Параметрмен берілген тригонометриялық теңдеулерді шешу

Параметрмен берілген тригонометриялық теңдеулерді шешу

1.1 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу

Кей жағдайларда құрамында параметрі бар болатын көрсеткіштік, логарифмдік және тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу керек болады. Мұндай теңдеулер мен теңсіздіктерді жалпы жағдайда транценденттік деп атайды. Параметрдің мәндеріне байланысты теңдеулер мен теңсіздіктердің түбірлері бірнешеу болуы немесе болмауы мүмкін, кей жағдайларда белгілі бір аралықтарда жататын түбірлері табылуы мүмкін.

Тригонометриялық теңдеу–белгісіз аргументтің тригонометриялық функциясына қатысты алгебралық теңдеу. Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін тригонометриялық функциялардың арасындағы әр түрлі қатынастарды пайдалана отырып, тригонометриялық теңдеулерді ізделініп отырған аргументтің тригонометриялық функциялары біреуінің мәнін анықтауға болатындай түрге келтіру керек. , , , түрінде берілген теңдеу қарапайым тригонометриялық теңдеу деп аталады. Кез келген тригонометриялық теңдеуді шешу қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешуге арқылы шығады, ал қарапайым тригонометриялық теңдеулер келесі формулалар арқылы есептеледі:

1. Егер болса, онда теңдеуінің шешімі формуласымен анықталады.

Дербес жағдайлары:

2. Егер болса, онда теңдеуінің шешімі формуласымен анықталады.

Дербес жағдайлары:

3. теңдеуінің шешімі формуласымен анықталады.

Дербес жағдайлары:

4. теңдеуінің шешімі формуласымен анықталады.

Дербес жағдайлары:

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері

1. Көбейткіштерге жіктеу

Бұл тәсілде теңдеуінің шешімі теңдеулерінің шешімімен тең екендігі негізге алынып шығарылады.

1- мысал .

.

Шешуі:

2. Жаңа айнымалы енгізу

Егер теңдеу бір ғана тригонометиялық функциялардан құралған болса, теңдеу алгебралық әдіс арқылы шығады.

2- мысал.

_Шешуі: формуласын қолдана отырып, келесі теңдеуді аламыз:

3. түріндегі тригонометриялық теңдеулерді шешу.

Бұл түрдегі теңдеулерді шығару үшін теңдеудің екі жағында және - ге бөлу керек.

теңдеуін аламыз. айнымалысын енгізу арқылы теңдеуді шығарамыз.

3- мысал.

теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: теңдеуді ке бөлу арқылы теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімі: _.

4. түріндегі тригонометриялық теңделерді шешу. Бұл түрдегі теңдеулерді шешудің бірнеше әдістері бар.

4.1 Көмекші аргумент енгізу. Бұл кезде өрнегінің орнына өрнегін жазамыз. . - бұрышы көмекші аргумент деп аталады.

4- мысал.

теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: болатындығынан, -нің қандай да бір мәнінде және болады. Олай болса, немесе . . Ал теңдеуіміздің жауабы: .

4.2 Универсал алмастыру. Бұл кезде және функцияларын формуласымен ауыстырамыз.

5- мысал.

теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: -ті мен ауыстырамыз, ал белгілейміз.

5. түріндегі тригонометриялық теңдеулерді шешу.

Теңдеу немесе түріне келтіріп шығарылады. Теңдеуді шешу үшін бөліп, теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді шығарсақ, . Осылайша, берілген теңдеудің шешімі: [15].

Тригонометриялық теңдеулерді шығарылу жолына байланысты 6 топқа бөлуге болады:
1. Тригонометриялық функциясының бір ғана түрлерімен берілген, алгебралық теңдеулерге келтірілетін тригонометриялық теңдеулер;
2. Тригонометриялық формулаларды түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер;
3. Функциялардың дәрежесін төмендету арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер;
4. Біртектес тригонометриялық теңдеулерді шешу;
5. Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер;
6. Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу[17].

Жіктеу арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер.

