«Производная сложной функции»

Ход урока

Время (минута)

Действия преподавателя

Действия обучающихся

Учебные материалы и ресурсы

1

2

3

4

5

1. Организационный этап

3 мин

Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих.

Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию.

Приветствовать.

Подготовится к учебному занятию.

2. Проверка выполнения домашнего задания

7 мин

Ответы на вопросы по домашнему заданию(решение примеров)

Контроль усвоения материала. Фронтальный опрос:

Производная степенной функции.

1. Правила вычисления производных.

2. Производная степеннной функци.

3. Производная обратной степенной функции.

4. Производная корня х.

Ответить на вопросы

Показать д-е задание.

3. Подготовка обучающихся к работе на основном этапе

10 мин

Цели урока:

Обучающая: обобщить и систематизировать знания по теме «Производная сложной функции», умения применять полученные знания при решении задач,умение находить производных сложных функций, выявить и устранить пробелы в знаниях по данной теме;

Развивающие: - содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

Воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к изучению математики. Тип урока: комбинированный, включающий освоение новых знаний.

Мобилизирующий момент: Вспомним о сложных функциях. Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная. А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций. y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, если u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом: y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u. y=sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f=sin u..

Объявление темы урока

Тема Производная сложной функции.

1. Правила вычисления производных.

2. Производная сложной функци.

3. Примеры вычисления сложной функции.

Подготовить тетради и ручки. Записывать важные информации.

Алгебра и начала математического анализа.

4. Формирование новых знаний и способов деятельности

10 мин

Консультация Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:

Кроме того, полезно помнить следующие формулы:

Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу  , умноженной на производную от промежуточного аргумента   по основному аргументу  .

 и   имеют производные соответственно в точках   и   . Тогда

Теорема

(О производной обратной функции)

Если функция   непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки   и дифференцируема в этой точке, то обратная функция   имеет производную в точке  , причем   .

Итак, найти производную сложной функции. Примеры.

1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).

2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).

Внимательно слушать консультацию. Записывать важные информации.

Интернет. Википедия.

Алгебра и начала математического анализа.

5. Первичная проверка понимания изученного материала

5 мин

Игра «Кто быстрее». На доске составляем кластер на тему «Производные» .

Командная работа.

6. Закрепление новых знаний и способов деятельности

15 мин

Рассмотрим еще некоторые примеры нахождения производной сложной функции.

Решение:

Там, где возможно, перед дифференцированием примеры упрощаем:

Данная функция — сложная. Внешняя функция f=u³, внутренняя — выражение, стоящее в скобках. Дифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции:  Имеем:

2) При нахождении производных логарифмов во многих случаях возможно предварительное преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, что позволяет существенно облегчить дифференцирование:

Здесь внешняя функция — ln u, внутренняя — выражение, стоящее под знаком логарифма. Внутренняя функция представляет собой дробь, поэтому для ее дифференцирования применяем правило нахождения производной частного:

Сокращаем числитель и знаменатель на (х²+1) и 2:

3) Здесь внешняя функция — f=arccos u, u — выражение с квадратным корнем. Дифференцируем:

4) Первое слагаемое — сложная показательная функция 3 в степени u, u=cos x.

Второе слагаемое дифференцируем по правилу нахождения производной произведения:

Решить примеры вместе с преподавателем. Записывать важные информации.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 Алимов Москва 2014

7. Применение знаний и способов деятельности

10 мин

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов

Работа на доске.

8. Обобщение и систематизация знаний

5 мин

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии - приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, "яблоко" - это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является "фаршем" (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на "яблоко", поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, "яблока". Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной "яблока" и производной "фарша". Можно подавать!

Коллективная работа.

9. Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности

10 мин

Индивидуальная работа.

10. Коррекция знаний и способов деятельности

5 мин

Метод «Вопрос - ответ»- обучающийся- преподаватель, обучающийся- обучающийся.

Задавать вопросы.

11. Информация о домашнем задании

3 мин

Задание на дом

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов §46, прочитать и конспектировать, № 824, 825

Записать домашнее задание

Алгебра и начала анализа

12. Подведение итогов занятия и рефлексия

5 мин

Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия «Знал… Узнал… Хочу знать…»