Тақырыбы: «Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді жалпы шешу әдістері»

Мақсаты: параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін қарастыру.

Міндеті:

• параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбына теориялық материал жинақтау;

• параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері мен жолдарын қарастыру;

Параметрi бар есептер қарапайым математика курсының өте күрделі есептерiнің бiрі болып табылады. Негiзiнде олардың шешiмi есептiң шартына кiретiн функциялардың зерттеу және сандық коэффициенттерi бар теңдеулер мен теңсiздiктердi шешу болып табылады. Параметрi бар теңдеулердi (теңсiздiктерді) шешуде параметрдің қандай мәндерде берілген теңдеудің (теңсіздіктің) шешімдері бар болатынын анықтап, сол шешiмдердi табу керек. Сол параметрдiң мүмкiн мәндерiнiң кем дегенде бiреуi зерттелмеген жағдайда есеп толық шығарылған болып саналмайды. Жалпы мұндай есептерді шығару мектептен тыс білімді қажет етпейді, бірақ осындай есептерді шешуде тәжірибесі жоқ оқушыларда қиыншылық туындайды.

Бір айнымалысы және бір параметрі бар теңдеулер. Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктер жеке әдістемелік бағыты бар мектеп курсындағы қарапайым теңдеулер мен теңсіздіктерге қарағанда жалпы сипаттамасы бар зерттеу обьектісі болып келеді.

Біріншіден: кез-келген параметрі бар теңдеу немесе теңсіздік, бір жағынан бірнеше тәуелсіз айнымалылары бар теңдеу немесе теңсіздік болып келеді, екінші жағынан, дербес теңдеулер мен теңсіздіктердің шексіз жиынтығы болып келеді.

Екіншіден, параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері дербес жағдай ретінде дербес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінен тұрады.

Үшіншіден: параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу түсінігі айнымалылардың өзгеру мәселесімен кездеседі:

• дербес теңдеуді шешу – сандық осьтің нүктесінің координатасы, бір параметрі бар теңдеудің жалпы шешімі – жазықтықтағы сызықтың нүктелерінің координаталары;

• дербес теңсіздікті шешу – сандық түзудің нүктелер жиынтығының координаталары, бір параметрі бар теңсіздіктің шешімі – жазықтықтағы аудан нүктелерінің координаталары;

• екі айнымалысы бар теңдеуді шешу - жазықтықтағы аудан нүктелерінің координаталары, екі параметрі бар теңдеудің жалпы шешімі – кеңістіктегі аудан нүктелерінің координаталары т.с.с..

Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шығаруда теңдеуге кіретін функцияны зерттеу керек. Параметрі бар теңдеуді(теңсіздікті) шешуде параметрдің қандай мәнінде теңдеудің(теңсіздіктің) шешімі бар болатынын анықтау керек.

(1) теңдеуі берілсін. Егер осы теңдеуге қанағаттандыратын барлық сияқты жұптарды табу мақсаты тұрса, онда (1) теңдеуі х және а айнымалыларынан тұратын теңдеу болады. Бірақ теңдеуге қатысты басқа тапсырманы қарастыруға болады. Мәселен, егер а-ға қандай да бір нақты мән берсек, онда (1) теңдеуін бір х айнымалысы бар теңдеу ретінде қарастыруға болады. Әрине, бұл теңдеудің шешімі а-ға таңдап алынған мәндер бойынша анықталады.

Егер кейбір А сандар жиынындағы а-ң әрбір мәні үшін х-ке байланысты (1) теңдеуін шешу мақсаты тұрса, онда бұл теңдеуді а параметрі болатын х айнымалысы бар теңдеу деп атайды.