Яғни түріне келтіретін теңдеулер. Сол белгілі бір бірнеше көбейтінділерден тұрады. Оң бөлігі нөл, сондықтан ең болмағанда бір көбейткіш нөлге тең болса ғана көбейтінді нөлге тең болады.

6- мысал.

теңдеуді шешіңдер. (ММЖ) – мүмкін мәндер жиыны.

Шешуі: (ММЖ) тапсақ немесе

1) бұдан яғни

2) бұдан ММЖ-ға жатпайтынын көрсетейік.

-ның қандай мәнінде тақ емес, ММЖ жатпайды.

7- мысал.

теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: ММЖ

1) бұдан

2) шешімі болмайды, себебі сол бөлігі әруақытта оң сан. Теңдеудің түбірі .

Қосу формулаларын пайдаланып шешілетін теңдеулер.

8- мысал.

теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: -ті түріне келтіріп аламыз:

1) яғни

2) яғни

9- мысал.

теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: немесе

мұндағы

мұндағы .

Жауабы: мұндағы

мұндағы .

10- мысал.

теңдеуді шешіңдер.

Шешуі: формуласын пайдалансақ

немесе

1) яғни

2) .

түріндегі теңдеулер. Бұл теңдеулерді және -ге қарағанда біртекті теңдеулерге келтіруге болады. Немесе формуласын пайдаланып шешуге болады, мұндағы .

11- мысал.

теңдеуді шешу керек. Жарты аргумент функцияларға көшсек,

Немесе бұл біртекті теңдеу, -ге

бөлгенде бұдан табатынымыз:

теңдеуінде және -кез келген нақты сандар.

Егер және -ке қарағанда біртекті теңдеулер.

теңдеуі бірінші дәрежелі біртекті теңдеу деп аталады. Бұл теңдеудің екі бөлігін де деп бөлсек, осы теңдеудің түбірін табамыз.

12- мысал.

теңдеуін шешу керек. теңдеуімен мәндес. немесе .

теңдеуін қос бұрыш енгізу әдісі арқылы шешу.

Біз білеміз, егер болса, бұрышы болады, немесе керісінше. теңдеуін шешу үшін көбейткішін жақша сыртына шығарамыз. Сонда теңдеуін аламыз. болғандықтан, бірінші санды кейбір

бұрышының косинусы деп қабылдап, ал екінші сол

бұрышының синусымен алмастырып жазамыз, яғни , . Мұндай жағдайда теңдеу немесе түріне келеді, бұдан . Бұл теңдеудің шешімі болады, егер , сонда ,

.

бұрышы теңдігінен табылады, .

Жауабы: .

– теңдеуін рационалдау әдісімен шешу.

Белгілі, егер , онда , және , арқылы рационалды өрнектеледі, яғни , және . Рационалдау әдісі мыналардан қорытылады: алмастырудан кейін рационалды теңдеу белгісіз көмекшімен салыстыруға болатын, белгісіз көмекші ендіреміз. теңдеуін қарастырамыз, бұдан теңдеуін аламыз. деп алсақ, онда аламыз. Бұл теңдеу- рационалды салыстырмалы .

Теңдеудің екі бөлігін көбейтеміз, сонда болады. немесе деп көрсек, болады. мәні –нақты, егер . Егер теңдеуінде деп алсақ, ендеше ол бірінші дәрежелі теңдеуге айналады: яғни , . болғанда, өрнегі көмекші белгісізге мәнін жоғалтады, яғни . теңдеудің шешімі жоғалуы мүмкін. теңдеуді алмастыру арқылы: ; .

Мұндай жағдайда теңдеу түріндегі шешімдер жиыны көп болады.

1. Егер болса, онда теңдеудің шешімі болмайды, теңдеудің нақты түбірлері болмағандықтан.

2. Егер және болса, онда теңдеуден табамыз.

3. Егер , онда теңдеудің 2 шешімі бар: және .

Теңбе-тең түрлендірулер арқылы қарапайым түрге келтірілетін тригонометриялық теңдеулер.

