Пифагор теоремасы — 8-сыныпқа арналған тапсырмалар

Тапсырмалар

I деңгей (Жеңіл)

1. Катеттері 6 см және 8 см болатын тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасын табыңдар.

2. Катеті 10 см, гипотенузасы 26 см үшбұрыштың екінші катетін табыңдар.

3. Тікбұрышты үшбұрышта бір катет 5 см, гипотенуза 13 см. Екінші катет неге тең?

II деңгей (Орташа)

4. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері: (a = x - 1), (b = x + 3). Гипотенуза 17 см болса, (x)-ті табыңдар.

5. Биіктігі 12 см және табанның жартысы 5 см болатын тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасын табыңдар.

6. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің айырмасы 4 см, ал гипотенуза 20 см. Катеттерін табыңдар.

III деңгей (Күрделі)

7. Тікбұрышты үшбұрыштың периметрі 60 см. Бір катеті екіншісінен 6 см-ге үлкен. Катеттерін және гипотенузасын табыңдар.

8. Бір қабырғасы (7) см болатын квадраттың диагоналін табыңдар және бұл диагональ квадратты екі тең тікбұрышты үшбұрышқа бөледі дегенді түсіндіріңдер.

9. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері (3x) және (4x). Гипотенузасы (5x + 7). (x)-тің мәнін табыңдар.

IV деңгей (Қолданбалы)

10. Үйдің қабырғасына тірелген баспалдақтың төменгі жағы қабырғадан 6 м қашықта тұр. Баспалдақ ұзындығы 10 м болса, ол қабырғада қандай биіктікке дейін жетеді?

11. Ұзындығы 15 м болатын арқанмен биіктігі 9 м бағанаға жанынан тартып қойылған. Арқан жерден бағанның түбінен қандай қашықтықта қатаяды?

12. Өрт сөндірушінің 20 м баспалдағы терезеге дәл жету үшін ғимараттан 12 м қашықтықта тұр. Терезе жерден қандай биіктікте орналасқан?

Шешімдер

I деңгей (Жеңіл)

1. Гипотенуза: (c====10) см.

2. Екінші катет: (b=====24) см.

3. Екінші катет: (b====12) см.

II деңгей (Орташа)

4. Пифагор теоремасы: ((x-1)^2+(x+3)2=17^2). (x^2-2x+1 + x^2+6x+9 = 289) (2x^2+4x+10=289) → (2x^2+4x-279=0) → (x^2+2x-139.5=0). Бұл квадраттық теңдеуді дискриминант арқылы шеше аламыз: (D=2^2-4(-139.5)=4+558=562). (x== -1).
(Берілген есептегі мәндер нақты сан болуын қалайтын болсаңыз, жуық мәндер: () → (x). Жағымды шешім: (x).)

5. Тікбұрышты үшбұрыш: катеттер (12) және (5) (себебі “табанның жартысы 5” деп берілген — егер табанның жартысы дегені осы тік үшбұрыштың бір катеті екенін түсінсек). Гипотенуза: (c====13) см.

6. Катеттер: болсын (a) және (b=a-4), гипотенуза (c=20). Пифагор: (a^2+(a-4)2=20^2) → (a^2+a2-8a+16=400) → (2a^2-8a-384=0) → (a^2-4a-192=0). Дискриминант (D=16+768=784); (=28). (a=). Жағымды: (a=16). Сәйкесінше (b=12).

III деңгей (Күрделі)

7. Периметр: (a+b+c=60), және (a=b+6). Пифагор: (a^2+b2=c^2). Алғашында (c=60-a-b). Бұл жүйені шешу үшін орнына қойып алгебралық теңдеулер аламыз: ((b+6)^2+b2=(60-(b+6)-b)^2) → ((b+6)^2+b2=(54-2b)^2). Есепті тарқатып шешсек: (b^2+12b+36 + b^2 = 2916 -216b +4b^2) → (2b^2+12b+36 = 2916 -216b +4b^2) → (0=2916-216b+4b^2 -2b^2 -12b -36) → (0=2880 -228b +2b^2) → (2b^2-228b+2880=0) → (b^2-114b+1440=0). Дискриминант: (D=114^2-4=12996-5760=7236). (=84.999…) жуық (85). (b=). Аламыз: (b_1==14.5) және (b_2==99.5) (бұл үлкен мән периметрге сай келмейді). Сондықтан (b=14.5), (a=20.5). Гипотенуза: (c=60-14.5-20.5=25). (Жуық мәндер: (14.5, 20.5, 25)).

8. Квадраттың қабырғасы (7). Диагональ: (d= a = 7 = 7 = 14) см. Қабырғалары мен диагоналі квадратты екі тең тікбұрышты үшбұрышқа бөледі (әрбір үшбұрыштың катеттері — квадраттың қабырғалары, гипотенузасы — диагональ).

9. Пифагор: ((3x)^2+(4x)2=(5x+7)^2) → (9x^2+16x2=25x^2+70x+49) → (25x^2 = 25x^2+70x+49) → (0=70x+49) → (x=-=-=-0.7). Бұл жағдайда катеттер пен гипотенуза теріс болмас үшін қосымша шарттар керек — есепте берілген теңдік жалғыз теріс шешім береді, ол практикалық есепте қолданылмайды. Сондықтан мәселенің бастапқы шартында қателік болуы мүмкін немесе қосымша шарт керек.

IV деңгей (Қолданбалы)

10. Биіктік: (h====8) м.

11. Арқан ұзындығы гипотенуза: 15 м, баған биіктігі 9 м — биіктік және жер арасындағы қашықтық (катет) (x): (x====12) м. Яғни арқан бағанның түбінен 12 м қашықтықта қатаяды.

12. Терезе биіктігі: (h====16) м.

Ескерту: Кейбір тапсырмаларда (4, 7, 9) шыққан теңдеулер дискретті немесе жуық мәндер береді; мұндай жағдайда оқушыға жуық мәндер немесе есептің шартын нақтылау ұсынылады.

.