Параметрі бар есептерді шешудің негізгі әдістерін атап өтейік:

• Аналитикалық әдіс

• Функционалдық әдіс

• Графикалық әдіс

• Алмастыру әдісі

• Айнымалылар рөлінің ауысу әдісі

• Жалпыдан дербес жағдайға ауысу әдісі

• Еркін ассоциациялар әдісі

• «Кері жүру» әдісі

Аналитикалық әдіс. Аналитикалық әдіс жоғарыда аталған әдістердің құраушы бөлігі саналады. Бұл әдістің негізі эквиваленті және тепе-тең түрлендірулер әдісі болып табылады. Теңдеулер мен еңсіздіктреді шешуге ұсынылған әдіс бір математикалық тұжырымды оған тепе-тең екінші математикалық тұжырыммен алмастыруға негізделген. Есеп анықталу облысын қарастыруды қажет ететін белгілі бір тұжырым ретінде қарастырылады. Сонымен, берілген шарт тепе-тең түрлендірулер нәтижесінде ақиқат не жалғандығы анықталған қарапайым логикалық тұжырымдардың жиынына келтіріледі.

Функционалдық әдіс. Параметрі бар есептерді функционалдық әдіспен шешу математиканы оқытудың функционалдық бағытының құраушы бөлігі болып табылады. Есепті шешуде жиі кездесетін функцияның қасиеттерін атауға болады: біріншіден, әрине, көптеген алгебралық және қарапайым транценденттік функциялардың монотондығы, екіншіден, функцияның периодтылығы, жұптығы және тақтығы, үшіншіден, функцияның мәндер облысы мен анықталу облысының шектелген болуы. Бұл әдіспен есептерді шешуде жиі математикалық талдаудың әдістері қолданылады: функцияның үзіліссіздігі, дифференциалданатындығы, монтондылығы.

Графикалық әдіс. Параметрі бар кез-келген есеп кем дегенде екі айнымалысы – аргументі және параметрі бар есеп болып табылады. Осыдан, есептің шешімі, яғни, мәндері кейбір евклидтік кеңістіктің нүктесінің координаталары ретінде қарастырылуы мүмкін. Дербес жағдайда, бір айнымалысы және бір параметрі бар теңдеу жазықтықта кейбір сызықты, ал бір айнымалысы және бір параметрі бар теңсіздік координаталық жазықтықтың кейбір облыстарын береді. Екі айнымалысы және бір параметрі бар теңдеу кеңістікте кейбір бетті, ал екі айнымалысы және бір параметрі бар теңсіздік кеңістіктің сәйкес облыстарын береді. Координаталық-графиктік әдіс ізделінді шешімдерді координаталық жазықтықта нүктелердің геометриялық орны ретінде қарастырады, мұндағы координаталардың бірі ретінде параметр, ал екіншісі ретінде ізделінді айнымалы болып қарастырылады.

Алмастыру әдісі. Алмастыру әдісі берілген есептің шартын шешуді жеңілдететін жаңа айнымалылардың терминдерінде ойды тұжырымдайды. Бұл әдіс тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде жиі қолданылады. Алмастыру әдісі оларды алгебралық теңдеулер мен теңсіздіктерге келтіреді. Бірақ, есептің тригонометриялық эквивалентін алғаннан соң шешу жолы жеңілденетін кейбір алгебралық есептер бар.

Айнымалылардың рөлінің ауысу әдісі. Кей жағдайда, берліген шарттың талдауын жасау үшін ізделінетін айнымалы мен бір параметрдің рөлдерін аустыру қажет болады. Кейде, ізделінетін айнымалының дәрежесі шартқа кіретін параметрдің дәрежесінен жоғары болады. Рөлдерін ауыстыру әдісі бұл жағдайда есепті шешудің процесін анағұрлым жеңілдетеді.

Жалпыдан дербес жағдайға ауысу. Есептің шартында айнымалылардың немесе параметрлердің барлық мәндерінде кейбір тұжырым дұрыс болса, онда шешуді жеңілдету үшін есептің ізделінетін шешімі салдары болып табылатын осы айнымалы немесе параметрдің «қолайлы» мәндерін тапса жеткілікті.

Еркін ассоциациялар әдісі. Еркін ассоциациялар әдісі есептің шартын математиканың басқа облыстарының терминдерімен беруіне негізделген. Егер нәтижесінде мәселені шешуді жеңілдететін идеяларды туғызатын жаңа ассоциацияларды кеңінен қолданса, шығармашылық іс-әрекеттің, әсіресе, жаңа идеялар туындау кезеңінде нәтижелілігі жоғарылайды. Ассоциациялардың туындау процесінде шешілетін мәселенің компоненттері мен сыртқы өмірдің элементтерінің арасында байланыс орнатылады. Жаңа ассоциациялық байланыстардың туындауының нәтижесінде мәселені шешудің шығармашылық идеялары пайда болады.