Тигонометриялық теңдеудің сипаты оның құрамындағы тригонометриялық өрнектің қабылдайтын мәндеріне немесе анықталу облысына байланысты. Алгебралық өрнектер сияқты тригонометриялық теңбе-теңдікті құрайтын өрнектерде түрлендіру есептер шешуде аса маңызды роль атқарады. Әсіресе теңдеулер шешуде тригонометриялық теңбе-теңдіктер аклғашқы немесе негізгі ұғым болып саналады. Теңдеулер шешуге өте көп теңбе-теңдіктерден ең қажеттісін таңдап алу–есептің тиімді тәсілдер көмегімен оңай шешілуіне мүмкіндік береді.

13- мысал.

Теңдеуді шешіңдер.

Теңдеуді түрінде жазалық. Қосындыға түрлендіріп, өрнегін қос бұрыштың формуласы бойынша жазсақ, теңдеуді деп жазуға болады. Бұдан қарапайым теңдеулерге келеді. Бұл арада

Түбірлерді салыстыра келіп, түбірлерінің жалпы түбір екенін байқаймыз.

Жауабы: .

Біртектес тригонометриялық теңдеулер.

түріндегі теңдеуді біртектес теңдеу деп атайды. жағдайында теңдеудің екі бөлігінде өрнегіне көбейтіп теңдеуді аламыз, егер болса, онда соңғы теңдеудің мәні болмайды.

14- мысал.

теңдеуді шешейік.

Шешуі: Теңдеудің екі жағын өрнегіне көбейтіп, немесе Бұл арадан .

Жауабы:

1.2 Параметрі бар тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері

Параметрі бар тригонометриялық теңдеулерді шешу барысында параметрдің бақыланатын мәндеріне нүктелеріне ерекше назар аудару керек.

15- мысал.

Теңдеудің шешімін тап: .

Шешуі: Берілген теңдеуде мәні бірінші бақылау мәні. Егер болса, онда теңдеудің шешімі болмайды. Егер болса, онда

(2.1.1)

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімінің барлығы теңсіздінің шешіміне байланысты болады. Олай болса, мәндері екінші бақылау мәндері болады. Сонда

мәндері үшін (2.1.1) теңдеуінің шешімі

түрінде анықталады. Ал

мәндері үшін (2.1.1) теңдеудің шешімдері болмайды. Себебі теңсіздігі орындалады.

Жауабы:

Егер болса, онда берілген теңдеудің шешімі болмайды.

Егер болса, онда [25] .

16- мысал.

Теңдеудің шешімін тап: .

Шешуі: Егер болса, онда теңдеудің шексіз көп шешімі болады. Себебі кез келген мәнінде теңбе теңдігін аламыз. болған жағдайда ~ шешімін аламыз.

Жауабы:

Егер болса, онда ал болса, онда берілген теңдеудің шешімдері болады.

17- мысал.

Теңдеудің шешімін тап: .

Шешуі: Егер болса, онда теңдеудің шексіз көп шешімі болады. Себебі кез келген мәнінде теңбе теңдігін аламыз. болған жағдайда

шешімін табамыз.

Жауабы:

Егер болса, онда

Егер болса, онда

теңдеуінің шешімі формуласымен анықталады.

18- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеу белгілі формулаларды пайдалану арқылы

(2.1.2)

Егер , онда . Олай болса (2.1.2) теңдеудің шешімдері болмайды. Егер онда Соңғы теңдеудің шешімі болуы үшін ~ шартының орындалуы керек. Сонда шешімін аламыз.

Жауабы:

Егер болса, онда ,

Егер болса, онда теңдеудің шешімі болмайды.

19- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеуде бірден бақылау мәндерін көру қиындық келтіреді. Сондықтан берілген теңдеуді теңбе-тең түрлендірелік:

~ ~ ~

~ ~ . Бұдан бақылау мәндерін табамыз. Сонымен, егер болса, онда

шешімін аламыз. Ал, болса, онда теңдеудің шешімі болмайды.

Жауабы:

болса, онда ;

болса, онда теңдеудің шешімі болмайды.

20- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеуде қосымша бұрыш енгізу үшін, оның екі жағын да

өрнегіне бөлелік. Мұнда

болғандықтан, қандай да бір бұрышы табылып

(2.1.3)

теңдіктері орындалатын болады. Онда

~ (2.1.4)

теңдеуіне келеміз. Бұл теңдеудің нақты шешімдері болуы үшін теңсіздігі орындалуы керек. Онда қандай да бір бұрышы табылып

(2.1.5)

теңдігі орындалатын болады және (2.1.4) теңдеуі

түріне келеді. Бұл теңдеудің шешімдері

~

немесе

~

болады. Сонда, (2.1.3) және (2.1.5) пайдалана отырып бірінші шешімді

,

екінші шешімді

түрінде анықтаймыз.

Жауабы:

болса, онда

,

болса, онда теңдеудің шешімі болмайды.

21- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеуді теңбе-тең түрлендірелік. Теңдеудің сол жағын толық квадратқакелтіру арқылы түрлендірелік.

~

~ ~ ~

~ .

Соңғы теңдеудің ~ шарты орындалғанда ғана шешімі болады. Сонымен, егер орындалатын болса, онда

шешімін табамыз.

Жауабы:

болса, онда ;

болса, онда теңдеудің шешімі болмайды [28].

22- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеудің анықталу облысы теңсіздігімен беріледі. Берілген теңдеуді теңбе-тең түрлендірелік:

~ ~

~ .

Бұл теңдеуден теңдеуін, оның шешімі аламыз. Бұл шешім параметрінен тәуелсіз, яғни Ал биквадрат теңдеуінің шешімі болуы үшін, оның дискриминанты теріс болмауы керек: Бұл жағдайда бірақ Соңғы теңсіздіктің орындалуын тексерелік:

1) ~ ~ ~ ~ ~ ~

Соңғы теңсіздік орындалған жағдайда

, шешімін аламыз.

2) ~ ~ ~ ~ ~

Соңғы теңсіздік орындалған жағдайда

, шешімін аламыз.

  Жауабы:

болса, онда, .

болса, онда:

;

;

.

болса, онда:

; .

23- мысал.

Теңдеудің шешімін тап:

Шешуі: Берілген теңдеудің екі жағын көбейтесек теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің сол жағындағы көбейтіндіні қосындыға түрлендірелік, сонда

~ .

Соңғы теңдеуде косинустардың тең болу шартын пайдалансақ

~

Тексеру. Жоғарыда берілген теңдеудің екі жағын көбейту барысында берілген теңдеудің анықталу облысын кеңейттік. Олай болса бөгде түбірлердің пайда болуы мүмкін. Сондықтан табылған шешімдер жиынтығынан берілген теңдеудің шешімі болатындай шешімдер жиынтығын бөліп алалық. Ол үшін табылған шешімдер жиынтығынан теңдеуін қанағаттандыратын -тің мәндерін шығарып тасталық. Табылған шешімдер жиынтығындағы мәндер мәндерімен қиылыспайды. Онда берілген теңдеудің шешімі болады. Шешімдер жиынтығындағы екінші топ шешімдері үшін

~

теңдігін жазуға болады. Сонымен жиынтығы шешім болуы үшін шарты орындалуы керек.

Жауабы:

болса, онда, .

болса, онда

24- мысал.

теңдеуінде, параметрінің барлық мәнін табу керек.

Бірінші қосылғышты мына

түрге келтіріп, ал екінші қосылғышты , айнымалысын енгізіп теңдеуді мына түрде жазып аламыз

Оның түбірі болады, егер

Солайша -ның кез келген мәнінде екі түбірі ( ) болады. болғандықтан, егер түбірлерінің тым болмаса біреуі аралыққа кірсе, бастапқы теңдеудің мәні болады,

А. Екі түбірді де осы аралықта жатады деп алайық, яғни . Онда функциясының минимум нүктесінің абциссасы мына аралықта жатады:

функцияның минимал мәні теріс: а-ның кез келген мәнінде орындалады; функцияның мәні аралықтың соңында теріс емес: . Қарастырылған шарттардың жүйесі үйлеспегендіктен, аралықтарда екі шешімі болуы мүмкін емес.

