Планиметрияда жиі қолданатын негізгі теоремалар мен формулалар

Геометриядан пайдалы фактілер

Долаев А.С. Алматы қаласындағы Республикалық физика-математика мектебінің математика

пәні мұғалімі

1. а) Сыбайлас бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр.

б) Параллель екі түзуді қиюшы қиғандағы тұстас бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр.

в) Параллелограммның бір қабырғасына іргелес бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр.

г) Сыбайлас қабырғалары тең болмайтын параллелограммның бұрыштарының биссектрисалары қиылысқанда тіктөртбұрыш шығады және оның диагоналі параллелограмм қабырғаларының айырымына тең болады.

д) Трапецияның бүйір қабырғасына іргелес бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр және қиылысу нүктесі орта сызықта жатады.

2. а) Егер АВС үшбұрышының В және С төбелерінің биссектрисалары О нүктеде қиылысса, онда ∠ВОС=90° + ½∠А

б) Егер АВС үшбұрышының В және С төбелерінің сыртқы бұрыштарының биссектрисалары Р нүктеде қиылысса, онда ∠ВРС=90° + ½∠А

3. а) Егер үшбұрыштың медианасы өзі түсірілген қабырғаның жартысына тең болса, онда үшбұрыш– тік бұрышты.

б) Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан түсірілген медиана гипотенузаның жартысына тең.

4. а) Трапецияның диагональдарының орталарын қосатын кесінді оның табандарына параллель және табандарының айырымының жартысына тең.

б) Егер трапецияның бір табанына іргелес бұрыштардың қосындысы 90°-қа тең болса, онда табандарының орталарын қосатын кесінді табандарының айырымының жартысына тең.

5. Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғасының табанына проекциясы табандарының айырымының жартысына, ал диагоналінің проекциясы табандарының қосындысының жартысына тең.

6. Шеңбер қасиеттері

а) Хордаға перпендикуляр диаметр оны қақ бөледі

б) Хорданың ортасынан өтетін диаметр оған перпендикуляр болады.(хорда диаметр болмаса)

в) Хорданың орта перпендикуляры центр арқылы өтеді.

г) Тең хордалар центрден бірдей қашықтықта болады.

д) Центрден бірдей қашықтықтағы хордалар тең болады.

е) Шеңбер- центріне қарағанда және кез-келген диаметріне қарағанда симметриялы болады.

ж) Параллель хордалармен шектелген шеңбер доғалары өзара тең болады.

7. АВ кесіндісі 90°-пен (∠АМВ =90°) көрінетін нүктелердің геометриялық орны А және В нүктелерінен басқа диаметрі АВ-ға тең шеңбер болады.

8. а) Қиылысатын екі шеңбердің центрлері арқылы өтетін түзу олардың ортақ хордасына перпендикуляр және оны қақ бөледі.

б) Жанасатын екі шеңбердің центрлері арқылы өтетін түзу олардың жанасу нүктесі арқылы өтеді.

9. а) Катеттері a, b және гипотенузасы c тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы -ға тең.

б) Егер F – ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің AC қабырғасымен жанасу нүктесі болса, онда AF = p – BC, мұнда p – үшбұрыштың жарты периметрі.

в) Егер шеңбер ABC үшбұрышының ВС қабырғасын және АВ және АС қабырғаларының созындыларын жанаса, онда А нүктесінен шеңбердің АВ түзуін жанайтын нүктеге дейінгі қашықтық p-ға тең

г) Егер ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер АВ, ВС және АС қабырғаларын сәйкесінше K, L және M нүктелерінде жанаса, ал ∠ВАС = α болса, онда ∠KLM=90° – (½)α .

д) Егер түзулер А нүктесінен өтіп S шеңберін В және С нүктелерінде жанаса, онда АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі S шеңберінің бойында жатады. (А бұрышының биссектрисасы S шеңберін қиған нүктелердің біреуі іштей сызылған, ал екіншісі сыртқа іштей сызылған шеңберлердің центрлері болады)

е) Егер радиустары r және R шеңберлердің центрлерінің арақашықтықтары d, d > R +r болса, онда олардың ортақ сырттай және іштей жанамаларының жанасу нүктелерінің арасындағы кесіндінің ұзындығы сәйкесінше және болады.

10. Егер радиустары r және R, центрлері сәйкес О₁ және О₂ болатын шеңберлер сырттай К нүктесінде жанасса, ал осы шеңберлерді А және В нүктелерінде жанайтын түзу олардың К нүктесінен өтетін ортақ жанамасымен С нүктесінде қиылысса, онда ∠АKВ=90° және ∠О₁СО₂=90°. Ал ортақ сырттай жанаманың АВ кесіндісі іштей ортақ жанаманың сырттай ортақ жанамалардың арасындағы кесіндісіне тең. Екі кесінді де -ге тең.