Кері жүру әдісі. Теңдеу немесе теңсіздіктің белгісіздер санынан кем болу жағдайында, кейде, шешімнің кейбір бөлігі, көбінесе, параметрдің ізделетін мәні табылды деп болжауға болады. Бұл әдіс кейбір функцияның ерекше қасиеттеріне негізделген.

1-мысал. теңдігін х-ке қатысты шешейік.

Шешуі. Есеп бойынша деп айтуға болады. Теңдеудің екі жағын да көбейтсек, аламыз. болғанда бұл келесі түрде болады: , яғни, басқа х-тің кез-келген оң мәніне қанағаттандырады. болғанда . Енді болғандағы а мен b –ң мәндерін табайық.

1. бұдан, , яғни, бұдан .

2. бұдан, , яғни, бұдан .

Енді жауабын жазуға болады:

, , болғанда .

болғанда х – кез-келген сан ( ).

2-мысал. теңдеуін шешіңдер.

болсын, мұндағы .

Онда және , яғни келесі жүйені аламыз:

.

Бұдан, немесе .

Бұл теңдеуді b-ға қатысты шешімін тапсақ, және аламыз. Бұдан екі теңдеулер жиыны шығады:

а) .

Бұдан, , яғни, . Демек,

, , мұндағы .

болғандықтан, теңдеудің түбірі шартына қанағаттандыруы керек. Осыдан, болғанда теңдеуге және , ал болғанда тек қана қанағаттандырады.

б) .

Бұл теңдеудің түбірі шартына қанағаттандырады, яғни, .

Екі жағын да квадраттасақ, (10) немесе .

Бұдан, , _{, мұнда , яғни .}

Енді және түбірлері талабын қанағаттандыратын шартты білу қажет.

болғанда,

, яғни,

немесе .

бұл жүйедегі бірінші теңсіздіктің екі жағын да квадраттасақ, осы жүйеге теңбе тең жүйені аламыз:

немесе

Бұдан, болғанда .

болғанда , яғни,

Сонымен, теңдеудің түбірі болмайды. Яғни, келесі шешімдерді алдық:

болғанда, ;

болғанда, ;

болғанда, екі шешім: және ;

болғанда түбірлер жоқ.

19-мысал. теңдеуін х-ке қатысты шешіңдер.

Шешуі: х және а-ң барлық мүмкін болатын мәндерінде болғандықтан, берілген теңдеуі шартын қанағаттандыруы керек. Берілген теңдеудің екі жағын да квадраттасақ, теңдеуге теңбе-тең

немесе жүйені аламыз.

болғанда болғандықтан, яғни, шарты – теңдеуі қанағаттандыратын қосымша шарт болып келеді.

Бұдан, және болатынын көруге болады.

жүйе немесе жүйесіне теңбе-тең болады.

Табылған теңдеулерді а-ға қатысты шешетін болсақ, шыққан жүйе екі жүйелер жиынына теңбе-тең екенін ескереміз:

(16) және .

болсын. , болғанда болады, мұндағы .

және теңдеудің түбірі бола алмайды;

, яғни болғанда .

шартының қанағаттандырылуын тексеру үшін есептейміз:

. Бұдан, , яғни, болғанда – (13) теңдеуінің түбірі. (17) жүйесінің шешімін табу үшін белгілеуін еңгізейік.

болғанда , .

болғанда , болғанда теңдеудің түбірі бола алмайды, себебі, , . шартының қанағаттандырылуын тексеру үшін есептейміз:

бұдан, . Осыдан, теңдеудің түбірі болмайды. Бұдан, келесі шешімдерді аламыз:

болғанда ,

болғанда ,

және болғанда шешімі жоқ. Табылған шешімнің гарфикалық түрін беруге болады.

болсын. Онда және теңдеу түрінде болады.

және функцияларының графиктері тік бұрышты координат жүйесінде төмендегі 2.1-суретте көрсетілген.