В. аралыққа түбірлерінің біреуі жатады деп алайық. Онда аралықтың соңында әр түрлі таңбалы екі мән қабылдайды, оның біреуі нөлдік болуы мүмкін, яғни шарты орындалады, бұдан интервалдар әдісімен аламыз.

Жауабы: .

25- мысал.

Шешуі. Теңдеудің сол жақ бөлігін кубтардың қосындысы бойынша теңдеуін аламыз немесе яғни мәні болады.

Соңғы теңсіздік береді. Ерекше жағдай . Онда теңдеу мына түрге келеді , шешімі жоқ.

Жауабы: болғанда,

және болғанда, шешімі болмайды.

26- мысал.

- теңдеуін шешу.

а) Бір мезгілде мына теңсіздіктер орындалуы тиіс:

бұдан

Осы шарт бойынша

б) Бір мезгілде мына теңсіздіктер орындалуы тиіс:

бұдан .

Осы шарт бойынша

Жауабы: болғанда,

болғанда,

болғанда,

Параметрі бар теңдеулерді шешу үшін төмендегі әдістерді қолдану көптеген күрделі есептерді шешуді айтарлықтай жеңілдетеді. Әрбір әдіс үлгісін қолдану арқылы студент оған оңайсәйкес әдісті таниды және қолданаалады. Берілген мысалдар факультативті сабақтарда қолданылуы мүмкін. Бұл студенттерге осы түрдегі мәселелерді шешуде тәжірибе жинақтауға көмектеседі [29].

А) Жаңа айнымалыларды енгізу.

Жаңа айнымалы мәндерді енгізу сізге тапсырманы түсінуді жеңілдетуге және тапсырманы жеңілдетуге мүмкіндік береді. Мұндай тәсіл мынадай жағдайларда қолданылуы мүмкін.

1. төмендегі түрде берілген тригонометриялық теңдеулерде

Жаңа айнымалы енгізу   арқылы келесі теңдіктерді қолданамыз

Төмендегі түрде берілген теңдеуге

Жаңа айнымалы енгізуге болады   және келесі түрлендірулер енгіземіз

Төмендегі түрде берілген теңдеуге

Жаңа айнымалы енгізуге болады   және келесі түрлендірулер енгіземіз

1.4. Төмендегі түрде берілген теңдеуге

Жаңа айнымалы енгізуге болады    , где

және келесі түрлендірулер енгіземіз .

Жоғарыда айтылған әдістерге байланысты бірнеше мысал қарастырайық.

27- мысал.

параметрінің қандай мәнінде теңдеу  

аралықта бірден көп шешімі болады.

Шешуі:     деп аламыз, сонда

   

 

және .

Бізге (0,1) аралықта теңдеудің бірден көп түбірі керек , сол себепті

         

Жауабы :  .

B) Айнымалылар мен параметрлердің мүмкінмәндерінің облысының бөлінуі

Айнымалылардың немесе параметрлердің мүмкін мәндерінің облысы немесе кейбір өрнектер бөлінбеген жиынтықтарға бөлінеді. Бұл тапсырманы жеңілдетуге немесе тапсырманы жаңа пішінге аударуға мүмкіндік береді.

28- мысал.

  параметріне байланысты теңдеуді шешу .

Шешуі :  бірден белгілі,   әркезде дұрыс жауабы болатыны.

Егер деп алсақ, онда теңдеуін аламыз. Егер  , онда есептің жауабы болмайды, егер  , онда . Біз   екенін ескере отырып:  болған жағдайда және , .

Енді  болған жағдайда, онда . Егер , онда жауабы болмайды, егер  , онда . Егер   ескерсек:   және 

.

Енді жауабын жазсақ болады.

Жауабы : болған жағдайда  ,

, , ,

, , .

C) Көмекші түрлендірулер

Көмекші түрлендірулерді қолдану арқылы теңдеудегі өрнектерді жеңілдетуге болады немесе 1 және 2 тәсілдерін қолдануға мүмкіндік береді. 

