Параметрмен берілген тригонометриялық теңдеулерді шешу

Параметрмен берілген тригонометриялық теңдеулерді шешу

теңдеуі берілсін. Егер теңдеуді қанағаттандыратын барлық жұптарын табу керек болса, онда берілген теңдеу екі айнымалымен берілген теңдеу болады.

Егер теңдеуінің сан жиынындағы әрбір мәні үшін ке байланысты шешу керек болса, онда бұл теңдеу параметрінің өзгеру аймағындағы айнымалысынан тәуелді теңдеу деп аталады.

Мақалада теңдеуін айнымалысы және параметрі бойынша теңдеу деп қарастырамыз.

1-мысал. Теңдеудің шешімі болатындай ның барлық бүтін мәндерін табыңыз.

Шешуі: Теңдеудің шешімі екі жақ бөлігі де 1 ге тең болғанда ғана орындалатыны түсінікті. Теңдеуді төмендегідей мәндес теңдеу жүйесімен алмастыруға болады.

мұндағы өрнегі ке бөлінбейтін болғандықтан

болады. Ендеше , басқа ның мәнінде теңдеудің шешімі жоқ.

2-мысал. теңдеуінің шартын қанағаттандыратын болатындай ның барлық мәндерін табыңыз.

Шешуі: болғандықтан болады, онда Ал, болғандықтан берілген теңдеу төмендегі теңдеулер жүйесімен мәндес болады.

шарты бойынша екінші теңдеудің болғанда ғана орындалатындығы түсінікті. Яғни, Табылған тің мәнін теңдеулер жүйесіндегі бірінші теңдеуге қоя отырып ны табамыз Бұл теңдеу шартына байланысты немесе

болғанда ғана орындалады. Яғни немесе . Жауабы:

3-мысал. теңдеуді шешіңіз.

Шешуі: Дәрежені төмендету формуласын пайдаланамыз:

Теңдеуді параметрге байланысты бағалайық. Яғни теңдеудің шешімі оң жағы немесе болғанда ғана орындалады ( емесе болғанда теңдеудің шешімі жоқ).

Егер болса, онда болады, егер болса, онда болады. Сонымен (1) теңдеуді келесідей бес жағдайда талдаймыз:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1. Егер болса, онда болады, бұдан теңдеудің шешімі болмайтындығы шығады.

2. Егер болса, онда (1) теңдеу болады, бұдан

3. Егер болса, онда болады. Теңдеуді шешейік

. Қарастырып отырған аралығымыз

болғандықтан теңдеудің шешімі болады. Яғни

4. Егер болса, онда теңдеу , бұдан .

5. Егер болса, онда болады, бұдан теңдеудің шешімі болмайтындығы шығады. немесе болғанда шешім 3-жағдайдағыдай анықталады.

Жауабы: 1) егер ; болғанда теңдеудің шешімі жоқ;

2) егер болғанда .

4-мысал. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі.Теңдеуді ке көбейтіп түрлендірейік.

бұдан - ті тапсақ, ; .

Теңдеуді шешу барысында - ке көбейткеніміз анықталу облысының кеңеюіне алып келеді, бұған қатысты бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. Яғни табылған теңдеудің шешімдер жиынынан болатын жиынының шешімдерін алып тастаймыз. және жауаптары қиылыспайтындығы түсінікті, ортақ шешімдері жоқ. Әрі қарай . Яғни бұдан болғанда ғана берілген теңдеудің шешімі болатындығы шығады, немесе , .

Жауабы: 1) егер болса, онда

2) егер болса, онда .

Тақырыпқа байланысты есептер

1. ); -ның қандай мәнінде берілген теңдеудің кем дегенде бір шешімі болады?

Жауабы:

2. - ның кез келген нақты мәні үшін теңдеуінің ең болмағанда бір шешімі болатындай b параметрінің барлық нақты мәндерін табыңыз.

Жауабы: b=1

3. теңдеудің шешімі болмайтындай a параметрінің барлық мәндерін табыңыз.

Жауабы: .

4. теңсіздігі аралығының барлық мәнін қанағаттандыратын болса a параметрінің барлық мәнін табыңыз.

Жауабы: .

5. параметрдің қандай мәнінде теңдеудің жалғыз ғана түбірі болады.

Жауабы: а - иррационал сан.

6. параметрдің әрбір мәнінде теңдеуді шешіңіз.

Жауабы: Егер болса, онда

егер болса, онда

егер болса, онда

7. параметрдің барлық мәнінде шешіңіз.

8. параметрінің барлық мәндерін табыңдар.

9. теңдеуі параметрінің қандай мәнінде аралығында ең көп шешім қабылдайды.

10. теңдеуінің параметрінің қандай мәнінде шешімі болмайды.

Жауабы: .

11. аралығында үш түбірі болады.

Жауабы: .

12. кесіндісіндегі түбірінің санын анықтаңыз.

Жауабы: болғанда екі шешімі болады;

болғанда бір түбірі болады;

болғанда түбірі жоқ.

13. ның қандай мәнінде тең мағыналы болады.

Жауабы: .

14. теңдеуді шешіңіз.

Жауабы: егер болса, онда .

15. теңдеулерінің ең болмағанда бір ортақ түбірі болатындай ның барлық мәндерін табыңыз.

Жауабы: .

16. және берілген теңдеулер ның қандай мәнінде тең мағыналы болады.

Жауабы: .

17. теңдеуінің шешімі болатындай ның барлық бүтін мәндерін табыңыз.

Жауабы:

18. теңдеуінің болғанда ның қандай мәнінде бір ғана түбірі болады.

Жауабы:

19. теңдеуін шешіңіз

Жауабы: болғанда

.

20. .

Жауабы: болғанда.

21.

Жауабы: болғанда болғанда .

22. .

Жауабы: болғанда бос жиын; болғанда

23.

Жауабы: болғанда болғанда .

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», М.Илекса, 2007.

2. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордович «Задачник - практикум по математике», М. Мир и образование, 2005.

3. Е.Д.Куланин , В.П.Норин, С.Н. Федин, Ю.А.Шевченко «3000 конкурсных задач по математике», М. Аирис пресс, 2006.

4. Л.И.Звавич, Л,Я. Шляпочник, М.В.Чинкина «3600 задач по алгебре и началу анализа», М. Дрофа, 1999.

Дайындаған: Алматы қаласындағы «РФММ» КеАҚ филиалының математика пәнінің мұғалімдері Омарова Ш.С., Рыскулова У.Б.