11. а) Жанама мен жанасу нүктесінен жүргізілген хорда арасындағы бұрыш хорда керіп тұрған доғаның бұрыштық шамасының жартысына тең.

б) Қиылысқан хордалар арасындағы бұрыш хордалар қиған қарама-қарсы доғалардың қосындысының жартысына тең.

в) Қиюшылардың арасындағы бұрыш осы қиюшылардың арасындағы бұрыш ішінде шектелген доғалардың айырымының жартысына тең.

12. а) Егер А нүктесінен және О –АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетін түзу үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді екінші рет М нүктесінде қиып өтсе, онда ВОМ және СОМ үшбұрыштары теңбүйірлі болады.

б) Эйлер формуласы. Егер О₁, О₂ – АВС үшбұрышына іштей және сырттай сызылған шеңберлердің центрлері, ал r және R – осы шеңберлердің радиустары болса, онда О₁О₂ = .

13. а) Егер төртбұрыш шеңберге іштей сызылса, онда оның қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең.

б) Егер төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болса, онда төртбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады.

14. а) Егер төртбұрышқа іштей шеңбер сызылса, онда оның қарама-қарсы қабырғаларының қосындысы тең болады.

б) Егер дөңес төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының қосындысы тең болса, онда оған іштей шеңбер сызуға болады.

15. а) Егер трапецияға іштей шеңбер сызылса, онда оның бүйір қабырғасы шеңбер центрінен тік бұрышпен көрінеді.

б) Егер шеңбер теңбүйірлі трапецияға іштей сызылса, онда оның бүйір қабырғасы оның орта сызығына тең болады.

в) Егер трапецияға іштей шеңбер сызуға болса, онда шеңбер радиусы бүйір қабырғаның жанасу нүктесімен бөлінетін кесінділердің пропорционал ортасы (геометриялық ортасы) болады, яғни , мұндағы m , n – бүйір қабырғаның кесінділері.

16. а) Трапецияның тамаша қасиеті. Трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесі, бүйір қабырғаларының созындыларының қиылысу нүктесі және табандарының орталары бір түзудің бойында жатады.

б) Трапецияның табандарына параллель түзудің трапеция ішіндегі кесіндісі оның диагональдарымен үш бөлікке бөлінеді. Сонда кесіндінің бүйір қабырғаларына іргелес бөліктері тең болады.

в) Егер табандары a және b трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы табандарына параллель түзу жүргізілсе, онда оның трапецияның бүйір қабырғаларының арасындағы кесіндісі -ға тең болады.

г) Егер табандары a және b трапецияның табандарына параллель түзу оны аудандары теңшамалы трапецияларға бөлсе, онда түзудің трапецияның бүйір қабырғаларының арасындағы кесіндісі -ге тең болады.

д) Егер табандары a және b трапецияның табандарына параллель түзу оны екі ұқсас трапецияларға бөлсе, онда түзудің трапецияның бүйір қабырғаларының арасындағы кесіндісі -ға тең болады.

17. а) Егер BM және CN – ABC үшбұрышының биіктіктері болса, онда AMN үшбұрышы ABC үшбұрышына ұқсас болады және де ұқсастық коэффициент -ға тең болады.

б) Егер Н – АВС үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал О – оған сырттай сызылған шеңбердің центрі болса, онда АН кесіндісі О нүктесінен ВС-ның ортасына дейінгі қашықтықтан екі есе үлкен болады.

в) О, Н және М – АВС үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі – бір түзудің бойында жатады (Эйлер түзуі) және де М нүктесі АН кесіндісінде жатады, сонымен бірге ОМ:MH = 1:2.

г) Егер BM және CN – ABC үшбұрышының биіктіктері, ал О – оған сырттай сызылған шеңбердің центрі болса, онда OA MN.

д) АВС үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесіне (ортоцентрге) АВ, ВС және АС түзулеріне қарағанда симметриялы нүктелер АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жатады.

е) АВС үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесіне (ортоцентрге) АВ, ВС және АС кесінділерінің орталарына қарағанда симметриялы нүктелер АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жатады

ж) Егер АК, BM және CN – сүйірбұрышты ABC үшбұрышының биіктіктері болса, онда КMN үшбұрышының (ортоүшбұрыш) биссектрисалары АК, BM және CN түзулерінде жатады. Егер үшбұрыш доғал бұрышты болса, онда осы түзулердің бойында сыртқы екі бұрыштың және үшінші ішкі бұрыштың биссектрисалары жатады.

18. а) Егер шеңбердің екі хордасы қиылысса, онда бір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі басқа хорданың кесінділерінің көбейтіндісіне тең болады.

б) Жанама мен қиюшы туралы теорема. Егер шеңберден тыс жатқан нүктеден шеңберге жанама мен қиюшы жүргізілсе, онда қиюшы мен оның сыртқы белі