мұнда болғандықтан Онда (2.3.5) теңдеу

теңдеуімен мәндес болады. Бұл теңдеудің шешімі болады.

Енді болсын. Онда (2.3.4) теңдеуінің екі жағын квадраттау арқылы

теңдеуіне келеміз. Бұдан

(2.3.6)

(2.3.6) теңдеудің дискриминанты

Егер яғни болса, онда

шешімдерін аламыз.

Егер яғни болса, онда

шешімдерін аламыз. Мұнда түбірлері теңсіздігін қанағаттандырады. Шындығында

теңдеуінің түбірлері болып табылғандықтан теңсіздіктерін аламыз. Енді түбірлері теңсіздігін қанағаттандыратындай параметрлерінің мәндерін табалық.

Егер болса, онда жоғарыда дәлелдеуіміз бойынша , яғни берілген теңдеудің шешімдері болады.

Енді болсын. Жоғарыдағы түбірлерді

(2.3.7)

түрінде жазсақ, онда теңсіздігін пайдалана отырып (2.3.7)-ден

теңсіздіктерін аламыз. Бұдан түбірінің теңсіздігін қанағаттандыратынын аламыз. Онда берілген теңдеудің шешімі болады. Ал шешімі болмайды.

Жауабы:

Егер болса, онда берілген теңдеудің шешімі болады;

Егер болса, онда шешім болады.

Егер болса, онда шешімдері болады;

Егер болса, онда шешім болады;

Егер болса, онда берілген теңдеудің шешімі болмайды.

Мысал. Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеудің анықталу облысы жиыны болады және оны шарты орындалғанда ғана шығаруға болады. Теңдеуді бір негізге келтірсек

~

теңдеуін аламыз. Оны айнымалысын енгізу арқылы

теңдеуіне келеміз. Бұдан шешімдерін табамыз. Осы шешімдерді пайдалана отырып теңдеулеріне келеміз.Бірінші теңдеуден екінші теңдеуден мәндерін табамыз. Енді осы мәндердің және шарттарын қанағаттандыратынын тексерелік. Егер теңсіздіктері орындалса, онда үшін теңсіздіктері орындалады, яғни шешім болады. Дәл осы сияқты теңсіздіктері орындалған жағдайда үшін және ~ шарттары орындалады. Олай болса берілген теңдеудің шешімі болады.

Жауабы:

Егер болса, онда берілген теңдеудің шешімі болады.

Параметрлермен берілген логарифмдік теңдеулерді шешу қарапайым логарифмдік немесе квадрат теңдеудің түбірлерін табуға алып келеді

Мысал. а –ның қандай мәнінде теңдеуінің шешімі болады? Оларды табыңдар.

Шешуі. белгілеп, мынадай квадрат теңдеуді аламыз.

t-ның анықталу облысын табамыз. функциясы -1 мен 1аралығында өзгереді, өйткені теріссандардың логарифмдері жоқ, үшін х мәндерді қарастырамыз. функциясының х айнымалысы - тен 0 аралығында өзгереді, т. с.с. E(t) = (- ; 0].

(- ; 0] аралықта квадрат теңдеудің ең болмағанда бір түбірі болса ,онда , бастапқы теңдеудің шешімі болады.

Екі нұсқасы бар:

1. Екі түбір де осы аралықта жатуы

2. Тек қана ең кіші түбірінің ғана осы аралықта жатуы.

.

1 жағдай: егер орындалады

2 жағдай: егер орындалады

болған жағдайда бастапқы теңдеудің шешімі болатынын байқадық.

Жауабы : теңдеудің шешімі болады.

Мысал. теңдеуді шеш

.

Шешуі. А.О: .

Бастапқы теңдеудің А.О баламалы тізбектер тізбегін орындаймыз:

,

,

,

.

және , теңдеудің екі жағында және -ге қысқартамыз. Сонда теңдеуіміз = түрге келеді.

Теңдеудің екі жағында квадраттаймыз:

.

және болса, онда .

Х теңдеудің шешімі болуы үшін, шартын қанағаттандыру қажет, яғни .

а параметрінің қандай мәнінде , бұл теңсіздік ақиқат:

, .

болса, ондаалынған бөлшек оң, егер 1 – а⁴> 0 болса, яғни болады.

Сонымен , үшін, аралықта бастапқы теңдеудің шешімі болады.

Жауабы: , болған кезде теңдеудің мағынасы жоқ;

болса шешімі жоқ;

болса шешімі жалғыз.

Жаттығулар. Төмендегі теңдеулерді айнымалысына қарағанда шешіңдер.

-ның қандай мәнінде теңдеуінің екі шешімі болады?