29- мысал.

Теңдеудің кем дегенде бір шешімі болатын табу

Шешуі:  Бұл теңдеуді түрлендіру үшін қысқаша көбейту формулаларын және негізгі тригонометриялық сәйкестіктерді пайдаланамыз:

Теңдеудің екі бөлігін де 4 ке бөлеміз:

Теңдеудің сол жақ бөлігіндегі ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығарып төмендегі өрнекті аламыз:

.

болса, , теңдеудің жауабы болмайды.

  Енді    болғанда аламыз.

аралығында жататынын білеміз, сол себепті , демек .

Соңғы жүйеден жауабын аламыз.

Жауабы :

D) Дәстүрлі формулаларды қолдану

Классикалық сәйкестіктерді, теңсіздікті, қасиеттерері мен теоремалары пайдалану арқылы көптеген теңдеулердің шешімін жеңілдетуге болады. Осындай теңдеулерге мысал келтірейік.

30- мысал.

Функцияның ең үлкен мәнін табыңыз

егер .

Шешуі :  Осы функцияның квадратының ең үлкен мәнін табыңыз

.

  болатынын ескере отырып, функциясын аламыз.

Ең үлкен мән радикал болғанда, өрнек ең үлкен мәнді қабылдайды.

теңдеуін аламыз.

Егер екі оң айнымалының мәні тұрақты болса, екі көбейтінді бір мәнге ие болғанда, онда осы айнымалылардың шешімі ең үлкен мәнге ие болады.

.

Егер  , онда .

Бұл жағдайда оның әрқайсысы бағынатын өрнектерге тең және

.

Егер , онда функцияның мәні 2-ге тең.

Жауабы :  .

Осы әдістерді пайдаланып есептер шығарып көрейік

31- мысал.

Теңдеуді шешейік .

болған жағдайда теңдеудің мағынасы болады. мәні , осы жағдайды қанағаттандыру қажет.

Егер .

Қарапайым түрлендірулер мына теңдеуге алып келеді

және осы теңдеудің екі түбірі болады:

, . Жоғарыда айтылып кеткендей мәні мына жағдайды қанағаттандыру қажет.

Демек, немесе (немесе екі сан) тең болатын m мәндерін алып тастау қажет.

егер болса онда .

егер болса онда

егер ;

егер ;

егер , , m ≠ 0 теңдеудің екі түбірі бар болады:

, ,

k, n, s – бір-біріне тәуелсіз, барлық бүтін сандардың мәндерін қабылдайды.

32- мысал.

Параметрдің теңдеуі бар параметрдің ең үлкен бүтін мәнін табыңыз.

Шешім: осы теңдеуді түрлендіру: ;

; ;

_.

Теңдеудің шешімі береді:

; х бос жиынға жатады.

;

егер .

Теңсіздіктің шешімі болады және бұл жерден аңғаратынымыз,оның ең үлкен мәні 6-ға тең.

Жауабы: 6.

33- мысал.

Шешуі: Теңдеуді мына түрде жазып алайық . Қосындыны түрлендіріп мынаны аламыз: немесе

а)

б)

34- мысал.

Шешуі: Теңдеу мына функцияға қатысты квадраттық теңдеуге айналады

, осыдан

а) әрқашан, сонымен қатар болуы тиіс. Теңсіздікті шеше отырып, а- кез келген нақты сан екенін аламыз.

б) . теңсіздігі а-ның ешқандай мәнінде орындалмайды.

болғандағы ерекше жағдай! Тендеу келесі түрге келеді:

Жауабы:

35- мысал.

Шешуі: . Тендеу мына түрге түрленеді:

яғни

Егер , онда соңғы теңдеу мынандай шешімін табады

Жауабы: .

Жаттығулар:

теңдеуін шеш;

теңдеуін шеш;

теңдеуін шеш;

теңдеуін шеш;

теңдеуін шеш;

теңдеуін шеш;

теңдеуін шеш және аралығында неше шешімі болатынын анықта;

теңдеуін шешіңіз.